2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第2讲 一次函数的应用(含详解)

第2讲一次函数的应用

模块一：一次函数与不等式的关系

知识精讲

1、一元一次方程与一次函数

(1)对于一次函数y，由它的函数值y=0就得到关于x的一元一次方程

kx+b^0,解这个方程得x=-"，于是可以知道一次函数〉=丘+6的图像与x轴

的交点坐标为(-2,0).

k

(2)若已知一次函数)，="+匕的图像与x轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标

x=--,其就是一元一次方程京+3=0的根.

k

2、一元一次不等式与一次函数

(1)由一次函数y=fcv+b的函数值y大于0(或小于0),就得到关于x的一元一次不等

式任+6>0(或Ax+Z?<0)的解集.

(2)在一次函数机的图像上且位于x轴上方(或下方)的所有点，它们的横坐标的取值

范围就是不等式依+。>0(或6+6<0)的解集.

例题解析

【例1】如图所示，一次函数)，=丘+匕的图像经过4(0,2),5(4,0)两点，则不等式融+力0

的解集是.

7

【例2】已知一次函数y='x+2,

(1)如果函数的图象在x轴的上方，这时x应满足的条件是；

(2)如果函数的图像在y轴的左侧，此时x的取值范围是.

【例3】如图所示，直线y=经过J(-1,2)和8(-3,0)两点，则不等式组

—x+l<6+6<3的解集是什么？

【例4】直线《：y=4x+b与直线4：y=&x在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，求关

于X的不等式42万>4工+。的解集.

【例5】如图已知函数y=2x+8和y=ox-3的图像交于点P(-2,-5),根据图像，求不等

^2x+b>ax-3的解集.

y=2x^b

【例6】利用函数的图像求不等式：2X-3<1的解集.

X

模块二：一次函数在实际问题中的运用

知识精讲

1、一次函数在现实生活中运用广泛，既可以解决一些简单的实际问题，也可以帮助我们去

分析

和概括一些复杂的问题.

2、在实际问题中，我们通常要寻找两组自变量和对应的函数值,从而确定这个函数解析式.

3、学会利用一次函数作出预测，主要是根据函数解析式或者图像求出对应时间点的函数值.

例题解析

【例7】早晨，小强从家出发，以匕的速度前往学校，途中在一饮食店吃早点，之后以吸的

速度向学校走去，且必〉⑶则表示小强从家到学校的时间寅分钟）与路程S（千米）之间

的关系是（）

【例8】小智和同学骑车去郊外春游，下列说法中塔送的是（）

4.修车时间为15分钟B.春游的地方离家的距离为2000米

C.到达春游地点共用时间20分钟D.自行车发生故障时离家距离为1000米

【例9】如图，在矩形舫8中，AB=2,BC=\,动点。从点6出发，沿路线f

作匀速运动，那么aAB尸的面积S与点尸运动的路程x之间的函数图象大致是（）

「D\-------------1。

A.BCD

【例10］如图1,在矩形MTVP。中，动点R从点N出发，沿NfP—QfM方向运动至点

M处停止.设点R运动的路程为x,AWNR的面积为y,如果y关于x的函数图象如

图2所示，则当x=9时，点A应运动到（）

（图1）1图1:

A.A'处B.P处C.Q处D."处

【例11】已知甲乙两人的一次赛跑中，路程S与时间的关系如图所示，那么可以知道:

（1）这是一次米赛跑;

（2）甲、乙两人中先到达终点的是；

（3）乙在这次赛跑中平均速度为米/秒.

【例12】一家小型放影厅盈利额y（元）同售票数x之间的关系如图所示，其中保险部门规定:

超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元.试根据关系图回答下列问题：

（1）当售票数x满足0<xW150时,盈利额y（元）与x之间的函数关系式是.

（2）当售票数x满足150<xW250时，盈利额y（元）与”之间的函数关系式是

（3）当售票数x为时，不赔不赚；当售票数x满足时，放影厅要

赔本；若放影厅要获得最大利润200元，此时售票数x应为

（4）当产时，此时利润为140元.

【例13】为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，所使用的

便民卡和如意卡在我市范围内每月（30天）的通话时间x（分钟）与通话费y（元）的关系如

图所示，分别求出通话费力、度与通话时间x之间的函数关系式，如果小方3月份通话

时间为170分钟，他选择哪种卡比较合适.

