《诱导公式》教案与导学案

《第五三角函数导公式教案【教材析】本节主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六推导过程中涉及到对称变换充分体现对称变换思想在数学中的应用在练习中加以应用让学生进一步体会的任意性；综合六组诱导公式总结出记忆诱导公式的口诀：“奇变偶不变符号看象限”了解从特殊到一般的数学思想的探究过程培养学生用联系变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用，要求学生能熟练的掌握和应用。【教学标与核心素】课程目1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用了解未知到已知复杂到简单的转化过程培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。数学学素养1.数学抽象：理解六组诱导公式；2.逻辑推理：“借助单位圆中三角函数的定义推导出六组诱导公式；3.数学运算：利用六组诱导公式进行化简、求值与恒等式证明【教学难点】重点借助单位圆推导出正弦余弦第二四五六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．【教学法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学程】一、情导入

利用诱导公式（一将任意范围内的角的三角函数值转化到

角后，又如何将[0,2

角间的角转化[0,)

角呢？除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察研探.二、预课本，引入课阅读课本188-192页，思考并完成以下问题1.π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？2．诱导公式二、三、四的内容是什么？3.±α的终边与α的终边有怎样的对称关系？4.诱导公式五、六的内容是什么？要求生独立完成小组为单位内可商量终选出代表回答问题。三、新探究1.公式一：:终边相同的角sin(sinsin(k

cos(k

tan(

2.公式二：终边关于X轴对称的角

cos(

tan(

3.公式三：终边关于Y轴对称的角cos(180

tan(180

，tan(

4.公式四任意

终边都是关于原点中心对称的终边关于原点

ππππ3ππππ3对称的角sin

+)=−sinα（cos(+α)=−cosα,（

（+

,5.公式五:终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：sin−α)=sin(−α)=cosα；2ccos(90

−α)=cos(−α)=sinα.26、公式六:

π2

＋α型诱导公式(公式六)：sin+α)=sin(+α)=cosα；2ccos(90

+α)=cos(+α)=−sinα.2【说明①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；【方法结：用诱导式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为[0,2π]内的三角函数；③化为锐角的三角函数。可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值四、典分析、举一三题型一角求值例1下列各三角函数式的值：(1)sin(－660°)

27π4

；(3)2cos660°＋sin630°；(4)tan

37π·sin6

36363636【答案】(1)

321；(2)－；(3)0；(4).222【解析】(1)因为－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin60°＝

32

.(2)因为

27π3π27π3π2＝6π＋，所以cos＝cos＝－.44442(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)1＝2cos60°－sin90°＝2×－1＝0.2(4)tan

37π5π·sin6π＝tan＋＝tan

ππ331·sin＝×＝.63322解题技巧利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤）利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：跟踪训一1．求下列各三角函数式的值：(1)sin1320°

31π．【答案】(1)－

33；(2)－；(3)-1．22【解析】(1)sin1320°＝sin(4×360°－120°)

666π11π化简9ππ5π22666π11π化简9ππ5π22＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－

32

.31π5π(2)cos＋＝－cos

π3＝－.62(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝题型二简、求值例2

sin2πcosπαcosαcos2cosπαsin3παsinπαsinα2

.【答案】见解析.【解析】原式=

sincosαsinαsinαcosαsinαsinαcosα

=

sinαcosα

=tanα解题技巧：(化简求值的方法用诱导公式化简求值的方法：1.对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少2.对于kπ±α和

π2

±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名.即“奇变偶不变，符号看象限”.跟踪训二1.化简:

cos𝛼-2sin𝛼2

·sin(π-α)·cos(2πα).12．已知cos＋α，求3

sin＋α－αcos

＋的值．2【答案】1.见解析；.3

πcos(-𝛼)πsin012600001000πcos(-𝛼)πsin012600001000【解析】1.原式=2sin(𝛼)2

·sinα·cosα=·sinα·cossinα.cos2.

原式＝

cosαsinαsinαsinα＋＝－sin－sinα＝－2sin.α－sinα1又cos＋，31所以－sinα＝.32所以原式＝－2sinα＝.3题型三值求值例3知in53

−α),且0

<𝛼<0

,求0

α的值.【答案】−.【解析】因为−

<𝛼

，所以1<53−α

,又因为sin(53

−α)=所以5

−α在第二象限.所以c53

−α)=−

26易知53

−α)(0

α)

，所以s37

α)[

−(

−α)]cos(

−)−

26解题技巧给值求值解题技巧）1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．2用相关角的关系会简化解题过程所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系.在转化过程中可以由已知到未知也可以由未知索已知.常见的πππ互余关系有－α，＋α；＋，363ππππ2ππ－α；＋α，－α常见的互补关系有＋θ，－θ；＋θ，6443343π－θ等．4跟踪训三

+(-),cos(1.已知cos(-𝑥)=,求cos(ππ3π3+(-),cos(1.已知cos(-𝑥)=,求cos(ππ3π33π3π2π3.23πππ363

+𝑥)的值.【答案】cos(

3

+𝑥)

