数列的综合应用

数列的综合应用考点一 数列在实际问题与数学文化问题中的应用[典例] (1)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸 ①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是()A．72.705尺B．61.395尺C．61.905尺D．73.995尺(2)(2018北·京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后，他的账户中一共有________元；到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．[解析](1)因为每相邻两节竹节间的长度差为0.03尺，设从地面往上每节竹长分别为a1，a2，a3，⋯，a30，所以数列{an}是以a1＝0.5为首项，以d1＝0.03为公差的等差数列．又由题意知竹节圈长，每后一圈比前一圈细0.013尺，设从地面往上每节圈长分别为b1，b2，b3，⋯，b30，则数列{bn}是以b1＝1.3为首项，以 d＝－0.013为公差的等差数列．所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为S30＝30×0.5＋30×29×0.03＋230×1.3＋30×29×－0.013＝61.395.故选B.2(2)依题意，2019年1月1日存款a元后，账户中一共有a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)(元)．2022年1月1日可取出钱的总数为a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)41＋p[1－1＋p]＝a·1－1＋pa5p[(1＋p)－(1＋p)]ap[(1＋p)5－1－p]．[答案](1)B(2)ap＋2aa[(1＋p)5－1－p]p[解题技法][题组训练]1．(2019贵·阳适应性考试 )《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱， 令上二人所得与下三人等， 问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？ (“钱”是古代的一种重量单位 )在这个问题中，丙所得为 ( )A.7钱B.5钱66C.2钱D．1钱3解析：选D因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得为1钱，故选D.2．(2018·徽知名示范高中联考安 )中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()50A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝750B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝7150C．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝71的等比数列，且c＝50D．a，b，c成公比为27解析：选D由题意可得，a，b，c成公比为111b，故4c＋2c2的等比数列，b＝a，c＝22＋c＝50，解得c＝507.故选D.3．(2019江·西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是()A．11B．13C．15D．17解析：选B设鱼原来的质量为a，饲养n年后鱼的质量为an，q＝200%＝2，则a1＝a(1＋q)，a2＝a11＋q＝a(1＋q)1＋q，⋯，a5＝a(1＋2)×(1＋1)×1＋111222×1＋2×1＋322＝40532a≈12.7a，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.考点二等差数列与等比数列的综合计算[典例](2018·京高考北)设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋⋯＋ean.[解](1)设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2.ean(2)因为ea1＝eln2＝2，ean－1＝ean－an－1＝eln2＝2，所以数列{ean}是首项为2，公比为 2的等比数列，n所以 ea1＋ea2＋⋯＋ean＝2×1－2＝2n＋1－2.[解题技法] 等差数列与等比数列综合计算的策略(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即 {an}为等差数列 ?{aan}(a>0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列 ?{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列．[题组训练

