2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第8讲 多边形和平行四边形(含详解)

第8讲多边形和平行四边形

多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间

的关系，比较基础，题目相对较简单.平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊

的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为

进一步学习特殊的平行四边形打好基础.

模块一：多边形

知识精讲

1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多动形.

2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的

顶点.

3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角.

4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线.

5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，

那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形.

6、多边形内角和定理：〃边形的内角和等于（”-2）」80。.

7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角.

8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，

叫做多边形的外角和.

9、多边形的外角和等于360°.

例题解析

例1.（2020•上海杨浦区•八年级期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这

个多边形是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

例2.（2019•上海金山区•八年级期中）八边形的内角和为度.

例3.（2018•上海金山区•八年级期中）如果一个多边形的内角和是2160°,那么这个多

边形的边数是.

例4.（2019•上海上外附中）〃边形的内角和是外角和的三倍，则〃=

5.（2020•上海市静安区实验中学八年级课时练习）有两个各内角相等的多边形，它们的

边数之比为1：2,且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°,求这两个多边形

的边数.

6.(2019•上海八年级课时练习)若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为

2570°,求这个内角的度数.

例7.(1)从五边形的一个顶点出发，可画出条对角线；

(2)从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多边形共

有条对角线.

例8.已知一个多边形的内角和是外角和的8倍，且这个多边形的每个内角都相等，求

这个多边形的边数与每个内角的度数.

例9.一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°,这个内角是多少度?这个多边

形有儿条边?

例10.某人从点力出发，沿直线前进100米后向左转30°,在沿着直线前进100米，又向

左转，...，照这样下去，他第一次回到出发点｛时，一共走了多少米.

例11.在四边形相（力中，乙4=80°,N6和NC的外角分别为105°和32°,求N〃的度数.

例12.设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°,则该内角为

（）

A、40°B、90°C、120°D、130°

例13.一个凸“边形的内角中，恰好有4个钝角，则〃的最大值是（）

A、5B、6C、7D、8

例14.已知，一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°,求这个多边形的边数和这个外

角的度数.

例15.已知凸〃边形A&…4（〃>4）的所有内角都是15°的整数倍，且

4+4+4=285。，那么"=.

模块二：平行四边形的概念及性质

1,两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用符号“口”表示，

如：□ABCD.

2、平行四边形性质定理

①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等.

简述为：平行四边形的对边相等.

②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等.

简述为：平行四边形的对角相等.

③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分.

简述为：平行四边形的两条对角线互相平分.

④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.

⑤推论：夹在两条平行线间的平行线段相等.

例题解析

例1.（2018•上海虹口区•八年级期中）如图所示，在平行四边形中，EF过对角线的交

点，若AB=4,BC=7,0E=3,则四边形EEDC的周长是（）

A.14B.11C.17D.10

例2.（2019•上海八年级课时练习）如图所示，在oABCD中，EF〃AB,GH/7AD,下图中

A.7B.8C.9D.10

例3.（2020•上海浦东新区•八年级月考）已知平行四边形力四的周长为56颂，AB-.BC

=2：5,那么AD=cm.

例4.（2018•上海虹口区•八年级期中）如图，平行四边形4?切中，点C在边力〃上，以

砥为折痕，将△/跖向上翻折，点4正好落在边切上的点尸处，若△必尸的周长为8,△

。斯的周长为18,则用的长为.

例5.（2020•上海嘉定区•八年级期末）已知四边形ABCO,点。是对角线AC与80

的交点，且Q4=OC,请再添加一个条件，使得四边形A3CO成为平行四边形，那么添

加的条件可以是一.（用数学符号语言表达）

例6.（2018•上海虹口区•八年级期中）在平行四边形ABCD中，两邻角的度数比是7：

2,那么较小角的度数为度.

例7.（2019•上海民办张江集团学校八年级月考）以不共线的三个已知点为顶点画平行四

边形，可以画出____________个平行四边形

例8.（2019•上海市娄山中学八年级月考）在口ABCD中，/A的平分线分BC成4c机和3

cm的两条线段，则口ABCD的周长为.

例9.（2020•上海杨浦区•八年级期末）在平行四边形ABCD中，如果NB=3NA,那么

ZA=度.

例10.（2019•上海普陀区•八年级期中）如图，在中，NA=70°,将

64BCD绕顶点3顺时针旋转到口4BG2,当G2首次经过顶点C时，旋转角

ZABA,=。.