【例14］如图，线段A5,CD分别是一辆轿车和一辆客车在行驶过程中油箱内的剩余油量

,（升）、丫?（升）关于行驶时间x（小时）的函数图像.

（1）写出图中线段CZ）上点M的坐标及其表示的实际意义；

（2）求出客车行驶前油箱内的油量：

（3）求客车行驶1小时所消耗的油量相当于轿车行驶几小时所消耗的油量.

模块三：一次函数在几何图形中的简单运用

知识精讲

(1)函数方法

函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，

进而解决有关问题的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法

可以解决许多数学问题.

(2)数形结合法

数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在

解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用.

例题解析

【例15］若函数y=-x-4与y轴交于点直线上y=-x-4有一点也若△加物的面积为

10,则点M的坐标.

【例16】已知一次函数片2行8与两坐标轴围成的三角形面积为24,求人的值.

【例17］如图所示，直线人的解析表达式为y=-3户3,且人与x轴交于点。，直线人经过

点4、B,直线人上交于点C

(1)求点，的坐标；

(2)求直线上的解析表达式；

(3)求的面积

（4）在直线心上存在异于点C的另一点只使得与△4加的面积相等，请直接写

出点。的坐标.

【例18］如图，一次函数y=-J?x+3与坐标轴交于46两点，且点。是坐标轴上一点，△

4"为等腰三角形.（1）求乙仿。的大小；（2）求出产点的坐标.

【例19］如图，一次函数y=与正比例函数)，=丘的图象交于第三象限内的点4与y

轴交于8(0,-4),且力引反△A48的面积为6.

(1)求两函数的解析式；

(2)若M(2,0),直线阴与40交于只求夕点的坐标；

(3)在*轴上是否存在一点£,使8械=5,若存在，求《点的坐标；若不存在，请说

明理由.

随堂检测

1.如图某大坝下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库

水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位入（米）随时间t（天）变化的是

（）

2.（2020•上海市静安区实验中学八年级期中）如图，已知直线也叫y=4x+2交x轴负半

轴于点力，交y轴于点8,/物3=30°，点C是x轴上的一点，且OC=2,则乙监C的度数

为（）

A.75°B.165°C.75°或45°D.75°或165°

3.（2020•上海松江区•八年级期末）小明同学骑自行车从家里出发依次去甲、乙两个景

点游玩，他离家的距离y（km）与所用的时间x（h）之间的函数图像如图所示：

（1）甲景点与乙景点相距千米，乙景点与小明家距离是千米;

（2）当OWxWl时，y与*的函数关系式是.一；

（3）小明在游玩途中，停留所用时间为小时，在6小时内共骑行一

千米.

4.（2020•上海金山区•八年级月考）己知某汽车油箱中的剩余油量y（升•）与该汽车行

驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油126

升，行驶250千米，油箱中还剩油120升，那么当油箱中还剩油90升时，该汽车已行驶了

一千米

3

5.（2020•上海市云岭实验中学八年级月考）平面直角坐标系中，已知直线y=-：x+3与

4

x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0,a）是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，

使点B刚好落在x轴负半轴上，则点C的坐标是

6.（2020•上海市静安区实验中学八年级期中）如图，直线y=；x-2与x轴交于点力，

以力为斜边在x轴的上方作等腰直角三角形OAB,将△物6沿x轴向右平移，当点6落在

直线y=gx-2上时，则线段46在平移过程中扫过部分的图形面积为.

7（2020•上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的周长16cm,设腰长为

xcm,底边长为ycm,写出y关于x的函数解析式，并求自变量x的取值范围.

8.(2020•上海浦东新区•八年级月考)已知甲、乙两地相距90km,A,B两人沿同一公路

从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE,0C分别表示A,B离开甲地的路程

s(km)与时间t(h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题.

(1)A比B后出发几个小时？B的速度是多少？

(2)在B出发后几小时，两人相遇？

9.(2020•青浦区实验中学八年级期中)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往

甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(/z),两车之间的距离为y(初7),图中的折

线表示y与x之间的函数关系.