]1．已知等差数列

{an}的公差为

5，前

n项和为

Sn，且

a1，a2，a5成等比数列，则

S6＝(

)A．95B．90C．85D．80解析：选B由a1，a2，a5成等比数列，得a22＝a1·a5.又等差数列{an}的公差为5，所以(a1＋5)2＝a1(a1＋4×5)，解得a1＝5.所以S6＝6×5＋6×5×5＝90.故选B.2222．已知数列{an}是公差为整数的等差数列，前n项和为Sn，且a1＋a5＋2＝0,2S1,3S2,8S3成等比数列，则数列1项和为________．的前10anan＋1解析：设等差数列{an}的公差为 d，因为a1＋a5＋2＝0，所以2a1＋4d＋2＝0，a1＝－1－2d.2即16(－1－2d)(－3－3d)＝9(－2－3d)2.因为d为整数，所以解得d＝－2，则a1＝3，所以an＝3－2(n－1)＝5－2n.1111－1则anan＋1＝5－2n3－2n＝2n－3，22n－5所以数列1的前10项和为1×1－1＋1×1－1＋⋯＋1×1－1＝anan＋12－3－12－12151711×1－1＝－102－31751.答案：－10513．(2019·汉调研武)已知等差数列 {an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.(1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝13，求Sn.解：(1)设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，①由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，②联立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)∵T3＝b1(1＋q＋q2)，∴1＋q＋q2＝13，解得q＝3或q＝－4，由a2＋b2＝3得d＝4－q，∴d＝1或d＝8.1由Sn＝na1＋2n(n－1)d，1232得Sn＝n－n或Sn＝4n－5n.22考点三数列与函数、不等式的综合问题111*[典例]设函数f(x)＝2＋x，正项数列{an}满足a1＝1，an＝fan－1，n∈N，且n≥2.(1)求数列{an}的通项公式；1＋1＋1＋⋯＋1<2.(2)求证：a1a2a2a3a3a4nn＋1aa1[解] (1)因为an＝fan－1，1所以an＝2＋an－1，n∈N*，且n≥2，1所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，n＋1所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2.(2)证明：由(1)可知1＝4＝41－1，n＋1n＋2anan＋1n＋1n＋21111＝41111111－1所以a1a2＋a2a3＋a3a4＋⋯＋anan＋12－3＋3－4＋4－5⋯＋n＋1n＋2＝1－1442n＋2＝2－n＋2<2.[解题技法]1．数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、 图象研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n项和公式、求和方法等对式子化简变形．注意数列与函数的不同， 数列只能看作是自变量为正整数的一类函数， 在解决问题时要注意这一特殊性．2．数列与不等式综合问题的求解策略解决数列与不等式的综合问题时， 若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法， 如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．[题组训练]1．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数 y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是 ( )A．Sn＝2TnB．Tn＝2bn＋1C．Tn>anD．Tn<bn＋1解析：选D因为点(n，S＋3)在函数y＝3×2x的图象上，n所以Sn＋3＝3×2n，即Sn＝3×2n－3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－3－(3×2n－1－3)＝3×2n－1，又当n＝1时，a1＝S1＝3，所以an＝3×2n－1.设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，可得b1＝1，q＝2，所以数列{bn}的通项公式为n－1bn＝2.由等比数列前 n项和公式可得 Tn＝2n－1.结合选项可知，只有 D正确．2．(2019昆·明适应性检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝4n，若不等式Sn＋8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为an＝4n，所以Sn＝2n2＋2n，不等式Sn＋8≥λn对任意的n∈N*恒成立，即λ≤2n2＋2n＋82n2＋2n＋88时取等号)，所以实数λ的取，又＝2n＋＋2≥10(当且仅当n＝2nnn值范围为(－∞，10]．答案：(－∞，10][课时跟踪检测 ]A级1．(2019·明高三摸底调研测试昆)已知等差数列{an}的公差为2，且a4是a2与a8的等比中项，则an＝()A．－2nB．2nC．2n－1D．2n＋1解析：选B由题意得等差数列{an}的公差d＝2，所以an＝a1＋2(n－1)，因为a4是a2与a8的等比中项，所以a24＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，解得a1＝2，所以an＝2n，故选B.2．设y＝f(x)是一次函数，若 f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则 f(2)＋f(4)＋⋯＋f(2n)等于( )．n(2n＋3)C．2n(2n＋3)

B．n(n＋4)D．2n(n＋4)解析：选A 由题意可设 f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋⋯＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋⋯＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)．3．已知公差不为 0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列， Sn为{an}的前n项和，S3－S2则S5－S3的值为()A．2B．31C.5D．4解析：选A设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．∵a1，a3，a4成等比数列，∴a1a4＝a32，24d.∴S3－S2＝a3＝a1＋2d即a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)，解得a1＝－S5－S32a1＋＝2.故选A.a5＋a47d4．(2018·州一中入学测试郑)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A．96里B．48里C．192里D．24里解析：选A依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为1的等比数列，216记为{an}，其前6项和等于378，于是有a11－211＝378，解得a1＝192，因此a2＝a1＝96，21－2即该人第二天走了96里，选A.n*)为n个正数P1，P2，⋯，Pn的“均倒数”．若数列{an}5．定义：＋P＋⋯＋P(n∈NP12n1的前n项的“均倒数”为 ，则数列{an}的通项公式为( )2n－1A．an＝2n－1B．an＝4n－1C．an＝4n－3D．an＝4n－5解析：选C∵n＝1，∴a1＋a2＋⋯＋an＋a＋⋯＋a＝2n－1，∴aa1＋a2＋⋯＋an2n－1n12n(2n－1)n，a1＋a2＋⋯＋an－1＝(2n－3)(n－1)(n≥2)，∴当n≥2时，an＝(2n－1)n－(2n－3)(n1)＝4n－3，又a1＝1，∴an＝4n－3.6．(2019河·南六市联考)若正项递增等比数列{an}满足1＋a2－a4＋λ(a3－a5)＝0(λ∈R)，则a＋λa的最小值为()67A．－2B．－4C．2D．4解析：选D设等比数列{an}的公比为q，q≠0，因为数列{an}为正项递增等比数列，所以a4－a2>0且q>1.因为1＋a2－a4＋λ(a3－a5)＝0，所以11＋λq＝－a，a42所以a＋λa＝aa6＝q4＝q4－1＋1＝q2＋1＋12－1＋1＋q2－1q2－1q2－1＝qq2－1676(1＋λq)＝a4－a22≥22－1·21＋2＝4当且仅当q2－1＝21时，即q＝2时，取等号，即a＋λaqq－1q－167的最小值为4，故选D.7．某公司去年产值为