Di

例11.在平行四边形/版中，若N/的度数比N8大20°,则的度数为,Z

C的度数为.

例12.在口力腼中，E衽BC上,AB^BE,NAEB=70°,求平行四边形腑》各内角的度数.

例13.如果口/版的周长是50的比比1短39那么徽为分别是多少.

例14如图，在飨中，A5A偿8,〃是底边比上一点，DE//AC,DF//AB,求四边形4®/

的周长.

A

BD

例15.如图，已知平行四边形4腼中，的平分线交于点后且/后2,DE=1,则平

行四边形力时的周长等于.

例16.（2019•上海普陀区•八年级期中）如图，在0ABeD中，NB=60°,

AELBC,AFLCD,垂足分别为点E、F

（1）求NE4尸的度数；

（2）如果A3=6,求线段AE的长.

例17.（2019•上海市西延安中学八年级期中）如图，在SBC。中，/B、N0的平分线

分别交对边于点E、F,交四边形的对角线4c于点G、H.求证：AG=CH.

例18.如图，腼的周长为60颂，对角线4C、劭相交于点0,已知△8%的周长比△力仍

的周长多8cm，求口46（力各边的长.

例19.平行四边形的一角平分线分对边为3和4两部分，这个平行四边形的周长为

例20.如图，在口加切中，AELBC、AFYCD,垂足分别为乐F,若N比50°,求/用£

的度数.

例21.平面直角坐标系中，口力版的对角线交点在坐标原点，若1点的坐标为(4,3),6点

的坐标为(-2,2),求点C、。的坐标及口4腼的周长.

例22.在平面直角坐标系内，平行四边形力及力的边///A■轴，B、〃均在y轴上，又知道力、

〃在直线产2k1上，且8点坐标(0,1),求力、C、〃的坐标及SOABCO.

例23.如图，已知o/及力的面积为24,求阴影部分的面积.

例24.已知在q/腼中，"是4。的中点，AD=2AB,求/威C的度数.

例25.如图所示，平行四边形/及力中，G、〃是对角线加上两点，D俗BH,D2BE.

求证：/制沪N677/

例26.如图所示，在平行四边形［物中，DELAB于点、E,B后MODC.求证：NEMO34

BEM.

例27.如图所示，在平行四边形48位中，直线FH与AB、0相交，过点力、D、C、6向直线

切/作垂线，垂足分别为点C、F、E、H,求证：AG-DF=CE-BH.

例28.如图，在平行四边形4式。中，NBAD=60°,AE平令4BAD交CD千E,防平分/

ABC交切于F,又AE与跖交于0,已知妙好1.试求平行四边形力腼的面积.

D_F

AB

例29.在EJABCD中,/力〃的平分线交直线比于点E,交直线园的延长线于点F.

(1)在图1中证明CE=CF-,

(2)若/4?C=90°,G是跖的中点(如图2),求/板的度数.

随堂检测

1.如果一个凸多边形的每一个内角都等于140°,那么，这个多边形共有多少条对角线?

2.两个凸多边形，它们的边长之和为12,对角线的条数之和为19,那么这两个多边形的边

数分别是和.

3.若一个多边形的内角和是它外角和的3倍，求这个多边形的边数.

4.如图，4?(力中，AF：FC=1：2,S4M则果.②的值为—

EB

5.如图，oAfiCD中，BEVCD,BFLAD,垂足分别为乐F,若CE=2,DF=\,/EBF=60。

则CJABCD的面积为.

6.如图，。被力的对角线相交于点0,且/屏C®,过点。作觎L4C,交于点机若△6BM

周长为a,那么£7%时的周长为________.

7.在平面直角坐标系内，平行四边形1也的边45//y轴，B、。均在x轴上，又知道从D

在直线片2户1上，且8点坐标（1,0）,求从a〃的坐标及Sdzg和C“sc°.

8.如图所示，小华从M点出发，沿直线前进10米后，向左转20°,再沿直线前进10米后,

又向左转20°,…这样走下去，他第一次回到出发地"时，行走了多少米？

9.如图，已知"是4%/边儿?的中点，CV交切于点反且小2%则图中阴影部分面积

与/腼的面积之比为（）

1115

A-6B-43〃.冠

10.如图，已知/用力是平行四边形，6在4c上，AE=2EC,尸在48上，BF=2AF,如果△废尸

的面积为2cm二则6筋的面积是.

