用三垂线法求二面角的方法

用三垂线法求二面角的方法,假设和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。：如图,PB的斜线,PAa平面,直线aAB.PaBA求证：aPaBA证明：∵PA的垂线,直线a平面∴直线aPA又∵直线aABABPAA∴直线aPABPB平面PAB∴aPBPAABaPBa三垂线定理提醒了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此查找垂线、斜线及其射影至关重要。运用三垂线法求二面角的一般步骠：①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。.②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义)。③求：二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度)。31、ABCDABBCDBCCDBCCD1AD3

，①求二面角CABD的大小；②求二面角BCDA的大小； A解：①∵AB面BCD ∴BCAB BDABCBD为二面角CABD的平面角B DBCCDBCCD1CBD=4∴二面角CABD的大小为 C4②∵AB面BCD BCCD ∴由三垂线定理得CDACACBBCDA的平面角BC2CD22∵BCCD∴BC2CD22∵AB平面BCD∴ABBC ABBDAD2AD2BD2∴AB

1RtABCtanACB

BC1，BCDA的大小为4方法点拨： 此题①的方法是直接运用二面角的定义求解,此题②的关键是找出垂线其射影BC,。从而得到二面角的平面角为ACB。

ABAC22如下图的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形〔尺寸如下图VB22求二面角A—VB—D的余弦值．VEA正视图 EA2D2B C俯视图AB的中点P,连结VP、DE，则由题意可知VP⊥平面ABCD，∴DA⊥VP又∵AD⊥AB∴AD⊥平面VAB∵VAB是正三角形，EVBAE⊥VB，∴由三垂线定理得VB⊥DE.所以AED就是所求二面角的平面角.由得DA=2,AE=

3∴DE=3

∴COSAEDAE721ED 772121故二面角A—VB—D的余弦值为7 ．21方法点拨： 此题的关键是过二面角的一个平面VBD上一点D到二面角的另一个平面AVB的垂线D则斜线为DE,其射影为AE从而得到二面角的平面角为AED。,。.一个三棱锥SABC的三视图、直观图如图．求二面角SABC的正切值．AC4；由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点DBD3，BDSACBDAC；由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，SO2SOABCSOAC．如图．作CHAB于H，作OE//CHABE，则OEAB，SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而OEAB，故由三垂线定理得SEABSEOSABC的平面角．△ABC△ABCBABC13，由△ABO的面积相等关系：12AOBD ABOE，12得OEAOBDAB9，13RtSEOtanSEO

213，故二面角SABC213.OE 9 9方法点拨：此题的难点是过二面角的一个平面SABS作二面角的另一个平面ABCSO,O作二面角的棱AB的垂线,从而得到斜线SEOE,从而得到二面角的平面角为SEO。SSFNDABC是以ABCSA平面ABC，SA=BC=2，AB=4.N、D分别是AB、SSFNDS—ND—A的正切值．A C4.解：过A作AF DN且与DN的延长线相交于点F，连接∵SA平面ABC∴由三垂线定理得DFSF BSFA就是二面角S—ND—A的平面角，在RtBDN中,DN BD2BN2 5S1515RtAFNSinANF

BDSinBND AN ND∴AF 15

SA25AN ∴tanSFAAF 5 A C25F N D故二面角S—ND—A的正切值为5．BSFA。5.如下图，圆柱底面的直径AB长