初中数学浙教版九年级上册第1章　二次函数1．4　二次函数的应用 优质课比赛一等奖

二次函数的应用(一)1．已知二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上，则a＝__2__，此时函数的表达式为y＝x2＋4x＋4(第2题)2．用长为8m的铝合金材料做成如图所示的矩形窗框，要使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是__eq\f(8,3)__m2.(第3题)3．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(CA.60m2B.C.64m2D.4．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)．D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，且在x轴上方．求△BCD面积的最大值．(第4题)【解】∵点C(4，3)，∴菱形OABC的边长＝eq\r(32＋42)＝5.∵抛物线y＝－x2＋6x的顶点坐标为(3，9)，∴△BCD面积的最大值为S＝eq\f(1,2)×5×(9－3)＝15.5．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15<x<30.过点D作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在点F处，DF交BC于点G.(1)用含x的代数式表示BF的长．(2)设四边形DEBG的面积为S，求S关于x的函数表达式．(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．(第5题)【解】(1)∵DE＝BC＝x，∠A＝45°，DE⊥AE，∴AE＝DE＝x.由折叠知，EF＝AE＝x，∴BF＝AF－AB＝2x－30.(2)∵S△DEF＝eq\f(1,2)EF·DE＝eq\f(1,2)x2，S△BFG＝eq\f(1,2)BF·BG＝eq\f(1,2)(2x－30)2，∴S＝eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)(2x－30)2＝－eq\f(3,2)x2＋60x－450.(3)∵15<x<30，∴当x＝eq\f(60,2×\f(3,2))＝20时，S有最大值，S最大＝150.6．竖直上抛的小球离地高度是关于它运动时间的二次函数，小军相隔1s依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后s时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝．【解】设各自抛出后s时到达相同的最大离地高度为h，则小球的高度y＝a(t－2＋h.由题意，得a(t－2＋h＝a(t－1－2＋h，解得t＝.7．如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在(A)(第7题)A.AD的中点B.AE∶ED＝(eq\r(5)－1)∶2C.AE∶ED＝eq\r(2)∶1D.AE∶ED＝(eq\r(2)－1)∶2【解】设AE＝x，剪下的两个正方形的面积之和为y，则DE＝1－x，y＝AE2＋DE2＝x2＋(1－x)2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2).∴当x＝eq\f(1,2)时，y取得最小值，此时E是AD的中点．(第8题)8．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y＝eq\f(k,x)(k＞0)的图象与BC边交于点E.(1)当F为AB的中点时，求该函数的表达式．(2)当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少．【解】(1)∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，∴点B(3，2)．∵F为AB的中点，∴点F(3，1)．∵点F在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k＞0)的图象上，∴k＝3，∴该函数的表达式为y＝eq\f(3,x)(x＞0)．(2)由题意知E，F两点的坐标分别为Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)，2))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(k,3)))，∴S△EFA＝eq\f(1,2)AF·BE＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,2)k))，＝eq\f(1,2)k－eq\f(1,12)k2＝－eq\f(1,12)(k2－6k＋9－9)＝－eq\f(1,12)(k－3)2＋eq\f(3,4).∴当k＝3时，△EFA的面积最大，最大面积是eq\f(3,4).9．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连结PA，QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连结OA，OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明．(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数表达式，并求出y的最大值．(第9题)【解】(1)四边形APQD为平行四边形．(2)OA＝OP，OA⊥OP.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°.∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO，∴OB＝OQ，∴△AOB≌△OPQ(SAS)．∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP.(第9题解①)(3)如解图①，过点O作OE⊥BC于点E.①当点P在点B右侧时，BQ＝x＋2，OE＝eq\f(x＋2,2)，∴y＝eq\f(1,2)·eq\f(x＋2,2)·x＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4).又∵0≤x≤2，∴当x＝2时，y有最大值2.(第9题解②)②如解图②，当点P在点B左侧时，BQ＝2－x，OE＝eq\f(2－x,2)，∴y＝eq\f(1,