11.如图，&1及/中，/ABC=75°,AFLBC于F,AF交加于E,若应'=246,则乙伤9的

大小是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

12.如图，在UABCD中,“为4〃上一点，尸为48上一点，且应三郎，跖与加■交于点G,求

证：ZBGC=ADGC.

BC

13.如图，在凸五边形力比7应中，己知4?〃阳BC//AD,BE//CD,DE//AQ求证:AE//BD,

第8讲多边形和平行四边形

多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间

的关系，比较基础，题目相对较简单.平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊

的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为

进一步学习特殊的平行四边形打好基础.

模块一：多边形

知识精讲

1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多动形.

2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的

顶点.

3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角.

4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线.

5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，

那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形.

6、多边形内角和定理：〃边形的内角和等于（”-2）」80。.

7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角.

8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，

叫做多边形的外角和.

9、多边形的外角和等于360°.

例题解析

例1.（2020•上海杨浦区•八年级期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这

个多边形是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】B

【分析】任意多边形的外角和为360°,然后利用多边形的内角和公式计算即可.

【详解】解：设多边形的边数为n.根据题意得：（n-2）X180°=360°,

解得：n=4.故选：B.

【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°

和多边形的内角和公式是解题的关键.

例2.（2019•上海金山区•八年级期中）八边形的内角和为度.

【答案】1080

【详解】解：八边形的内角和=18O°x（8-2）=1080°

例3.（2018•上海金山区•八年级期中）如果一个多边形的内角和是2160。，那么这个多

边形的边数是

【答案】14

【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）・180。，设这个多边形的边数是n,就得到方

程，从而求出边数.

【详解】解：设这个多边形的边数是n,则（n-2）«180°=2160°,

解得：n=14.则这个多边形的边数是14.故答案为：14.

【点睛】本题考查多边行的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（n-2）X180°解

答.

例4.（2019•上海上外附中）〃边形的内角和是外角和的三倍，则〃=

【答案】8

【分析】根据“多边形的内角和是外角和的三倍”，结合〃边形的内角和公式和多边形的外

角和为360°,列出关于〃的一元一次方程，解之即可.

【详解】解：〃边形的内角和为：（«-2）X180°,〃边形的外角和为：360°,

根据题意得：（«-5）X180°=3X360°,解得：〃=8,故答案为：8.

【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，正确掌握多边形的内角和公式和多边形的

外角和为360。是解题的关键.

5.（2020•上海市静安区实验中学八年级课时练习）有两个各内角相等的多边形，它们的

边数之比为1：2,且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°,求这两个多边形

的边数.

【答案】12；24.

【分析】设它们的边数分别为x、2x,根据多边形的内角和公式即可表示出每一个内角的

度数，再根据第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°,即可列方程求解.

【详解】解：设它们的边数分别为x、2x,由题意得

180(2x-2)180(x—2)

解得x=12,

2xx

经检验x=12是分式方程的根

答：这两个多边形的边数为12和24.

【点睛】解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：180°(〃-2)

6.(2019•上海八年级课时练习)若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为

2570°,求这个内角的度数.

【答案】130°

【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边

数为正整数求解，进而求出多边形的内角和，减去其余的角即可得到结果.

【详解】设这个内角度数为x°,边数为n,则(n-2)X180°-x=2570°,

nX180°=2930°+x,即x=nX180°-2930°,VO°<x<180°,

解得16.2VnV17.2,又；n为正整数，1.n=17,

则这个内角度数为180°X(17-2)-2570°=130°.

【点睛】解此题的关键在于利用内角和公式(n-2)X1800列出等式，再根据多边形内角

的范围得到关于边数n的不等式，要注意多边形的边数n为正整数，所以在n的取值范围

内取正整数即为n的值.

例7.(1)从五边形的一个顶点出发，可画出条对角线；

(2)从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多边形共

有条对角线.

【难度】★

【答案】⑴2；(2)20.

【解析】(1)多边形的一个顶点可以画(〃-3)条对角线，所以是5-3=2条.

(2)由题意知，一个多边形可以切割成(〃-2)个三角形，则(〃-2)=6,由多边形的对

角线条数公式也二2,可知这个多边形共有8*的-3)=20条对角线.

