2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第6讲相似三角形的性质解析版

第6讲相似三角形的性质

相似三角形对应角相等，对应边成比例

性质定理1：对应高、中线、角平分线之比等于相似比

性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比

性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方

r利用性质定理求解长度、周长、面积、比值等

一证明线段成比例几种常用方法是重点

知识梳理

1.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等,对应边成比例.

2.相似三角形性质定理1

相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

3.相似三角形性质定理2

相似三角形的周长的比等于相似比.

4.相似三角形性质定理3

相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

题型探究

题型一、利用相似三角形性质的求解

网【例1】求长度、周长、面积

AR3

(1)已知AABCSMBC，顶点A、B、C分别与A、8、G对应，——==，BE、囱用分别是它们的对

4耳2

应中线，且BE=6.求8面的长.

【答案】4.

【解析】解：•.•AA8CsA4)8C，BE、用片分别是对应中线，

ABBE36

---=----即nn-=----，E,B,=4

44EtBt2E|B|

(2)已知AABCsMqG，顶点A、B、C分别与Ai、Bi、G对应，AC=12,AG=9,4，的平分线4。

的长为6,求/4的平分线的长.

【答案】8.

【解析】解：•.•AABCsMgG,AD.分别是/4、幺的平分线，

...•=2£即丝=丝，「.40=8即ZA的平分线的长为8.

AGAR96

(3)已知AABCs的86,顶点A、B、C分别与4、S、Ci对应，它们的周长分别为48和60,且43=12,

46=25,求BC和4山|的长.

【答案】8c=20,%瓦=15.

【解析】解：•.•AA8CSM4£,.•.三皿-二组二型

G44G44JB]

又..C-_48_4

.•・3。=20,4g=15.

605

(4)如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的

周长是.

【答案】100cm.

【解析】两三角形的相似比为35:14=5:2,则周长比为5:2,设大三角形周长为5acm，小三角形周长为2acm，

贝ij5a-2a=60,所以a=20,所以大三.角形的周长为100c〃z.

(5)如图，点。、E分别在A4BC的边AB和AC上，DE//BC,DE=6,BC=9,SMDE=\6.求心火的

值.

【答案】36.

［解析］解：•:DEUBC,：.MDE^AABC,

2

(6)如图，在AABC中，。是AB上一点，若NB=ZACD,AD=4cm,AC=6cm,5MCD=8c/n,求AABC

的面积.

【答案】18c病.

【解析】解：-.-ZB=ZACD,44=NA，:.MCD^AABC.

s

SAABC

S2

又；MCD=8。〉,SMBC=18c/n.

(7)(2019・上海民办桃李园实验学校九年级月考)如图，点G是“ABC的重心，过点G作EF//BC,分别交

AB、AC于点E、F,且EF+BC=7.2an,求3c的长.

【答案】4.32cm

【解析】解：如图，连接AG并延长，交BC于点、P.

为AABC的重心，

：.AG=2GP,：.AGtAP=2：3,

•••£户过点6且后尸〃8。，

.•.△AGFs&pc,：.AF：AC=AG：AP=2：3.

又,：EFUBC、：.A.AEF^/XABC,

.EFAF2

*'BC-7C-3,

：.EF=-BC

3

又•：EF+BC=7.2cm,

：.BC=4.32cm.

（8）（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）在△ABC中，AB=8,点D、E分别在边AB、AC上,

且DE〃BC,若DE把△ABC分成了面积相等的两部分，求BD的长.

【答案】BD=8-4夜

【解析】

解：VDE/ZBCAAADE^AABC

•.,△ADE与△ABC的面积的比等于1:2

AD：AB=1：^/2

：AB=8AD=45/2

；.BD=8-4夜

（9）（重要模型）（2019•上海九年级月考）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边2c=120丽，高

=80加%要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在8c上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正

方形零件的边长是多少mm.

【答案】这个正方形零件的边长是48，〃，”.

【解析】

设正方形的边长为X，“，“，

贝I]AI—AD-x=80-x,

是正方形，C.EF//GH,

XAEFsMABC,

.EF_AIx80-x

BCAD12080

解得％=48mm,

・・・这个正方形零件的边长是48小〃.

现【例2】比值

(1)(2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习)相似三角形对应高的比为4:3,那么它们的对应中线的

比为.

【答案】4:3

【解析】解：相似三角形对应高的比为4:3,那么它们的对应中线的比为4:3.

故答案为：4:3.

(2)(2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习)两个相似三角形的面积比为1:2,则它们的对应角平分

线的比为.

