广东省江门市古劳中学2021年高三数学文月考试卷含解析

广东省江门市古劳中学2021年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若为纯虚数，其中R，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C∵为纯虚数，∴，∴．2.设，则a，b，c的大小关系是

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.甲：函数，f(x)是R上的单调递增函数；乙：x1<x2，f(x2)<f(x2)，则甲是乙的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A【知识点】充分条件、必要条件A2根据函数单调性的定义可知，若f（x）是

R上的单调递增函数，则?x1＜x2，f（x1）＜f（x2）成立，∴命题乙成立．若：?x1＜x2，f（x1）＜f（x2）．则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．【思路点拨】根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．4.（5分）角α的终边经过点P（﹣2sin60°，2cos30°），则sinα的值（） A． B． ﹣ C． D． 参考答案：D考点： 任意角的三角函数的定义．专题： 三角函数的求值．分析： 先利用角α的终边求得tanα的值，进而利用点（﹣2sin60°，2cos30°），判断出α的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值．解答： 依题意可知tanα==﹣1，∵2cos30°＞0，﹣2sin60°＜0，∴α属于第二象限角，∴sinα==．故选：D．点评： 本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用．解题的关键是利用α的范围确定sinα的正负．5.把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.设函数是定义域在R上的奇函数，若的最小正周期为3，且，则的取值范围是（

）A．

B．

C．或

D．或参考答案：答案：D7.已知命题函数在区间上单调递增.给出下列命题：①;②;③;④其中真命题的个数为A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：A当时,故命题为假命题.函数在上单调递增,在上单调递减.故命题为假命题.从而④为真命题,选A.

8.已知函数，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】定积分与微积分基本定理B13【答案解析】B

f(x)dx=（x+1）2dx+dx，∵（x+1）2dx=（x+1）3=，dx表示以原点为圆心以1为为半径的圆的面积的四分之一，故dx=∴f(x)dx=（x+1）2dx+dx=+=，故选：B【思路点拨】先根据条件可化为f(x)dx=（x+1）2dx+dx，再根据定积分以及定积分的几何意义，求出即可．9.设、为两个不同的平面，、、为三条互不相同的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若、是异面直线，，且，，则．其中真命题的序号是（

）A．①③④

B．①②③

C．①③

D．②④参考答案：A10.已知函数的部分图象如图所示，是边长为的等边三角形，为了得到的图象，只需将的图象（

）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位参考答案：A试题分析：依题意可知，，，所以，，由于，所以为了得到的图象，只需将的图象向左平移个长度单位，选．考点：1.；2.三角函数图象变换．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（13分）若不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，1）∪{3}【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：计算题；不等式的解法及应用．【分析】：不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，转化为a+小于等于函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值，根据绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值为5，因此原不等式转化为分式不等式的求解问题．【解答】：解：令y=|x+2|+|x﹣3|，由绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值为5，∵不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，∴原不等式可化为a+≤5，解得a=3或a＜1，故答案为：（﹣∞，1）∪{3}．【点评】：考查绝对值不等式的几何意义，把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，属中档题．12.如图，已知三棱锥A-BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上，是正三角形，是等腰直角三角形，，若二面角的余弦值为，则球O到平面BCD的距离为________．

参考答案：1取CD的中点E，连接AE，BE，由题可得：，因为二面角的余弦值为，在中，由余弦定理得，∴,所以，线段为的球直径，故，延长BE，过点A作AG垂直于BE的延长线于点G，∴，所以球心到平面的距离为1．13.设口袋中有黑球、白球共9个球。从中任取2个球，若取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为

。参考答案：314.在如右图所示程序框图中，任意输入一次与，则能输出“恭喜中奖！”的概率为

. 参考答案：15.若实数x，y满足不等式组，则的最大值为

。参考答案：616.已知△ABC的三个顶点在同一个球面上，AB=6，BC=8，AC=10．若球心O到平面ABC的距离为5，则该球的表面积为．参考答案：200π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；球．分析；关键题意，画出图形，结合图形，求出球的半径R，即可计算球的表面积．解：如图所示：∵AB=6，BC=8，AC=10．∠ABC=90°，∴取AC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OAM中，OM=5，MA=AC=5，∴OA=5，即球O的半径为5．∴球O的表面积为S=4π?=200π．故答案为：200π．【点评】本题考查了球的体积的计算问题，解题的关键是根据条件求出球的半径，是基础题目．17.设是定义在上的奇函数，当时，，则的值为_______参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=（x2﹣a）ex，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）将a=0代入函数的表达式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为求使函数f（x）=ex（x2﹣a）在（1，2）上不为单调函数的a的取值范围，通过讨论x的范围，得到函数的单调性，进而求出a的范围；（Ⅲ）先求出函数的导数，找到函数的极值点，从而证明出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x2ex，f′（x）=ex（x2+2x），由ex（2x2+2x）=0，解得：x=0，x=﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；（Ⅱ）依题意即求使函数f（x）=ex（x2﹣a）在（1，2）上不为单调函数的a的取值范围，而f′（x）=ex（x2+2x﹣a），设g（x）=x2+2x﹣a，则g（1）=3﹣a，g（2）=8﹣a，因为g（x）在（1，2）上为增函数．当，即当3＜a＜8时，函数g（x）在（1，2）上有且只有一个零点，设为x0，当x∈（1，x0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（x0，2）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）为增函数，满足在（1，2）上不为单调函数．当a≤3时，g（1）≥0，g（2）≥0，所以在（1，2）上g（x）＞0成立（因g（x）在（1，2）上为增函数），所以在（1，2）上f′（x）＞0成立，即f（x）在（1，2）上为增函数，不合题意．同理a≥8时，可判断f（x）在（1，2）为减函数，不合题意．综上：3＜a＜8．（Ⅲ）f′（x）=ex（x2+2x﹣a）．因为函数f（x）有两个不同的零点，即f′（x）有两个不同的零点，即方程x2+2x﹣a=0的判别式△=4+4a＞0，解得：a＞﹣1，由x2+2x﹣a=0，解得x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．此时x1+x2=﹣2，x1?x2=﹣a，随着x变化，f（x）和f′（x）的变化情况如下：x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）递增极大值递减极小值递增所以x1是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，所以f（x1）是极大值，f（x2）是极小值，∴f（x1）f（x2）=（﹣a）?（﹣a）==e﹣2[a2﹣a（4+2a）+a2]=﹣4ae﹣2，因为a＞﹣1，所以﹣4ae﹣2＜4e﹣2，所以f（x1）f（x2）＜4e﹣2．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，考查转化思想，分类讨论思想，熟练掌握基础知识并对其灵活应用是解题的关键，本题是一道难题．19.某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，…，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，…，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用表示编号为的样品首轮同时被抽到的概率．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求所有的的和．参考答案：（Ⅰ）由分层抽样可知：首轮检验从编号为1，2，3，…，9的洋品牌奶粉的样品中抽取3个，从编号为10，11，…，15的国产品牌奶粉的样品中抽取2个，故＝＝．

……4分（Ⅱ）①当时，＝＝，而这样的有=36个；②当时，＝，而这样的有=15个；③当时，＝＝，而这样的有=54个．所以，所有的的和为×36＋×15＋×54＝10．

……13分略20.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x(1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期；(2)设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝，cosB＝，f()＝－，求b.参考答案：21.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．参考答案：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立．由①②可知，结论对n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证．22.北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGo与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaGo获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1：4．人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．

非围棋迷围棋迷合计男301545女451055合计7525100（1）根据已知条件完成如图列联表，并据此资料判断你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量