22

【总结】考察多边形对角线的概念及条数公式.

例8.已知一个多边形的内角和是外角和的8倍，且这个多边形的每个内角都相等，求

这个多边形的边数与每个内角的度数.

【难度】★★

【答案】边数是18,每个内角的度数为160。.

【解析】因为多边形的外角都是360°,所以这个多边形的内角和为360。X8=2880°,

又因为多边形的内角和公式是180(〃-2),所以180(〃-2)=2880°,解得：n=18.

因为每个内角都相等，所以每个内角度数为2880°+18=160°.

【总结】考察多边形内角和外角的应用.

例9.一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°,这个内角是多少度?这个多边

形有几条边？

【难度】★★

【答案】18

【解析】设有"条边，则内角和为180(〃-2).因为多边形每个内角度数都大于0。小于

180°.所以2750Y180(〃-2)y2750+180,解此不等式地17.27Y18.27,“为边

数只能取正整数，所以“=18.

【总结】考察多边形内角和的应用.

例10.某人从点A出发，沿直线前进100米后向左转30°,在沿着直线前进100米，又向

左转，...，照这样下去，他第一次回到出发点/时，一共走了多少米.

【难度】★★

【答案】1200米.

【解析】由题意知/回到出发点时，所走轨迹是一个正多边形，由多边形的外交和是360°,

所以360°+30°=12次，所以共走了12个100米，一共走了12X100=1200米.

【总结】考察多边形外角和的应用.

例11.在四边形/L%苏中，Z/J=80°,N8和/C的外角分别为105°和32°,求/〃的度数.

【难度】★★

【答案】57°

【解析】多边形外角和为360°,由题意知//的外角为180°-80°=100°,所以/。的

外角为360°-100°-105°-32°=123°,对应的/〃=180°-123°=57°.

【总结】考察多边形外角和的应用.

例12.设一个凸多边形，除去一个内角以外，其他内角的和为2570°,则该内角为

()

B、40°B、90°C、120°D、130°

【难度】★★

【答案】〃

【解析】设有〃条边，则内角和为180因为多边形每个内角度数都大于0°小于

180°.所以2570<180(〃-2)<2570+180,解此不等式地16.27Y〃Y17.27,

〃为边数只能取正整数，所以〃=17,

所以这个内角为180(,7-2)-2570=18。x(17-2)-2570=130.

【总结】考察多边形内角和的应用.

例13•一个凸〃边形的内角中，恰好有4个钝角，则〃的最大值是()

A、5B、6C、7D、8

【难度】★★★

【答案】C

【解析】因为多边形的内角和是180°的倍数，所以内角中有4个钝角，就会有(〃-4)

个直角或者锐角，可知内角和一定小于4X180。+(“-4)x90，

BP180(M-2)<4X180°+(“-4)X90,解得:n<8,最大值是7.

【总结】考察多边形内角和的应用.

例14.已知，一个多边形的内角和与一个外角的差为1560°,求这个多边形的边数和这个外

角的度数.

【难度】★★★

【答案】11,60°.

【解析】多边形的内角和为180("-2),则这个外角为180(“-2)-1560,山丁每一个外

角都大于0°且小于180°,所以0cl80(”-2)-1560<180,解得10.7<〃<11.7,

所以〃=11,这个外角的度数为180(〃—2)-1560=180°x(l1—2)—1560°=60°.

【总结】考察多边形内外角和的应用.

例15.已知凸〃边形A4…A(〃>4)的所有内角都是15°的整数倍，且

+ZA,+ZA3=285°,那么”=.

【难度】★★★

【答案】10

【解析】多边形的内角和为180(n-2),其余共(〃-3)个内角和为180(n-2)-285,

可知180(“-2)-285>0是15。的倍数也是(〃-3)的倍数，

180(77-2)-285180(〃-3)—105105(

——----』-----=————』------=180--^-=1512-

n-3n-3n-3IST

可知〃一3=1或者〃一3=7,又〃>4,所1以〃=10.

【总结】考察多边形内外角和的应用.

模块二：平行四边形的概念及性质

2、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用符号“Q”表示,

如：oABCD.

2、平行四边形性质定理

①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等.

简述为：平行四边形的对边相等.

②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等.

简述为：平行四边形的对角相等.

③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分.

简述为：平行四边形的两条对角线互相平分.