【答案】1:0

【解析】解：两个相似三角形的面积比为1:2,

则它们的相似比为：1:&，

则它们的对应角平分线的比为1:72

故答案为：1:&

（3）（2020.上海市静安区实验中学九年级课时练习）若两个相似多边形的对应边之比为5:2,则它们的周长

比是,面积比是.

【答案】5:225:4

【解析】相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.

两个相似多边形的对应边之比为5:2,则它们的周长比是5：2,面积比是25：4.

故答案为5：2；25：4.

（4）（2019•上海市进才中学北校）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,那么它们的周长之比

是

【答案】1:4

【解析】•.•两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,

.••那么它们的周长之比是1：4.故答案为：1：4.

（5）（2020•上海市位育初级中学九年级期中）如图，40ABs[\0CD,OA：OC=3：2,&OAB与XOCD

的面积分别是S与周长分别是Ci与C2,则下列说法正确的是（）

C

■D

B3D%-3

A-C=1C.-=-L).---——

522CD2OD2

【答案】A

【解析】解：,:△OABs^oCD,OA：0C=3：2,

C.3-A

--=T,A正确;

(2乙

:.楙'=？，B错误;

J,"T

，・琮gc错误;

：.0A：0C=3：2,D错误;

1.（2017・上海九年级一模）如果AABCSADE/，A、8分别对应。、E,且AB:OE=1:2,那么下列等

式一定成立的是（）

A.BC:DE=1.2B.AABC的面积：ADE尸的面积=1:2

C.NA的度数：NO的度数=1:2D.AABC的周长：ADEE的周长=1:2

【答案】D

【解析】根据相似三角形性质可得：A：BC和DE不是对应边，故错；B：面积比应该是1:4,故错；C:对

应角相等，故错；D：周长比等于相似比，故正确.

故选：D

2.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）两个相似三角形对应中线的比为1：3,且小三角形的面

积是2石，那么大三角形的面积为一.

【答案】18>/3

【解析】V两个相似三角形对应中线的比为1：3,...相似比=1,

•.•面积之比为相似比的平方，设小三角形面积为S,大三角形面积为S',

♦,仔畤,即:绰畤,解得：S'=18石,

故填：18百.

3.（2021•上海九年级其他模拟）如图，将△ABC沿8c边上的中线A。平移到△4BC的位置，己知△A8C

的面积为16,阴影部分三角形的面积为9.如果AA=1,那么4。的长为.

【答案】3

【解析】解：如图,

：品加。=16、SAA，EF=9,且为8c边的中线，

S&A'DE=yS&A'EF=4.5,SAABD=—SAABC=8,

'/将^ABC沿BC边上的中线AD平移得到^AbC,

则产=与也，即=—,

VAD）SMDB{A'D+1）8

3

解得AT>=3或AT>=-i（舍），

故答案为：3.

4.（2020•上海宝山区•九年级月考）如图，电灯尸在横杆A3的正上方，A8在灯光下的影子为CO,ABIICD,

AB=2cm,8=5cm,点P到8的距离是女m,则点尸到AB的距离是.

P

A

t/、\

/、

/、

/\

/\

4/_______\B

/\

/\

CD

【答案】I

【解析】解：45//8^PAB^^PCD

.•.他:8=「到48的距离：点P至I]8的距离.,2:5=尸到A8的距离：3

,户到的距离为《〃?，

故答案为

5.（2020•上海市曹杨二中附属江桥实验中学九年级期中）已知两个相似三角形的相似比为4：9,则它们的

周长比为（）

A.2：3B.4：9C.3：2D.16：8

【答案】B

【解析】

解：•••两个相似三角形的相似比为4：9,

•••它们的周长比等于相似比,即：4：9.

故选：B.

6.（2020•上海第二工业大学附属龚路中学）如果两个相似三角形的对应高之比是1:2,那么它们的周长比是

（）

A.1:2B.1:4

C.1：0D.2:1

【答案】A

【解析】

解：•••对应高之比是1：2,二相似比=1：2,...对应周长之比是1：2.

故选：A.

7.（2018•上海民办兰生复旦中学九年级月考・）如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的4倍，

那么这个三角形的面积扩大为原来的（）

A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍

【答案】D

【解析】解：形状不变周长扩大4倍，则高和底都扩大4倍，所以面积扩大16倍.

8.（2020•上海市西南模范中学九年级月考）在“ABC中，AB=3,AC=4,AABC绕着点A旋转后能与△AB'C'

重合，那么AAB*与△ACC'的周长之比为.