根据图象回答以下问题：

(1)甲乙两地之间的距离为km；

(2)图中点6的实际意义是__________________________________

(3)快车的速度是km/h,慢车的速度是km/h；

(4)点，的坐标是

10.(2020•上海杨浦区•八年级期末)某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制

订了以下每年每户用水的收费标准：

①用水量不超过220立方米时，每立方米收费1.92元，并加收每立方米1.53元的污水处

理费；

②用水量超过220立方米时，在①的基础上，超过220立方米的部分，每立方米收费3.30

元，并加收每立方米1.53元污水处理费；设某户一年的用水量为x立方米，应交水费y

元.

(1)分别对①、②两种情况，写出y与x的函数解析式，并指出函数的定义域;

（2）当某户2019年全年缴纳的水费共计1000.5元时，求这户2019年全年用水量.

11.（2020•上海松江区•八年级期末）如图线段是辆轿车油箱中剩余油量＞（升）关

于行驶时间x（小时）的函数图像，请解答下列问题：

（1）写出y关于x的函数解析式，并写出函数定义城:

（2）轿车行驶1小时后油箱中的剩余油量是多少升？

（3）当油箱中剩余油量为12升时，轿车油表灯亮.

①试问轿车行驶多少小时后油表灯亮？

②如果轿车的行驶速度平均每小时80千米，问轿车油表灯亮后最多还能行驶多少千米?

12.(2020•上海嘉定区•八年级期末)在平面直角坐标系xOy中，己知一次函数

4

的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B,且与两坐标轴所围成的三角形的

面积为6.

(1)直接写出点A与点5的坐标(用含力的代数式表示)；

(2)求b的值;

4

(3)如果一次函数y=—+8的图像经过第二、三、四象限，点C的坐标为(2,m),

其中机＞0,试用含的代数式表示△ABC的面积.

13.(2020•上海金山区•八年级月考)如图，甲，乙两人从点0出发去C地，甲的速度是

乙速度的L2倍，且甲在途中休息了半小时后仍按原速度行进.

(1)求甲，乙两人的行进速度.

(2)求线段BC的解析式，并写出定义域.

14.为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有A,6两种型号的设备,其中每台

的价格，月处理污水量及年消耗费如下表：

力型8型

价格（万元/台）1210

处理污水量（吨/月）240200

年消耗费（万元/台）11

经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.

（1）求购买设备的资金y万元与购买1型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方

案；

（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；

（3）在第（2）间的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨

10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多

少万元？

（注:企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）.

15.如图，在直角梯形故切中，CB//OA,以。为原点建立直角坐标系，/、。的坐标分别为4

（10,0）、（7（0,8）,C庐4,。为总中点，动点。自4点出发沿4-%—。的线路移动，

速度为1个单位/秒，移动时间为f秒.

（1）求4?的长，并求当即将梯形物8的周长平分时t的值，并指出此时点尸在哪条边

上；

（2）动点尸在从4到6的移动过程中，设△加少的面积为S,试写出S与t的函数关系式，

并指出t的取值范围；

（3）几秒后线段即将梯形。出6的面积分成1：3的两部分?求出此时点户的坐标？

x

第2讲一次函数的应用

模块一：一次函数与不等式的关系

知识精讲

3、一元一次方程与一次函数

(3)对于一次函数y，由它的函数值y=0就得到关于x的一元一次方程

kx+b^0,解这个方程得x=-"，于是可以知道一次函数〉=丘+6的图像与x轴

的交点坐标为(-2,0).

k

(4)若已知一次函数)，="+匕的图像与x轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标

x=--,其就是一元一次方程京+3=0的根.

k

4、一元一次不等式与一次函数

(3)由一次函数y=fcv+b的函数值y大于0(或小于0),就得到关于x的一元一次不等

式任+6>0(或Ax+Z?<0)的解集.

(4)在一次函数机的图像上且位于x轴上方(或下方)的所有点，它们的横坐标的取值

范围就是不等式依+。>0(或6+6<0)的解集.

例题解析

【例20］如图所示，一次函数y="+6的图像经过/(0,2)、8(4,0)两点，则不等式kx+b>0

的解集是.

【难度】★

【答案】x<4.

【解析】求y>0对应的图像部分，即取点6的上方部分所对应的x的取值范围即x<4.

【总结】考查一次函数与不等式之间的关系.