④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.

⑤推论：夹在两条平行线间的平行线段相等.

例题解析

例1.（2018•上海虹口区•八年级期中）如图所示，在平行四边形中，EF过对角线的交

点，若AB=4,BC=7,OE=3,则四边形EFDC的周长是（）

A.14B.11C.17D.10

【答案】C

【分析】由在平行四边形ABCD中，EF过两条对角线的交点0,易证得AAOP<ZXCOE,则可

得DF+CE=AD,EF=2OE=6,继而求得四边形FECD的周长.

【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,OA=OC,CD=AB=4,AD=BC=7

.,.ZFA0=ZEC0,

在aAOE和△COF中，

ZFAO=ZECO

<OA=OC,

NAOF=NCOE

.,.△AOF^ACOE(ASA),

.•.AF=CE,0F=0E=3,，EF=6,

四边形EFDC的周长是:

CD+DF+EF+CE=CD+DF+AF+EF=CD+AD+EF=4+7+6=17.

故选：C.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中，注

意掌握转化思想与数形结合思想的应用.

例2.（2019•上海八年级课时练习）如图所示，在oABCD中，EF〃AB,GH〃AD,下图中

有（）个平行四边形.

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】由在平行四边形ABCD中，EF〃AB,G1I〃AD,易得平行四边形有：口ABCD,°ABFE,

°EFCD,口AGHD,°BCHG,°0EDH,°0FCH,口OEAG,QOGBF共9个.

【详解】解：•.•四边形ABCD是平行四边形，.\AB〃CD,AD〃BC,

VEF/7AB,GH〃AD,，AD〃GH〃BC,AB〃EF〃CD,

.,.平行四边形有:°ABCD,oABFE,口EFCD,口AGHD,°BCHG,°0EDH,°0FCH,°0EAG,00GBF

共9个.

故选：C.

【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的

应用.

例3.（2020•上海浦东新区•八年级月考）已知平行四边形48（力的周长为56CR,AB-.BC

—2：5,那么AD=cm.

【答案】20

【分析】由。/腼的周长为56°勿，根据平行四边形的性质，即可求得/加比-28金，又由

AB-.8c=2：5,即可求得答案.

【详解】解：：口48（力的周长为56M,班比’=28。勿，

；AB：8c=2：5,Z.AD=BC^-^―X28-20（cm）；故答案为：20.

2+5

【点睛】此题考查了平行四边形的性质.此题比较简单，注意掌握平行四边形的对边相等

的性质的应用是解此题的关键.

例4.（2018•上海虹口区•八年级期中）如图，平行四边形4?切中，点£■在边/〃上，以

缈为折痕，将△/庞1向上翻折，点4正好落在边切上的点尸处，若△戚的周长为8,△

期的周长为18,则用的长为_____.

【答案】5

【分析】分析题意，△砸•为△/龙的翻折后的三角形，则△必恒△/跖利用全等三角形

各对应边相等、平行四边形的性质及线段间的等量关系可求解叱的长.

【详解】解：根据题意得△/^/△/1跳、，.♦.犷‘=46,BF=AB.

;平行四边形48微J.AD^BC,AB^DC.

；的周长为8,即炉（•%的=8,:.DF+DE+AE=8,BPDPrAD=S.

•.•△内⑦的周长为18,即Q即母'=18,：.FaAD^DC=}.3,即2m1次以三18.

；.2Q8=18,：.FC^.故答案为5.

【点睛】本题主要考查了折叠问题，已知折叠问题就是已知图形的全等，折叠是一种对称

变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发

生了变化.

例5.（2020•上海嘉定区•八年级期末）已知四边形ABC。，点。是对角线AC与8。

的交点，且。4=0。，请再添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，那么添

加的条件可以是.（用数学符号语言表达）

【答案】OB=OD

【分析】由题意0A=0C,即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一

条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案.

【详解】解：如图所示：

1­-0A=0C,山定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,

二可以是0B=0D（答案不唯一）.

故答案为：OB=OD（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，一般有几种方法：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，

②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，

⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

例6.（2018•上海虹口区•八年级期中）在平行四边形ABCD中，两邻角的度数比是7：

2,那么较小角的度数为_____度.

【答案】40

【分析】本题主要依据平行四边形的性质，得出两邻角之和180°,再有两邻角的度数比

是7：2,得出较小角的度数.