a，计划在今后

5年内每年比上年产值增加

10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为 ________．解析：每年的产值构成以 a(1＋10%)＝1.1a为首项，1.1为公比的等比数列，所以从今51.1a1－1.1 5年起到第 5年的总产值 S5＝ ＝11(1.1－1)a.答案：11(1.15－1)a8．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________.936解析：因为S，S，S成等差数列，所以公比q≠1，21－q＝1－q＋1－q，整理得3961－q1－q1－q2q6＝1＋q3，所以q3＝－1，故a2·1－1＝4，解得a2＝8，故a8＝8×1＝2.224答案：29．已知等差数列{an}满足an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，函数f(x)＝2x，bn＝log4f(an)，则数列{bn}的前n项和为________．解析：∵等差数列{an}满足 an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，∴3an＝3n，即 an＝n.又∵函数f(x)＝2x，∴f(an)＝2n，∴b1＋b2＋⋯＋bn＝log4[f(a1)·f(a2)·⋯·f(an)]＝log4(2×22×⋯×2n)＝log421＋2＋⋯＋n＝1×(1＋2＋⋯＋n)＝nn＋1.24答案：nn＋1410．(2018·沈阳质检)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，则 an＝________.an＋1－an解析：法一：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以an－an－1＝2(n≥2)，所以an＋1－an＝(a2a1)2n－1＝2n－1(n≥2)，又a2－a1＝1，所以an－an－1＝2n－2，an－1－an－2＝2n－3，⋯，a2－a1＝1，累加，得 an＝2n－1(n∈N*)．法二：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以an＋1－2an＝an－2an－1，得an＋1－2an＝an－2an－1＝an－1－2an－2＝⋯＝a2－2a1＝0，即an＝2an－1(n≥2)，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1(n∈N*)．答案：2n－111．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为32.(1)若S4＝65，求a1.241(2)若a1＝2，cn＝2an＋nb，且c2，c4，c5成等差数列，求b.解：(1)∵公比q＝3，S4＝65，2 24a11－342＝65，∴241－2∴1－81a1＝－65116，解得a1＝.483(2)∵a1＝2，公比为3，∴a2＝3，a4＝27，a5＝81.2481又∵cn＝2an＋nb，131271a5＋5b＝81＋5b.∴c2＝a2＋2b＝＋2b，c4＝a4＋4b＝＋4b，c5＝1622282∵c2，c4，c5成等差数列，227＋4b＝3＋2b＋81＋5b，解得b＝－3.821616nn，点n，Sn，n∈N*均在函数y＝x的图象上．12．设数列{a}的前n项和为Sn(1)求数列{an}的通项公式；1*2(2)记数列anan＋1的前n项和为Tn，若对任意的n∈N，不等式4Tn<a－a恒成立，求实数a的取值范围．Sn 2解：(1)依题意得 ＝n，即Sn＝n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝1＝2×1－1＝1，∴an＝2n－1.1＝1＝11－1，(2)∵anan＋12n－12n＋122n－12n＋1∴T＝11－1＋1－1＋⋯＋1－1＝11－11，n23352n－12n＋122n＋1<2又4Tn<a2－a，∴2≤a2－a，解得a≤－1或a≥2，即实数a的取值范围为 (－∞，－1]∪[2，＋∞)．B级1．若定义在

R上的函数

y＝f(x)是奇函数且满足

f3－x2

＝f(x)，f(－2)＝－3，数列

{an}满足

a1＝－1，且Sn＝2×an＋1(其中n n

Sn为{an}的前

n项和)，则

f(a5)＋f(a6)＝(

)A．－3B．－2C．3D．2解析：选C由f3－x＝f(x)可知函数f(x)的图象的对称轴为直线32x＝.又函数y＝f(x)4是奇函数，所以有f3－x3，所以3＝－f(x)，即f(x－3)＝f(x)，所以2＝f(x)＝－fx－2fx－2Snan函数y＝f(x)的周期为3.由n＝2×n＋1得Sn＝2an＋n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋n－(2an1＋n－1)＝2an－2an－1＋1，即an＝2an－1－1，所以a2＝－3，a3＝－7，a4＝－15，a5＝－31，a6＝－63，则f(a5)＋f(a6)＝f(－31)＋f(－63)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)．由函数 y＝f(x)是奇函数可得f(0)＝0，由f(－2)＝－3可得f(－2)＝f(1)＝－3，所以f(a5)＋f(a6)＝3.故选C.2．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换50