【例21】已知一次函数y=：x+2,

(3)如果函数的图象在x轴的上方，这时x应满足的条件是；

(4)如果函数的图像在y轴的左侧，此时x的取值范围是.

【难度】★★

【答案】(1)x>-5；(2)x<0.

【解析】(1)解不等式±x+2>0,得x>-5；(2)y轴左侧即xVO.

【总结】考查一次函数与不等式之间的关系.

【例22］如图所示，直线>=履+6经过4(-1,2)和6(-3,0)两点，则不等式组

—x+l<H+6<3的解集是什么？

【难度】★★

【答案】-l<x<0.

【解析】直线解析式为尸x+3,解不等式—x+l<x+3<3,W-l<x<0.

【总结】考查一次函数与不等式之间的关系.

【例23】直线《：>=&》+，与直线与：y=&x在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，求

关于x的不等式右x>匕x+8的解集.

【难度】★★

【答案】xv—1.

【解析】两条直线的交点坐标为(-1,3),原不等式的解集即交点左侧所对应的x的取值范

围即x<-l.

【总结】考查一次函数与不等式之间的关系.

【例24］如图已知函数y=2x+b和y=or-3的图像交于点尸"2,-5),根据图像，求不等

式2*+。>5一3的解集.

【难度】★★

【答案】x>-2.

【解析】两条直线的交点坐标为（-2,-5）,原不等式的解集即交点右侧所对应的x的取值

范围即x>-2.

【总结】考查一次函数与不等式之间的关系.

【例25】利用函数的图像求不等式：的解集.

X

【难度】★★★

【答案】0<x<2或xv-l.

2

【解析】原不等式可化为2x-l〈士，即求一次函数y=2x-l的函数值小于反比例函数y=±

xx

的函数值X所对应的取值范围.两函数的交点坐标为（-1,-3）、2）,第一象限取交点

2

左侧所对应的x的取值范围即0<x<±,第三象限取交点左侧所对应的x的取值范围，即

2

x<—1.

【总结】本题中出现反比例函数的图像，注意分两个象限讨论.

模块二：一次函数在实际问题中的运用

知识精讲

4、一次函数在现实生活中运用广泛，既可以解决一些简单的实际问题，也可以帮助我们去

分析

和概括一些复杂的问题.

5、在实际问题中，我们通常要寻找两组自变量和对应的函数值,从而确定这个函数解析式.

6、学会利用一次函数作出预测，主要是根据函数解析式或者图像求出对应时间点的函数值.

例题解析

【例26】早晨，小强从家出发，以％的速度前往学校，途中在一饮食店吃早点，之后以性的

速度向学校走去，且必〉出则表示小强从家到学校的时间寅分钟）与路程S（千米）之间

的关系是（）

【难度】★

【答案】A.

【解析】由必〉性，可知第2段图像比第1段图像所对应的直线更陡.

【总结】考查一次函数在实际问题中的应用.

【例27】小智和同学骑车去郊外春游，下列说法中错送的是（）

4.修车时间为15分钟B.春游的地方离家的距离为2000米

C.到达春游地点共用时间20分钟D.自行车发生故障时离家距离为1000米

【难度】★

【答案】A.

【解析】如图，修车时间为15-10=5分钟.

【总结】考查一次函数在实际问题中的应用.

【例28］如图，在矩形中，/后2,BC=\,动点尸从点5出发，沿路线3

作匀速运动，那么的面积S与点一运动的路程x之间的函数图象大致是（）

【难度】★

【答案】B.

【解析】动点—线段上运动时，面积S逐渐增大，最大值为1.动点尸线段8上运动

时，面积S保持不变，始终为1.

【总结】考查一次函数在动点背景下的几何问题中的应用.

【例29］如图1,在矩形MNP。中，动点R从点N出发，沿N-P-Q-〃方向运动至点

M处停止.设点R运动的路程为x,的面积为y,如果y关于x的函数图象如

图2所示，则当x=9时，点R应运动到()

处B.P处C.Q处D.M处

【难度】★★

【答案】C.

【解析】动点R在线段NP上运动时，y逐渐增大对应图2中第1段图像；动点R在线段PQ

上运动时，y保持不变对应图2中第2段图像；动点R在线段上运动时，y逐渐减小对

应图2中第3段图像.可知矩形的宽NP=4,PQ=5.所以，当x=9时，点R运动到点。处.