【详解】解：设两邻角分别为7x,2x,则7x+2x=180°,

解得：x=20。，.•.较小的角为40°.故答案为：40.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌

握平行四边形的两邻角之和为180。.

例7.（2019•上海民办张江集团学校八年级月考）以不共线的三个已知点为顶点画平行四

边形，可以画出个平行四边形

【答案】3

【分析】不在同••直线上的三点为A、B、C,连接43、BC、CA,分别以其中一条

线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个平行四边形.

【详解】解：已知三点为A、B、C,连接A3、BC、CA,

2

①以A3为平行四边形的对角线，BC、C4为两边可以画出口ACS。；

②以CB为平行四边形的对角线，84、C4为两边可以画出QACEB：

③以C4为平行四边形的对角线，BA、CB为两边可以画出口4允产：

如图，可构成的平行四边形有三个：口ACBD,口ACEB,口ABCF.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了画平行四边形的方法，关键是首先确定平行四边形的对角线与两边，

再画出图形.

例8.(2019•上海市娄山中学八年级月考)在QABCD中，/A的平分线分BC成4cm和3

cm的两条线段，则口ABCD的周长为.

【答案】20cm或22c加；

【分析】NA的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段，设NA的平分线交BC于E点，有两

种可能，BE=4或3,证明AABE是等腰三角形，分别求周长.

【详解】解：设NA的平分线交BC于E点,；AD〃BC,，NBEA=NDAE,

XZBAE=ZDAE,AZBEA=ZBAE.*.AB=BE.而BC=3+4=7.

①当BE=4时，AB=BE=4,0ABCD的周长=2X(AB+BC)=2X(4+7)=22；

②当BE=3时,AB=BE=3,口ABCD的周长=2X(AB+BC)=2X(3+7)=20.

所以nABCD的周长为22cm或20cm.

故答案为22cm或20cm.

【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题.平行四边形基本性质：

①平行四边形两组对边分别平行；

②平行四边形的两组对边分别相等；

③平行四边形的两组对角分别相等；

④平行四边形的对角线互相平分.

例9.(2020•上海杨浦区•八年级期末)在平行四边形ABCD中，如果NB=3NA,那么

ZA=度.

【答案】45

【分析】由四边形ABCO是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可得

ZA=ZC.ZB=ZD，又由NA+NB=18O。，即可求得答案.

【详解】解：四边形A8CD是平行四边形，.•.NA=NC,ZB=ZD.

QZB=3ZA,A+ZB=180°,：,ZA=45°.故答案为：45.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质.解题的关键是注意数形结合思想与平行四边形的

对角相等定理的应用.

例10.（2019•上海普陀区•八年级期中）如图，在QABCD中，NA=70。，将

0ABC。绕顶点3顺时针旋转到oABGA，当GA首次经过顶点。时，旋转角

NA&4,=_______

DI

【答案】40

【分析】由旋转的性质可知：BC=BC>,得到NBCC尸NG,又因为旋转角NABA产NCB3,根

据等腰三角形的性质计算即可.

【详解】..yABCD绕顶点B顺时针旋转至如ABCD,.•.BCuBCi,.•.NBCCFNC”

VZA=70°,/.ZBCD=ZA=ZC,=70°,二/BCC产NG=70°,

AZCBC,=180°-2X70°=40°,：./ABA产40°,故答案为：40.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角

形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBG是等腰三角形.

例11.在平行四边形4版中，若/月的度数比N5大20°,则的度数为,Z

C的度数为.

【难度】★

【答案】80°,100°.

【解析】因为是平行四边形，所以NA+N8=18O,又NA-N8=20,

解得乙8=80；NA=1OO.因为平行四边形的对角相等，所以NC=1OO.

【总结】考察平行四边形的内角和及内角的性质.

例12.在中，E在.BC上,AFBE,N加庐70°,求平行四边形4%力各内角的度数.

【难度】★

【答案】ZB=ZD=40:ZBAD=ZBCD=\40.

【解析】由题知，在△胡£中，NBEA=NBAE=7G,所以/8=40=/£>,

ZBAD=^BCD=\SO-40=140.

【总结】考察平行四边形的内角度数相关知识点.

例13.如果口4版的周长是50c/»,四比9短3M那么微的分别是多少.

【难度】★

【答案】DA=14c/n,CD=1\cm.

