2017年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4圆锥曲线的应用同步练习湘教版1-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE8学必求其心得，业必贵于专精2。4圆锥曲线的应用1．已知△ABC的顶点B,C在椭圆eq\f(x2，3)＋y2＝1上,顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(）．A．2eq\r(3)B．6C．4eq\r（3)D．122．P是双曲线eq\f(x2,64)－eq\f(y2，36)＝1上一点，F1,F2是双曲线的两个焦点，且｜PF1|＝17，则｜PF2|的值是(）．A．33B．16C．10D．83．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60cm，灯深是40cm,则光源到反光镜顶点的距离是(）．A．11.25cmB．5。625cmC．20cmD．10cm4．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2＝2y(0≤y≤20),在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为（）．A．0＜r≤1B．0＜r＜1C．0＜r≤2D．0＜r＜25．如图,南北方向的公路l，A地在公路的正东2km处,B地在A地东偏北30°方向2eq\r（3)km处，河流沿岸PQ（曲线）上任一点到公路l和到A地的距离相等,现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A,B两地转运货物，经测算从M到A,M到B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）．A．（2＋eq\r（3))a万元B．2（eq\r(3）＋1）a万元C．5a万元D．66．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为__________m．(精确到1m）7．如图，已知椭圆x2＋2y2＝98及点P(0,5），则点P到椭圆的最大距离及最小距离的和是__________．

参考答案1．C（数形结合）由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a＝4eq\r(3),所以选C。2．A在双曲线eq\f(x2，64)－eq\f（y2，36）＝1中，a＝8，b＝6，故c＝10。由P是双曲线上一点，得｜｜PF1|－｜PF2｜｜＝16。∴|PF2｜＝1，或|PF2|＝33.由|PF1|＋|PF2｜≥｜F1F2｜，得|PF23．B建立如图所示的坐标系，设y2＝2px(p＞0)，由题意，得点A(40，30）在抛物线上，代入，得p＝11。25。故｜OF｜＝＝5.625(cm），故光源到反光镜顶点的距离即为5。625(cm）．4．A设玻璃球的球心O′（0，r），O(x,y)为抛物线上一点,则｜OO′|＝eq\r(x2＋(y－r)2）＝eq\r（2y＋y2－2ry＋r2)＝eq\r（［y－(r－1）]2＋2r－1）。∵y≥0，∴当y＝0时,｜OO′|为最小,故r－1≤0，∴0＜r≤1.5．C建立如图所示的直角坐标系，连接AB,分别过点M，B，A作直线MM′⊥l，BB′⊥l，AA′⊥l，垂足分别为M′，B′，A′，过点B作BB1⊥AA′，垂足为B1.由已知，可得|AB1｜＝|AB|·cos30°＝＝3（km）．又｜AA′｜＝2km，可得|BB′|＝3＋2＝5（km)．由抛物线的定义，可得｜AM|＝｜MM′｜。∴修路费用为(|AM｜＋｜MB｜）a＝（｜MM′｜＋｜MB｜）a≥|BB′｜a＝5a6．5如图所示，建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0),依题意,有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得p＝，故得抛物线的方程为x2＝－y.又B在抛物线上，将B（x，－2）代入抛物线的方程，得x＝,即|AB|＝,则水池的半径应为｜AB|＋1＝＋1。因此所求水池的直径为2(1＋)，约为5m,即水池的直径至少应设计为5m.7．2（1＋eq\r（37）)解析一:∵02＋2×52＜98，∴点P（0，5)在椭圆内部．设以P(0,5）为圆心和椭圆相切的圆的方程为x2＋（y－5）2＝r2。①把椭圆方程x2＋2y2＝98代入①,得r2＝－（y＋5)2＋148(－7≤y≤7)．∴当y＝－5时，rmax2＝148,即rmax＝2eq\r（37），当y＝7时,rmin2＝4，即rmin＝2。故点P到椭圆的最大距离为2eq\r（37），最小距离为2。∴其和为2（1＋eq\r(37))．解析二：设点M(x，y)为椭圆上任一点，则x2＋2y2＝98，可得|PM|＝eq\r（x2＋（y－5)2)＝eq\r(98－2y2＋(y－5)2）＝eq\r（－y2－10y＋123)＝eq\r（－(y＋5)2＋148）。又∵－7≤y≤7，∴y＝－5时,有|PM|max＝eq\r（148)＝2eq\r(37），y＝7时，有|PM｜min＝eq\r（－(7＋5)2＋148）＝2。故点P到椭圆的最大距离为2eq\r（3