初中数学浙教版九年级上册第3章　圆的基本性质3．7　正多边形 省赛获奖

3．7正多边形1．正多边形的中心角(即正多边形的相邻两个顶点与它的中心的连线的夹角)与该正多边形一个内角的关系是(B)A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定2．如果一个正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与原正多边形重合，那么这个正多边形(C)A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形3．正多边形的一个内角的度数不可能是(A)A．80°B．135°C．144°D．150°4．有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为(C)A．50cmB．25eq\r(2)cmC．50eq\r(2)cmD．50eq\r(3)cm5．已知正多边形的每一个外角都是72°，那么这个正多边形的内角和等于540°．6．已知正多边形的内角和等于1440°，那么这个正多边形的边数为__10__．7．一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求这个正多边形的内角和．【解】设这个正多边形的一个外角的度数为x，根据题意，得180°－x＝6x＋12°，解得x＝24°.∴这个正多边形的边数＝360°÷24°＝15，∴这个正多边形的内角和＝(15－2)×180°＝2340°.8．如图①，圆内接正五边形的中心角∠AOB＝72°，∠ACB＝36°；如图②，圆内接正六边形的中心角∠AOB＝60°，∠ACB＝30°．(第8题)探究：如图③，圆内接正n边形的中心角∠AOB＝eq\f(360°,n)，∠ACB＝eq\f(180°,n)(用含n的代数式表示)．9．若用一种正多边形瓷砖铺满地面，则这样的正多边形可以是(A)A．正三角形或正方形或正六边形B．正三角形或正方形或正五边形C．正三角形或正方形或正五边形或正六边形D．正三角形或正方形或正六边形或正八边形【解】∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，∴若用一种正多边形瓷砖铺满地面，则这样的正多边形只能是正三角形或正方形或正六边形．(第10题)10．如图，已知正六边形的外接圆的半径是2，则正六边形的周长是(C)A．4B．6C．12D．24【解】∵正六边形的边长等于其外接圆的半径，∴正六边形的周长＝2×6＝12.11．一个正多边形的所有对角线都相等，则这个正多边形的内角和为360°或540°．【解】∵一个正多边形的所有对角线都相等，∴该正多边形为正方形或正五边形，∴这个正多边形的内角和为(4－2)×180°＝360°或(5－2)×180°＝540°.(第12题)12．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，AB，AC的中垂线分别交⊙O于点E，F.求证：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．【解】连结OB，OC.∵OE，OF分别垂直平分AB，AC，∴AE＝BE，AF＝CF，∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))，eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(CF,\s\up8(︵)).∵AB＝AC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(CF,\s\up8(︵)).∵∠BAC＝36°，∴∠BOC＝72°.∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＋eq\o(BE,\s\up8(︵))＋eq\o(AF,\s\up8(︵))＋eq\o(CF,\s\up8(︵))＝360°－72°＝288°，∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(CF,\s\up8(︵))＝288°÷4＝72°＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴AE＝BE＝AF＝CF＝BC，∴五边形AEBCF为⊙O的内接正五边形．13．如图①②③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．(第13题)(1)在图①中，求∠APB的度数；(2)在图②中，∠APB的度数是90°；在图③中，∠APB的度数是72°．(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．【解】(1)∵点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴∠BAM＝∠CBN.∴∠APN＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°.(2)同理(1)可得，图②中，∠APB＝90°；图③中，∠APB＝72°.(第13题解)(3)能．问题：如解图，正n边形ABCDE…是⊙O的内接正n边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动，求∠APB的度数．结论：∠APB＝eq\f(360°,n).证明：∵点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O