【解析】平行四边形的对边平行且相等，所以AB+3C=50+2=25c〃?，又BC-AB=3cm,

解得BC=14c/n,4?=11an,又因为A8=CD,BC=AO,所以D4=14CTO,CD=1lc/n.

【总结】考察平行四边形的边的相关知识点.

例14如图，在中，A&=A(=8,〃是底边比1上一点，DE//AC,DF//AB,求四边形4及"

的周长.

【难度】★

【答案】16

【解析】由题意知破74。，所以NC=/ED8,又因为NC=/B

所以NB=NEDB,得EB=ED.同理可得/7片/匕

所以四边形四印的周长=/»■的力弓4七46小由肝

=4加/仁8+8=16.

【总结】考察平行四边形的边的平行性质的应用.

例15.如图，已知平行四边形4%力中，/45C的平分线交49于点反且4后2,DE=\,则平

行四边形4?切的周长等于.

B

【难度】★

【答案】10

【解析】由题知NABE=NCBE.因为//侬?,

所以/4E3=NCBE,得ZABE=ZAEB，即4尽心2.

因为AD=AE+EA2+\=3,

所以平行四边形48W的周长等于=2X(AB+AD)=2X(2+3)=10.

【总结】考察平行四边形的综合应用.

例16.(2019•上海普陀区•八年级期中)如图，在口A6CD中，NB=6()°,

AEA.BC,AFA.CD,垂足分别为点E、F

(1)求ZE4尸的度数；

(2)如果AB=6,求线段AE的长.

【答案】(1)NE4F=6O°；(2)AE=3y/3

【分析】(1)利用平行四边形的邻角互补的知识先求出NC的度数，然后利用四边形的内

角和定理即可求出NEAF的度数.

(2)求出/BAE的度数，然后在直角三角形中利用30°及勾股定理的知识求出AE的长.

【详解】(1)；四边形ABCD是平行四边形，，AB〃CD,，NB+ZC=180°,

VZB=60°,AZC=120°,VAE±BC,AF1CD,/.ZAEC=ZAFC=90°,

在四边形AECF中，ZEAF+ZAEC+ZC+ZAFC=360°,/.ZEAE=60°:

(2)在RtAABE中,ZAEB=90°,AB=6,

VZB=60°./.ZBA£=30°,：.BE=-AB=3.

2

由勾股定理，得AE=dAB-BE2=a2-32=36,:-AE=30.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的应用，掌握平行四边形的邻角互补

及勾股定理是解题的关键.

例17.(2019•上海市西延安中学八年级期中)如图，在口48。。中，/B、〃的平分线

分别交对边于点E、F,交四边形的对角线4c于点G、H.求证：AG=CH.

DE

G

【分析】先根据平行四边形的性质，利用ASA判定AADH丝ZXCBG；再根据全等三角形的对

应边相等,从而得到AH=CG,则AH+HG=CG+HG,即AG=CH.

【详解】证明：•.•平行四边形ABCD,...4。=CB,AD〃CB,ZADC=ZCBA

,：DE,DF分别为角平分线，AZDAH=/BCG,NCBG=ZADH,

(ZDAH=NBCG

在Z\ADH和ACBG中｛AD=CB：.AADH=ACBGQASA)

\ZCBG=NADH

：.AH=CG.；.AH+HG=CG+HG,即4G=CH.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的

性质是解决问题的关键.

例18.如图，口/以》的周长为60颂，对角线4C、物相交于点。，己知的周长比△力如

的周长多8c/»,求口力腼各边的长.

A1--------------刁。

B匕-------------

【难度】★

【答案】AB=CD=\\cm,BC=AD=\^cm.

【解析】由题知C%0c-C1M。H=8,且以=用

即B80C+BC-(微■04+初=BC-AB=8,

又因为2X(/6+a)=60,所以得8C+4分30,BC-AB=8,

所以AB=CD=11cm,BC=AD=19cm.

【总结】考察平行四边形的性质的综合应用.

例19.平行四边形的一角平分线分对边为3和4两部分，这个平行四边形的周长为

AD

B匕---------------'C

【难度】★★

【答案】20或22.

