广东省深圳市华一实验学校2023年高三数学理联考试卷含解析

广东省深圳市华一实验学校2023年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为3的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，a），D（a，a），B（a+1，a+1），C（a+1，﹣a﹣1）由该区域的面积为3时，×1=3，得a=1．∴A（1，1），C（2，﹣2）化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过C点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．2.设的内角所对边的长分别为,若且的面积为2，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D3.（2016?北京模拟）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣，0） C．（﹣∞，0）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的单调性问题转化为2mt2+4t+m＜0，通过讨论m的范围，得到关于m的不等式，求出m的范围即可．【解答】解：由f（x）=x﹣sinx，可得f'（x）=1﹣cosx≥0，故f（x）在[0，+∞）上单调递增，再由奇函数的性质可知，f（x）在R上单调递增，由f（﹣4t）＞f（2mt2+m），可得﹣4t＞2mt2+m，即2mt2+4t+m＜0，当m=0时，不等式不恒成立；当m≠0时，根据条件可得，解之得，综上，m∈（﹣∞，﹣），故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．4.“p∨q为假命题”是“￢p为真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：∵已知p、q为两个命题，则“p∨q是假命题”∴p和q都为假命题，∵￢p为真命题”∴p为假命题，∴p∨q是假命题”?“￢p为真命题，反之则推不出，∴“p∨q是假命题”是“￢p为真命题”的充分不必要条件，故选A．5.下列有关命题的说法正确的是(

)A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】对于A根据否命题的意义即可得出；对于B按照垂直的条件判断；对于C按照含有一个量词的命题的否定形式判断；对于D按照正弦定理和大角对大边原理判断．【解答】解：对于A，根据否命题的意义可得：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此原命题不正确，违背否命题的形式；对于B，“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件不准确，因为“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件是m2=1，即m=±1．对于命题C：“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定的写法应该是：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”，故原结论不正确对于D，根据正弦定理，∵x=y?sinx=siny”，所以逆命题为真命题是正确的．故答案选：D．【点评】本题考查了四种命题之间的关系、命题的否定，属于基础题．6.某地一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图（1）所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（）参考答案：答案：D解析：结合图象及函数的意义可得。7.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率e的取值范围为A.

B.

C.

D.参考答案：A8.若复数的模为，则实数a=（

）A．1

B．－1

C．±1

D．参考答案：C，，故选C

9.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．2 B．﹣2 C． D．参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．【解答】解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，故选A10.已知锐角满足，则（

）A． B． C． D．

参考答案：C因为锐角满足，所以也是锐角，由三角函数的基本关系式可得，则，故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x＞0时有不等式x+≥2，x+=++≥3，…成立，由此启发我们可以推广为x+≥n+1（n∈N*），则a的值为．参考答案：nn【考点】F1：归纳推理．【分析】分析各个不等式的特点，归纳出a的值．．【解答】解：第一个不等式的a=1，第二个不等式的a=4=22，则由归纳推理可知，第n个不等式的a=nn．故答案为：nn12.已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为． 参考答案：【考点】几何概型；定积分在求面积中的应用． 【分析】欲求所投的点落在阴影内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出阴影图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率． 【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为 S=∫02x2dx+∫26（6﹣x）dx = =， 又Rt△AOB的面积为： 所以p==． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 13.已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，

且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是_

_.参考答案：14.（几何证明选讲选做题）如图4，已知是⊙的直径，是⊙的切线，过作弦，若，，则

．参考答案：15.函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使在上的值域为，那么叫做闭函数，现有是闭函数，那么的取值范围是

▲

．

参考答案：16.下列4个命题：①；②已知随机变量X服从正态分布N（3，），P（X≤6）=0．72，则P（X≤0）=0．28;③函数为奇函数的充要条件是；④已知则方向上的投影为，其中正确命题的序号是

.参考答案：②④17.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是

cm。参考答案：4试题分析：设球半径为r，则由可得，解得．考点：1．组合几何体的面积、体积．【思路点睛】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，解答时，首先设出球的半径，然后再利用三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2013?黄埔区一模）如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中AB=6米，AD=4米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于150平方米．（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．参考答案：（1）解：设AN的长为x米（x＞4）由题意可知：∵=，∴=，∴|AM|=，∴SAMPN=|AN|?|AM|=，由SAMPN＜150，得＜150，（x＞4），∴4＜x≤25，∴S=．定义域为4＜x≤25．（2）∵S===6（x﹣4）++4≥2+4=8+4（10分）当且仅当6（x﹣4）=，即x=4+时，取“=”号即AN的长为4+米，矩形AMPN的面积最小，最小为80+4米．略19.（本题满分12分）如图,在三棱锥中,侧面与底面垂直,分别是的中点,,,.(1)若点在线段上,问:无论在的何处,是否都有?请证明你的结论;(2)求二面角的平面角的余弦．参考答案：（1）在△SAB中，

∵OE∥AS，∠ASC=90°∴OE⊥SC

∵平面SAC⊥平面ABC，∠BCA=90°

∴BC⊥平面ASC，OE?平面ASC

∴BC⊥OE∴OE⊥平面BSC

∵SF?平面BSC

∴OE⊥SF所以无论F在BC的何处，都有OE⊥SF

…（6分）

（2）由（1）BC⊥平面ASC∴BC⊥AS

又∵∠ASC=90°∴AS⊥SC

∴AS⊥平面BCS

∴AS⊥SB

∴∠BSC是二面角B-AS-C的平面角

在Rt△BCS中，，所以二面角B-AS-C的平面角的余弦值为………（12分）20.定义：在平面内，点P到曲线上的点的距离的最小值称为点P到曲线的距离.在平面直角坐标系中，已知圆M：及点，动点P到圆M的距离与到A点的距离相等，记P点的轨迹为曲线为W.（Ⅰ）求曲线W的方程；

（Ⅱ）过原点的直线（不与坐标轴重合）与曲线W交于不同的两点C，D，点E在曲线W上，且，直线DE与轴交于点F，设直线DE，CF的斜率分别为，，求.参考答案：分析：（Ⅰ）由点到曲线的距离的定义可知，到圆的距离，所以，所以有，由椭圆定义可得点的轨迹为以、为焦点的椭圆，从而可求出椭圆的方程；（Ⅱ）设，，则，则直线的斜率为，由可得直线的斜率是，记，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理用，表示与即可得到结论.解：（Ⅰ）由分析知：点在圆内且不为圆心，故，所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆，设椭圆方程为（），则，所以，故曲线的方程为.（Ⅱ）设（），，则，则直线的斜率为，又，所以直线的斜率是，记，设置的方程为，由题意知，，由得.∴，∴，由题意知，，所以，∴直线的方程为，令，得，即.可得.所以，即.

21.（本小题满分12分）城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费;若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：组别候车时间人数一

2二6三4四2五1（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．参考答案：.解:（1）分钟．……3分（2）候车时间少于10分钟的概率为，

………………4分所以候车时间少于10分钟的人数为人．

………………6分（3）将第三组乘客编号为，第四组乘客编号为．从6人中任选两人有包含以下基本事件：，，，，，

………………10分其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为．

……………12分略22.已知直角的三边长,满足(1)已知均为正整数