【总结】考查一次函数在动点背景下的儿何问题中的应用.

【例30】已知甲乙两人的一次赛跑中，路程S与时间的关系如图所示，那么可以知道:

(1)这是一次米赛跑；

(2)甲、乙两人中先到达终点的是

(3)乙在这次赛跑中平均速度为米/秒.

【难度】★★

【答案】（1）100；（2）甲；（3）8.

【解析】（1）略；（2）甲12秒到达终点，乙12.5秒到达终点；（3）100+12.5=8米/秒.

【总结】考查一次函数在实际问题中的应用及利用图像解决问题.

【例31】一家小型放影厅盈利额y（元）同售票数x之间的关系如图所示，其中保险部门规定:

超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元.试根据关系图回答下列问题：

（1）当售票数x满足0<启150时,盈利额y（元）与x之间的函数关系式是.

（2）当售票数x满足150<xW250时，盈利额y（元）与x之间的函数关系式是

（3）当售票数x为时，不赔不赚；当售票数x满足时，放影厅要

赔本；若放影厅要获得最大利润200元，此时售票数x应为.

（4）当产时，此时利润为140元.

【难度】★★

【答案】(1)y=2x-200；(2)y=3x-400：(3)100、0<x<100>200；(4)180.

【解析】(1)通过两点坐标(0,-200)、(150,100)可求y=2x-200；

（2）通过两点坐标（150,50）、（200,200）可求y=3x-400；

（3）分别令y=2x-2（X）=0、y=2x-200<0、

y=3x-400200可求.

（4）令y=3x-400:140,可求x=18O.

【总结】考查•次函数在实际问题中的应用，注意对分段函数的理解.

【例32】为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，所使用的

便民卡和如意卡在我市范围内每月（30天）的通话时间x（分钟）与通话费y（元）的关系如

图所示，分别求出通话费力、放与通话时间x之间的函数关系式，如果小方3月份通话

时间为170分钟，他选择哪种卡比较合适.

【难度】★★

【答案】选便民卡.

【解析】=-x+29；y2=-^x.当x=170时，y,=63.%=65,y<y?.所以选便民卡・

【总结】考查一次函数在实际问题中的应用

【例33】如图，线段4?,CD分别是一辆轿车和一辆客车在行驶过程中油箱内的剩余油量

%（升）、%（升）关于行驶时间x（小时）的函数图像.

（1）写出图中线段CD上点M的坐标及其表示的实际意义：

（2）求出客车行驶前油箱内的油量；

（3）求客车行驶1小时所消耗的油量相当于轿车行驶几小时所消耗的油量.

【难度】★★

【答案】(1)M(1,60),客车行驶1小时后，邮箱内剩余60升油；

(2)90升；(3)2小时.

【解析】(1)略；(2)线段CD的解析式为y=-30x+90,

当x=0时，y=90.

(3)客车每小时耗油30升，轿车每小时耗油15升.

【总结】考查一次函数在实际问题中的应用.

模块三：一次函数在几何图形中的简单运用

知识精讲

(1)函数方法

函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，

进而解决有关问题的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法

可以解决许多数学问题.

(2)数形结合法

数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在

解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用.

例题解析

【例34］若函数y=r-4与y轴交于点4直线上y=-x-4有一点也若△［的的面积为

10,则点历的坐标.

【难度】★

【答案】(5,-9)或(-5,1).

【解析】以04为△/加底，可求得高为5,即点M的横坐标为±5,代入解析式得点M的坐

标为(5,-9)或(-5,1).

【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意考虑全面，不要漏解.

【例35】已知一次函数尸2廿6与两坐标轴围成的三角形面积为24,求。的值.

【难度】★★

【答案】±4#.

【解析】一次函数图像与x轴的交点坐标为(-号，0)，与y轴的交点坐标为(0,b),那么

三角形的面积$="目料=24,解得：b;±4娓.

【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意考虑全面，不要漏解

【例36］如图所示，直线人的解析表达式为了=-3行3,且人与x轴交于点。，直线右经过

点力、B,直线人A交于点C

(1)求点。的坐标；

(2)求直线心的解析表达式；

(3)求的面积

(4)在直线乙上存在异于点7的另一点只使得△/%与的面积相等，请直接写

出点。的坐标.

