广东省深圳市市南山中英文学校2021-2022学年高二数学理月考试题含解析

广东省深圳市市南山中英文学校2021-2022学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】本题利用排除法，由导函数的图象可以看出f（x）的单调区间，然后观察所给的选项，判断正误，问题得以解决．【详解】解：由导函数的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，排除A，B；由f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，x1）单调递增，因此当x＝0时，f（x）有极小值，所以D正确．故选：D．【点睛】选择题经常用到排除法，本题考查了识图的能力，由导函数的图象来推测原函数图象，需要认真观察．2.直线平面，，则与的关系为

（

）A．，且与相交

B．，且与不相交C．

D．与不一定垂直

参考答案：C略3.已知集合A={（x，y）|y=5x}，B={（x，y）|x2+y2=5}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C4.下列各数中最小的数是

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D5.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1参考答案：D【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C：+=1．利用，即可求得椭圆方程．【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上∴又∵∴∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴椭圆方程为：+=1故选D．6.不等式a2+b2﹣a2b2﹣1≤0成立的充要条件是（）A．|a|≥1且|b|≥1 B．|a|≤1且|b|≤1 C．（|a|﹣1）（|b|﹣1）≥0 D．（|a|﹣1）（|b|﹣1）≤0参考答案：C【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a2+b2﹣a2b2﹣1≤0?（a2﹣1）（b2﹣1）≥0?（|a|﹣1）（|b|﹣1）≥0．即可判断出结论．【解答】解：a2+b2﹣a2b2﹣1≤0?a2（1﹣b2）+（b2﹣1）≤0?（b2﹣1）（1﹣a2）≤0?（a2﹣1）（b2﹣1）≥0?（|a|﹣1）（|b|﹣1）≥0．故选：C．【点评】本题考查不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是A.2015 B.2016 C.2017 D.2018参考答案：C分析：首先求得a的表达式，然后列表猜想的后三位数字，最后结合除法的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合二项式定理可得：，计算的数值如下表所示：底数指数幂值5155225531255462555312556156255778125583906255919531255109765625

据此可猜想最后三位数字为，则：除以8的余数为1，所给选项中，只有2017除以8的余数为1，则的值可以是2017.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项式定理的逆用，学生归纳推理的能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8.若对于任意的实数，有，则的值为(

)Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.参考答案：B9.圆的极坐标方程分别是和，两个圆的圆心距离是A．2

B．

C．

D．5参考答案：C略10.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最大值为A．

B．

C．8

D．63参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在北纬60°圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于（R为地球半径），则这两地间的球面距离为_______.参考答案：【分析】设甲、乙两地分别为，地球的中心为，先求出北纬60°圈所在圆的半径，再求A、B两地在北纬60°圈上对应的圆心角，得到线段AB的长，解三角形求出的大小，利用弧长公式求这两地的球面距离.【详解】设甲、乙两地分别为，北纬圈所在圆的半径为，它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于（为地球半径），（是两地在北纬60圈上对应的圆心角），故.所以线段设地球的中心为，则是等边三角形，所以，故这两地的球面距离是.【点睛】本题考查球面距离及相关计算，扇形弧长和面积是常用公式，结合图形是关键.12.若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围为________．参考答案：（-2,1）13.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x元456789销量y元908483807568由表中数据，求得线性回归方程为，若从这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率为．参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】计算样本中心，代入回归方程解出a，得到回归方程，再计算当x=4，5，6，…9时的预测值，找出真实值比预测值小的点的个数，利用古典概型的概率公式计算概率．【解答】解：=，=80，∴a==106，∴回归方程为=﹣4x+106．计算预测销量如下：单价x元456789销售量y908483807568预测销售量908682787470∴销售量比预测销量少的点有2个，∴从这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率P=．故答案为．14.不等式(x－2)≥0的解集是 ．参考答案：15.设双曲线的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，则此双曲线的离心率为

。参考答案：

2

略16.设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：（1）（2）（3）（4），其中假命题有．参考答案：（2）（4）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．

【专题】常规题型．【分析】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的结论进行逐一列举说明．【解答】解：（1）若α∥β，α∥γ，则β∥γ，根据面面平行的性质定理和判定定理可证得，故正确（2）若m∥α，α⊥β则m∥β或m与β相交，故不正确（3）∵m∥β∴β内有一直线l与m平行，而m⊥α，则l⊥α，l?β，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确（4）m∥n，n?α则m?α或m∥α，故不正确故答案为：（2）（4）【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及命题的真假判断与应用，属于基础题．17.已知数列,…,计算得,….由此可猜测=.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若△的面积为，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于，两点，且使点为△的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

参考答案：（1）由题意可得，解得，，故椭圆方程为．

（2）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，设，因为，，故．

于是设直线的方程为，由得．由，得，且,．

由题意应有，又，故，得．即．

整理得．Ks5u解得或．经检验，当时，△不存在，故舍去．Ks5u当时，所求直线存在，且直线的方程为．19.已知：如图所示，l1∩l2=A，l2∩l3=B，l1∩l3=C．求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．参考答案：【考点】平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据确定一平面的条件进行证明即可．【解答】解：∵l1∩l2=A，∴l1、l2确定一平面α，又l2∩l3=B，l1∩l3=C，∴B∈l2，C∈l1，∴B∈α，C∈α，∴l3?α，∴直线l1，l2，l3在同一平面内．【点评】本题主要考查确定一平面的条件，属于基础题．20.(本小题满分16分)已知函数，．(Ⅰ)若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求的值和该切线方程；(Ⅱ)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；(Ⅲ)对(Ⅱ)中的和任意的，证明：．参考答案：21.（13分）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:(1)三角形PCD的面积;(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.

参考答案：)[解](1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,所以CD⊥