【答案】3:4.

【解析】如图

B

R'

△ABC绕着点A旋转后能与△AB，C重合，AB=AB，，AC=AC

.ABAB3

"AC-7F-4

乂由旋转性质知/BAB，=/CAC，z^ABB，saACC

.AB+A8'+8B'A8_3

"AC+AC+CC-AC_4,

故答案为：3:4.

9.（2020・上海九年级月考）两个相似三角形对应高的比为2:3,且已知这两个三角形的周长差为4,则较小

的三角形的周长为.

【答案】8

【解析】解：•••两个相似三角形对应高的比为2：3,即相似比为2：3,

,它们周长的比是2：3,

设较小的三角形的周长为2x,则较大的三角形的周长为3x,

由题意得，3x-2x=4,解得，x=4,

则2x=8,

.•.较小的三角形的周长为8.

故答案为：8.

10.（2020.上海九年级月考）如图，AB//CD,4）与BC交于点。，若若=1则母=

【解析】解：VAB/7CD,.,.ZOAB=ZODC,

乂NAOB=NCOD,

AAAOB^ADOC,

..OP__OC.OCOB=5

*~OA~~OB^，9~OD~~OA~3

.OA3

•«=一

OB5

3

故答案为：—.

11（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知点O是△ABC的重心，过点。作EF〃BC,

分别交AB、AC于点E、F,若BC=6,则EF=.

【答案】4

【解析】解：♦・,连接AO并延长交BC于Q,

•・・0是4ABC的重心，

AAO：OQ=2：1,AAO：AQ=2：3,

VEF/7BC,

/.△AEO^AABQ,△AEF^AABC,

.EFAEAO2

•,就一罚一而一3

VBC=6,

.•・EF=4.

故答案为：4.

12.（2020・上海九年级月考）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边3C上，顶点。、G分别在边A3、

AC上，已知△ABC的边8c=15,高Aa=10,求正方形OEFG的边长和面积.

【答案】正方形。EFG的边长和面积分别为6,36.

【解析】解：高AH交DG于M,

设正方形DEFG的边长为x,则DE=MH=x,

*：DG〃BC,

.DGAMx10-x

..---=----,即Hn一=-----

BCAH1510

・・・正方形OEFG的面积为：N=36.

答：正方形DEEG的边长和面积分别为6,36.

13.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图所示，梯形A5CQ中，AB//CD,对角线AC,BD

交于。点，若AOD：S^OOC=2:3,求SAAOB：SACOD.

【答案】S^AOB-5ACO/>=4:9

【解析】

,:AB〃CD

AACDO^AABO

*/5AAOD:SADOC=2:3

AAO：CO=2:3

**•SAAOB*SACOD=4:9.

w题型二、证明线段成比例

配【例3】

(1)（直接用三角形相似得到比例）（2021.上海九年级二模）已知：如图，梯形ABC。中，AD//BC,AB=

DC,点E在下底BC上，ZAED=ZB.

(1)求证：CE^ADnDE2；

求证：g"2

(2)

ADAE2

【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析

【解析】证明：（1）•・•梯形A8C。中，AD//BC,AB=DC9

:,NB=NC,AB=DC,/ADE=NDEC,

■:NAED=NB,：.ZC=ZAED,

：.AADE^ADSC,

.ADDE

••一~,

DEEC

：.CE>AD=DE2；

(2)V/\ADE^^DEC,

.ADDEAE

"~DE~~EC~^D'

.DEECCDCD

"~ADDE~AEAE'

•CEAB2

"AD"AE7''

(2)(换线段)(2018年上海宝山区一模)如图，△ABC中，A8=AC,过点C作CF〃A8交△ABC的中位

线。E的延长线于F,联结BF,交AC于点G.

（2）若AH平分N8AC,交BF于H,求证：是，G和HF的比例中项.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】证明:（1）IC尸〃ABQE是中位线,

二四边形BCFD是平行四边形,

：.DE^EF,

AEDEEFEG

AC-BF-SC-CG

（2）联结CH,易证

二/HCG=/DBH=/HFC,又,:4GHe=NCHF

：.AGHC-ACHF,：.£="

HFCH

：.HC2=HG-HF

又,/BH=HC,:.BH?=HGHF,即BH是HG和HF的比例中项.

（3）（等量代换）（2018年上海黄浦区一模）如图，BO是△ABC的角平分线，点E位于边BC上，已知

8。是8A与BE的比例中项.