【难度】★★

?9

【答案】(1)(1,0)；(2)y=-x-6；(3)-；(4)P(6,3).

22

【解析】(1)令3户3=0,解得：x=l；

(2)通过A(4,0)、B(3,),可求y=1x—6；

1Q

(3)C(2,-3),5=-x3x3=-.

22

(4)令y=A_6=3,解得：x=6,所以〃(6,3).

2

【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意面积的准确求解.

【例37］如图，一次函数丁=-四+3与坐标轴交于力、占两点，且点。是坐标轴上一点，△

2以为等腰三角形.(1)求/力加的大小；(2)求出〃点的坐标.

【难度】★★★

【答案】(DZABO=60°；(2)Pt(-6，0)、P2(3g,0)、P,(0,-3)、P4

(0,3+26)、

P5(0,3-2V3),Pb(0,1).

【解析】(1)由y=-Gx+3,可得：A(0,3)、B(6，0),所以。4=3,03=6,

所以4?=26，所以NCMfi=30°,ZABO=60°；

(2)当B4=BPn寸，Pt(Ji,0)、P2(3A/3,0)、P,(0,-3)；

当=时，舄(0,3+26)、Ps(0，3-26);

当F4=FB时，Pb(0,1).

【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意等腰的分类讨论.

【例38］如图，一次函数y=与正比例函数)，=丘的图象交于第三象限内的点4与y

轴交于8(0,-4),且力引反△A48的面积为6.

(1)求两函数的解析式；

(2)若M(2,0),直线EM与AO交于P,求产点的坐标；

(3)在x轴上是否存在一点£,使五械=5,若存在，求£点的坐标；若不存在，请说

明理由.

【难度】★★★

【答案】(1)正比例函数y=一次函数y=、x—4；(2)P(3,2)；

(3)E(-1,0)或(-11,0).

【解析】(1)过A作ANl_x轴，可求得A”=3,OH=BH=2，

所以A(-3,-2),所以正比例函数解析式为y=(x,

由A(-3,-2)、8(0,-4),

可求得一次函数解析式为y=-；2x-4；

(2)由8(0,-4)、M(2,0),

可求得直线BM的解析式为y=2x-4.

令±x=2x—4,解得：x=3,所以P(3,2)；

3

(3)过点力作加Ux轴于点凡贝US梯形0Bw=gx(2+4)x3=9,

设E(a,0),当=9-;义(3-同)x2-gx|a|x4=5,解得：a=-l；

当=；x|a|*4-9-gx(|d-3)x2=5,解得：a=-ll,

综上，£点的坐标为(一1,0)或(一11,0).

【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意对面积的分类讨论.

随堂检测

1.如图某大坝下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库

水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位入(米)随时间t(天)变化的是

()

【难度】★

【答案】B.

【解析】方的最小值为106米，最大值为135米，人随着£的增大而增大，故选反

【总结】考查一次函数在实际问题中的应用.

2.（2020•上海市静安区实验中学八年级期中）如图，已知直线助M尸质2交x轴负半

轴于点4交y轴于点6,/胡0=30°,点C是x轴上的一点，且%=2,则乙监C的度数

为（）

A.75°B.165°C.75°或45°D.75°或165°

【答案】D

【分析】分两种情况考虑：①C点在x轴正半轴；②C点在才轴负半轴.分别计算出N

MBO、度数，两个角的和差即为所求度数.

【详解】由一次函数y=kx+2可得，0B=2,由已知可得：/酶120°.

如图，分两种情况考虑：

①当点C在x轴正半轴上时，/G除45°,乙仞%=120°-45°=75°；

②当点C在x轴负半轴上时，/物夕C=120°+45°=165°.

故选1）.

【点睛】本题考查了一次函数图象的性质以及分类讨论思想.

3.（2020•上海松江区•八年级期末）小明同学骑自行车从家里出发依次去甲、乙两个景

点游玩，他离家的距离），（km）与所用的时间x（h）之间的函数图像如图所示：

（1）甲景点与乙景点相距千米，乙景点与小明家距离是千米；

（2）当OWxWl时，y与x的函数关系式是；

（3）小明在游玩途中，停留所用时间为小时，在6小时内共骑行一

千米.