=-;sin(-)=;(36

+𝑥)=.3【解析】cos(+𝑥)3

=cos(

π3

-𝑥)]=-cos(

23

-𝑥)

=-.3sin(-

π6

)

=sin

-(-𝑥)]23=cos(

23

-𝑥)=.3cos(

43

+𝑥)

=cosπ-(

π3

-𝑥)]=cos(

23

-𝑥)=

33五、课小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板设计5.3

诱导公公式一

例1

例2

例3公式二公式三公式四公式五公式六总结（奇变偶不变吧，符号看象限）七、作课本194页习题【教学思】诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系在求任意角的三角函数值解决有关的三角变换等方面有重要的作用，特别是诱导公式中的

角可以是任意角，即，

𝜋𝜋它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中应用广泛如后续课中画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移长度单位而得到的．2诱导式》导案【学习标】知识目1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第二、三、四、五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用了解未知到已知复杂到简单的转化过程培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。核心素1.数学抽象：理解六组诱导公式；2.逻辑推理：“借助单位圆中三角函数的定义推导出六组诱导公式；3.数学运算：利用六组诱导公式进行化简、求值与恒等式证明【重点难点】重点借助单位圆推导出正弦余弦第二三四五六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．【学习程】一、预习导入阅读课本188-192页，填写。1.公式一：:终边相同的角sin(

cos(k

tan(tantan(

ππππ2.公式二：终边关于X轴对称的角cos(

tan(

3.公式三：终边关于Y轴对称的角

cos(180cos(tan(180

，tan(

4.公式四任意对称的角

终边都是关于原点中心对称的终边关于原点sin+)=−sinα（

cos(

+α)=−cosα,（（+

,

5.公式五:终边关于直线y＝x对称的角的诱导公式(公式五)：sin

−α)=sin(

π

−α)=___________；ccos(90

2−α)=cos(−α)=____________.26、公式六:

π2

＋α型诱导公式(公式六)：sin

+α)=sin(

π

+α)=_____________；ccos(90

2+α)=cos(+α)=____________.2【说明①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③记忆方法：“______________________________”；【方法结：用诱导式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；

432236π11π例2化简9π432236π11π例2化简9π②化为[0,2π]内的三角函数；③化为锐角的三角函数。可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值【小试刀】1．(1)sin

25π6

7π＝________；(2)tanπ2．(1)sin；(2)cos330°＝________；3．(1)sin

5π6

＝________1560°＝________.4．(1)sin225°＝________

7π6

＝________.15．(1)若sinα＝，则cos－；34(2)若cosα＝，则sin－5【自主究】题型一

给角求例1下列各三角函数式的值：(1)sin(－660°)

27π4

；(3)2cos660°＋sin630°；(4)tan

37π·sin6跟踪训一1．求下列各三角函数式的值：31π(1)sin1320°．题型二

化简、值sinπcosπαcos(α22cosπαsin3παsinπαsin(α2跟踪训二

.

πcos(α-)5π222．已知cos＋α，求012(-),cos(-𝑥)=,求cos(πcos(α-)5π222．已知cos＋α，求012(-),cos(-𝑥)=,求cos(1.化简:

2·sin(π-α)·cos(2α).sin()2题型三

sin＋α－α13cos给值求

＋

错的值．例3已知sin53跟踪训三

−α),且270<𝛼<−90,求05

α的值.1.已知cos(【课堂测】

3ππ

值.1．已

32

，sin(为（）A.

B.—

C.

3D.—22．cos(+α)=—

，<α<2,sin(α)值为（）A.

B.

C.

D.—

3．化简：12sin(•cos(（）A.2C.sin2

B.cos22D.±cos224．已知tan

3，那么cos

的值是5．求值：2sin(－sin960º+2cos(＝．6．已知方程sin(3)=2cos(4)求答案小试牛

sin(5cos(22sin(

的值。

36336311．(1)(2)1.22．(1)－

33(2).2213．(1)(2)－3.24.(1)－

23(2)－22

.145.(1)(2).35自主探例1答案】(1)

321；(2)－；(3)0；(4).222【解析】(1)因为－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin60°＝

32

.(2)因为

27π3π27π3π2＝6π＋，所以cos＝cos＝－.44442(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)1＝2cos60°－sin90°＝2×－1＝0.2(4)tan

37π5π·sin6π＝tan＋＝tan

ππ331·sin＝×＝.63322跟踪训一1答案】(1)－

33；(2)－；(3)-1．22【解析】(1)sin1320°＝sin(4×360°－120°)

666πcos(-𝛼)πsin.666πcos(-𝛼)πsin.＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－

32

.31π5π(2)cos＋＝－cos

π3＝－.62(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝例2答案】见解析.【解析】原式=

sincosαsinαsinαcosαsinαsinαcosα

=

sinαco