(1)求证：ZCDE=-ZABCt

2

(2)求证：AD-CD=AB>CE.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】证明：（1）;BC是A3与BE的比例中项,

BABD

又BO是/A8C的平分线，则/A8£>=//）BE,

：.△ABDs△DBE

NA=/BDE.

又NBDC=NA+/ABD,

，ZCDE=ZABD=-ZABC,即证.

2

（2）•:NCDE=NCBD,ZC=ZC,

:.△CDEsACBD,

.CEDE

"~CD~~DB

又尽ABDs/\DBE,

.DEAD

"~DB~~AB

.CEAD

••---=----,

CDAB

：.ADCD=ABCE

方法总结:证明线段成比例的几种方法

（1）直接法：观察要证明的四条线段是否在两个三角形中，若是，设法证明这两个三角形相似；

（2）换线段法：若不属于（1）的情况，则观察其中三条线段是否适合（1）的情况，若是，设法把另外一

条线段代换一下，变成适合（1）的情况；

aCnf

（3）等量代换法：若（2）也不适合，则观察要证的比例式巴二上两端的比或上是否能等于另外的比,

bdbcl

证出哪些比相等，最后转换回来，得到幺=£.

bd

当然，在等量代换的过程中，也常常会使用换线段.若不成功，3=£换成后，再进行等量代换的思

bdcd

考.

・^举一反三

1.（2020年上海九年级课时练习）已知：如图，在ABC中，45=AC,点。、E分别在边AC,AB1.,DA=DB,

与CE相交于点尸，ZAFD=NBEC.求证：

(1)AF=CE-,

(2)BF2=EF•AF.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】证明：（1）VDA=DB,

:.NFBA=NEAC,

,/ZAFD=NBEC,

：.1800-ZAFD=180°-NBEC,

BPZBFA=ZAEC.

'：BA^AC,：.VBFAAAEC.

AF=CE.

(2),；NBFAAAEC,

BF=AE.

,/ZEAF=ZEC4,NF£A=ZAEC,

AEFAsA£4C.

.EAEF.

•­—=—•••E42=EFCE.

ECEA

•:EA=BF,CE=AF,

•*-BF2=EFAF-

2.（2021・上海九年级期中）如图，在QABCD中，的平分线交边3c于点E,交OC的延长线于点尸,

点G在AE上，联结GO,/GOF=NF

（1）求证：AD2=DGAF；

（2）连结8G,如果3G_LAE,且AB=6,AO=9,求A尸的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)

2

【解析】(1)证明：•••四边形A8CD是平行四边形,

：.AB//DF,AD//BC,

平分NBAQ,

AZBAF=ZDAF=ZF,：.AD=DF,

:NGDF=NF,

:.XGDFsXDAF,

.DGDF

•，茄一肃’

二AD2=DGAF-.

(2)解：’.N/7平分/BAD,A^BAE=ZDAF,

,JAD//BC,

：.^BEA=ZDAF,:.NBEA=NBAE,

.••△8钻是等腰三角形，；.84=8£=6,

'JBGLAE,：.AG=EG,

丁ZBEA=ZCEF,：.ZCEF=ZF,

:・EC=CF=3,DF=AD=9,

.FECE\

・・---=---=—,

FAAD3

即AG=GE=EF,

AD=FDf

:・DG=FG,：.DG=-AF,

3

9

2-

3.（2020•上海交大附中九年级期中）已知：如图，在AABC中，点D、G分别在边A8、8c上，ZACD=NB,

AG与CD相交于点尸.

(1)求证：AC2=ADAB;

AF\nF

(2)若嘿=*,求证：CG、DFBG.

ACCG

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（l）证明：VZACD=ZB,ZCAD=ZBAC,

AAACD^AABC,

AAC：AB=AD：AC,

AAC2=AD*AB；

(2)证明：VAACD^AABC,

・・・NADF=NACG,

..ADDF

*~AC~~CG'

AAADF^AACG,

AZDAF=ZCAF,即/BAG二NCAG,

XVZACD=ZB,

AAAFC^AAGB,

ACCF

VZCFG=ZCAG+ZACD,ZCGF=ZBAG+ZB,

・・・NCFG=NCGF,，CG=CF,

ACCG

ACAD

由（）得:

I~AB~~AC

DFCG

~CG~~BG

・・・CG2=DF・BG.

Qw课后作业

1.（2021・上海九年级一模）在梯形A8C£＞中，AD//BC,对角线AC与BO相交于点O,下列说法中，错误

的是（)

VODOA

A.SAAOB-S盘叱

B.~OBC.q~OCD.