【答案】（1）6,12；（2）y=6x；（3）3,24

【分析】（1）根据函数图像，直接得到答案即可；（2）根据待定系数法，即可求解；

（3）根据函数图像，直接得到答案即可.

【详解】（1）由图像可知：当3<x<4时，小明从甲景点到乙景点，所以甲景点与乙景点

相距6千米，当5WxW6时，小明从乙景点到家，所以乙景点与小明家距离是12千米，

故答案是:6,12；

（2）当OWxWl时，y是x的正比例函数，设丫=1«,

把A（1,6）代入y=kx,得6=k,所以y与x的函数关系式是y=6x,

故答案是:y=6x；

（3）由图像得，当1WXW3时，小明在甲景点玩，当4WxW5时，小明在乙景点玩，所以

小明在游玩途中，停留所用时间为3小时；小明从家到甲景点6千米，小明从甲景点到乙

景点6千米，乙景点与小明家距离是12千米，所以在6小时内共骑行24千米，

故答案是：3,24

【点睛】本题主要考查函数图像，理解函数图象上点得坐标的实际意义，是解题的关键.

4.（2020•上海金山区•八年级月考）己知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行

驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油126

升，行驶250千米，油箱中还剩油120升，那么当油箱中还剩油90升时，该汽车已行驶了

一千米

【答案】500

【分析】根据当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油126升，行驶250千米，油

箱中还剩油120升，那么当油箱中还剩油90升时，根据题意列出式子进行计算即可.

【详解】（250-200）+（126-120）X（120-90）+250=500,故答案为：500.

【点睛】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于根据题意列出式子.

3

5.（2020•上海市云岭实验中学八年级月考）平面直角坐标系中，已知直线y=-=x+3与

4

x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0,a）是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，

使点B刚好落在x轴负半轴上，则点C的坐标是

4

【答案】（0,-）.

3

【分析】过C作CDLAB于D,先求出A,B的坐标，分别为（4,0）,（0,3）,得到AB的

长,再根据折叠的性质得到AC平分N0AB,得到CD=C0=a,DA=OA=4,则DB=5-4=1,BC=3-

a,在RtZ\BCD中，利用勾股定理得到a的方程，解方程求出a即可.

【详解】过C作CDLAB于D,如图，

3

对于直线y=-2x+3,当x=0,得y=3；当y=0,x=4,

4

AA（4,0）,B（0,3）,即OA=4,0B=3,，AB=5,

又♦..坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，.•/（；平分/OAB,

.,.CD=C0=a,则BC=3-a,.,.DA=0A=4,，DB=5-4=1,

4

在RtZXBCD中，DC2+BD2=BC2,/.a+l2=（3-a）2,解得a=一,

3

44

.•.点C的坐标为（0,-）.故答案为：（0,-）.

33

【点睛】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0,求对应的y

或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理.

6.（2020•上海市静安区实验中学八年级期中）如图，直线y=；x-2与x轴交于点4

以力为斜边在x轴的上方作等腰直角三角形OAB,将△物6沿x轴向右平移，当点6落在

直线y=gx-2上时，则线段46在平移过程中扫过部分的图形面积为.

【答案】12.

【分析】根据等腰直角三角形的性质求得点BC、0C的长度，即点B的纵坐标，表示出B'

的坐标，代入函数解析式，即可求出平移的距离，进而根据平行四边形的面积公式即可求

得.

【详解】

v=-x-2,当y=0时，-%-2=0,解得：x=4,即宓=4,过6作%LG4于C,

22

是以山为斜边的等腰直角三角形，."◎=%=/仁2,

即8点的坐标是（2,2）,设平移的距离为a,则6点的对称点外的坐标为（才2,2）,

代入y=1x-2得：2=1（a+2）-2,解得：a=6,即△如8平移的距离是6,

22

.♦.Rtaais扫过的面积为：6X2=12,故答案为：12.

【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形，坐标与图形变

化-平移.

7（2020•上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的周长16cm,设腰长为

xcm,底边长为ycm,写出y关于x的函数解析式，并求自变量x的取值范围.

【答案】y=16-2x,x的取值范围是4<x<8.

【分析】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定x的取值范围即可.