【解析】如图由题意可分两种情况：1、/夕3,ED=4,

山题知/43E=NC3E.因为/勿/笫，所以NAEB=NC3E,得ZABE=ZAEB，

即A界AB由,因为AD=AE+E庐3+4=7,

所以这个平行四边形的周长为2X(AB+A"=2X(3+7)=20；

2、4氏4,汾3,同理可求这个平行四边形的周长为22；

故该平行四边形的周长为20或22.

【总结】考察平行四边形的性质及等腰三角形的综合应用.

例20.如图，在口4BCD中,AELBC、AFA.CD,垂足分别为2F,若/比50°,求/用少

的度数.

【难度】★★

【答案】500.

【解析】因为平行四边形的对角相等，所以48=/。=50.

因为平形四边形的邻角互补，所以N54£>=180-50=130.

在直角三角形"伤中，ZBAE=40,同理ND4尸=40,

所以ZE4£=130-40-40=50.

【总结】考察平行四边形的性质及直角三角形的性质的综合应用.

例21.平面直角坐标系中，口/笈力的对角线交点在坐标原点，若/点的坐标为(4,3),6点

的坐标为(-2,2),求点G〃的坐标及。力质的周长.

【难度】★★

【答案】C(-4,-3)；D(2,-2)；2>/29+2>/37.

【解析】因为平行四边形的对角线相互平分，所以可知。点的坐标为(-4,-3),

〃点的坐标为(2,-2).由两点点的距离公式可得AB=44+2)2+(3-2『=质,

CB=J（-2+4）2+（2+3）2=相，所以口ABCD的周长=2X（历+屈）=2收+2炳.

【总结】考察平行四边形的性质的在平面直角坐标系中的运用.

例22.在平面直角坐标系内，平行四边形力及力的边///x轴，B、〃均在y轴上，又知道/、

〃在直线尸2尸1上，且8点坐标(0,1),求4、C、〃的坐标及SoABco.

【难度】★★

【答案】/(I,1);<7(-1,-1)；〃(0,-1)；SBABCD=2.

【解析】由题意知力的纵坐标与6相同，

把片1代入尸2AH中，可得A的横坐标为1,

所以/的坐标为/(I,1),〃为尸2尸1与y轴的交点，

所以〃为(0,-1).因为例7位且49=5,

所以，的坐标为(-1,-1).

从而可求切=1,BD2且BD1CD,所以S“BCO=8XBZ)=1X2=2.

【总结】考察平行四边形的性质在平面直角坐标系中的应用.

例23.如图，已知的面积为24,求阴影部分的面积.

【难度】★★

【答案】12.

【解析】因为平行四边形是中心对称图形，可知每一个小阴

影三角形都有一个小空白三角形与之完全重合.

所以阴影部分的面积是24.

【总结】考察平行四边形的中心对称性的运用.

例24.已知在(力中，材是力。的中点，AA2AB,求/威C的度数.

【难度】★★

【答案】90°.

【解析】由题知4H加大券设NA8C=ND=20>.

则可得/ABM=ZMBC=Z/VWB=O）,在三角形〃比'中，DM=DC,"=2①，

可得NDMC=9O一①，所以Z&WC=18O-ZAAffi-/aWC=18O-①-（90—①）=90.

【总结】考察平行四边形的性质的综合应用.

例25.如图所示，平行四边形4比。中，G、〃是对角线加上两点，DG=BH,DABE.

求证：4GE/NGFH.

【难度】★★

【解析】在ADFG与ABHE中,

因为DG-BH,D2BE,NCDB=NDBA,所以ADFG=ABHE,

所以GF=E"ZDGF=ZBHE.从而NFGH=ZGHE,所以GF//EH.

又因为办‘=£¥,所以四边形谢='为平行四边形，队而/GEH2GFH.

【总结】考察平行四边形的性质的应用.

例26.如图所示，在平行四边形/风/中，血L/6于点笈BM-MODC.求证：Z£K?=3Z

BEM.

【难度】★★

【解析】延长EM交于“点，易证ABEM=ACMF（44S）,

则劭七阳即历为序中点.

设NBEM=平,则/尸=N8EM=e，

在直角AFED中，ME=MP=MD,得NCDM=NF=@,

所以NEMD=NF+NMDC=2@,又因为。片必，

所以NMDC=NCMD=0,

综上，ZEMC=NCMD+ZEMD=<p+2(p=3(p=3NBEM.

【总结】考察平行四边形的性质及角的和差的综合应用.

例27.如图所示，在平行四边形/比。中，直线F