【详解】解：•••等腰三角形的腰长为xcm,底边长为ycm,周长为16cm,

...2x+y=16；.y=16-2x,并有x<8,:两边之和大于第三边

.,.2x>8,.,.x>4,则x的取值范围是：4<x<8,故答案为：y=16—2x,4<x<8.

【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数解析式以及等腰三角形的性质和三角形三边

关系；根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键.

8.（2020•上海浦东新区•八年级月考）已知甲、乙两地相距90km,A,B两人沿同一公路

从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE,0C分别表示A,B离开甲地的路程

s(km)与时间t(h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题.

(1)A比B后出发儿个小时？B的速度是多少？

(2)在B出发后几小时，两人相遇？

9

【答案】(1)1,20km/h；(2)

【分析】(D根据CO与DE可得出A比B后出发1小时；由点C的坐标为(3,60)可求出

B的速度：

(2)利用待定系数法求出OC、DE的解析式，联立两函数解析式建立方程求解即可.

【详解】解：(1)由图可知，A比B后出发1小时；B的速度：604-3=20(km/h)；

(2)由图可知点D(1,0),C(3,60),E(3,90),设0C的解析式为s=kt,

则3k=60,解得k=20,所以，s=20t,设DE的解析式为s=mt+n,

m+n=0m-45

则《ccc-解得,所以，s=45t-45,由题意得，

、31n+n-9()、〃=-45、s=45—45

,9

9

解得彳t=-5,所以，B出发一小时后两人相遇.

s-365

9.(2020•青浦区实验中学八年级期中)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往

甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(〃)，两车之间的距离为y(初7),图中的折

线表示y与x之间的函数关系.

根据图象回答以下问题：

(1)甲乙两地之间的距离为km；

(2)图中点6的实际意义是_；

(3)快车的速度是km/h,慢车的速度是km/h；

(4)点C的坐标是.

【答案】(1)900；(2)两车出发4小时后相遇；(3)75,150；(4)(6,450)

【分析】(1)由图示可知，开始时快慢两车分别从甲乙两地出发，所以甲乙两地之间的距

离为900千米；

(2)y表示两车之间的距离，所以y为。时，说明两车相遇了.

(3)由图象可知，慢车12小时行驶的路程为900km,所以慢车的速度为：900+12=75

(千米/小时)，当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km,所以

慢车和快车行驶的速度之和为：9004-4=225(千米/小时)，所以快车的速度为：225-

75=150(千米/小时)；

(4)先求出快车行完全程所用时间，用900减去慢车行驶的路程即可.

【详解】解：(1)由A点坐标为(0,900)可知甲、乙两地之间的距离为900Am：

(2)由B点坐标为(4,0),可知两车出发4小时后相遇：

(3)9004-12=75(千米/小时)9004-4=225(千米/小时)225-75=150(千米/小时)

答：慢车的速度为75千米/小时，快车的速度为150千米/小时:

(4)—=6(/?),900—^x75=450(碗)可知C点坐标为(6,450).

150-150')

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是能根据题意得出关系式，即把实际问

题转化成数学式子来表示出来.

10.(2020•上海杨浦区•八年级期末)某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制

订了以下每年每户用水的收费标准：

①用水量不超过220立方米时，每立方米收费1.92元，并加收每立方米1.53元的污水处

理费；

②用水量超过220立方米时，在①的基础上，超过220立方米的部分，每立方米收费3.30

元，并加收每立方米L53元污水处理费；设某户一年的用水量为x立方米，应交水费y

元.

(1)分别对①、②两种情况，写出y与x的函数解析式，并指出函数的定义域；

(2)当某户2019年全年缴纳的水费共计1000.5元时，求这户2019年全年用水量.

【答案】(1)①y=345x(0<*,220)；②y=4.83x—303.6(x>220)：(2)270立方米

【分析】(1)由题意列出N关于％的函数解析式，根据限制条件写出函数定义域.

(2)由交费可知说明该户用水量已超过220立方米，把数值代入函数关系式.

【详解】解：(1)情况①：y=(1.92+1.53)%,即y=3.45x(O<x,22O),

情况②：J=220x(1.924-1.53)+(x-220)(3.30+1.53),

即所求的函数解析式为y=4.83x-303.6(x>220):

(2)当该户一个月应交水费为1000.5元时，说明该户用水量已超过220立方米，

则4.83x—303.6=1