%sHOC"ABOCS^ABCBC

【答案】C

【解析】解：如图所示:

VAD/7BC,

•••△A3MOB'S~S皿薨嚏，故D正确，.展嗡,

.$4AODOA2

故c错误;

…qOC^

□△BOC

,•qq

"u△八8C^^DBC

•,S4AOB=^^DOC»AI上确;

S八AOB°AS△八osOD

，/^二不，即/^=布，故B正确;

、4B0CUC'&BOC

故选C.

2.（2021・上海九年级一模）如图，已知在•△ABC中，NC=90。，点G是AABC的重心，GELAC,垂足

为E,如果C8=8,则线段GE的长为（）

57810

A.B.C.D.

333T

【答案】c

【解析】如图，连接AG并延长交BC于点。.

A

点G是"ABC的重心，

AG2

点。为BC的中点，­=7,

1

CB=8,

CD=BD=-BC=4,

2

GE1AC,

.NAEG=90°,

-ZC=90°，

■.Z4EG=NC=90°,

.­^EAG=ZCAD（公共角），

EGAG

•.AA£G^AACD.=

\_ZjLzi\.LJ

AG2

GD1

AG2,EGAG2

---=—,..---=一,

AD34AD3

EG=-.

故选：C.

3.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知相似三角形面积的比为9:4,那么这两个三角形的周

长之比为（）

A.9:4B.4:9C.3:2D.81:16

【答案】C

【解析】•••相似三角形的面积比为9：4,

.••这两个相似三角形的相似比为：3：2,

,这两个相似三角形的周长比为：3：2.

故选：C.

4.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列语句中，不正确的是（）

A.两个三角形相似，且有一条边相等，则两个三角形全等

B.两个三角形相似，且周长相等，则两个三角形全等

C.两个三角形相似，且面积相等，则两个三角形全等

D.两个三角形相似，且相似比为1,则两个三角形全等

【答案】A

【解析】A中相似三角形一边为公共边，但并没有说明是对应边，所以A说法不正确；

B中用反证法，假如不全等，但是相似，则周长不相同.这和题目给出的周长相等矛盾，因此必全等，故

B正确；

由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，如果面积相等，则相似比为1,所以全等，故CD正确.

故选：A

・

5.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）△ABCS^AIBICI的相似比为2：3,△AIBIC1^AA2B2C2

的相似比为5：4,则△ABC与△A?B2c2的相似比为（）

【答案】B

【解析】VAABC^AAiBiCi,相似比为2：3=10：15,

又•..△AIBICISZ\A2B2c2,相似比为5：4=15：12,

.♦.△ABC与△A2B2c2的相似比为10：12=5：6,

故选:B.

6.（2020.上海青浦区.九年级一模）如果两个相似三角形对应边之比是1:2,那么它们的对应高之比是（）

A.1：2；B.1：4；C.1：6；D.1：8.

【答案】A

【解析】•••两个相似三角形对应边之比是1：2,

又•.•相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比，

二它们的对应高之比是：1：2,

故选：A.

7.（2019•上海浦东新区•九年级期中）如果两个相似三角形对应边之比是4：9,那么它们的对应角平分线之

比是（）

A.2：3B.4：9C.16：81D.&：石

【答案】B

【解析】解：：这两个三角形对应边之比为4：9

.••这两个相似三角形的相似比是4：9,

•.•其对应角平分线的比等于相似比，

,它们对应的角平分线比是4：9.

故选B.

8.（2019•上海市天山初级中学九年级期中）若AABC~AZ）EF,顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且

AB:DE=\-.4,则这两个三角形的对应中线之比为（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【答案】B

【解析】

AABC^ADEF.A.B、C分别与E、尸对应，且AB:3E=1:4

二对应中线之比=1:4.

故选B.

9.（2019・上海九年级一模）如图，在AABC中，4。平分NBAC交BC于点。，点E在4。上，如果N4BE

=NC,AE=2ED,那么AABE与△ADC的周长比为（）

A.1：2B.2：3C.1：4D.4：9

【答案】B

【解析】解：£0=3：I,

：.AE：AD=2：3,

'：NABE=NC,NBAE=NCAD,

：.

••L>ABE：L&ACD=2：3,

故选：B.

10.（2019•上海民办桃李园实验学校九年级月考）已知AABCsAZ）所，点A、B、。对应点分别是。、E、

F,AB:DE=3:2,那么S皿c：等于（）

A.3:2B.9:4C.16:81D.81:16

【答案】B

【解析】VAABC^ADEF,AB:DE=3:2,

SAABC：SADEF=9:4.

故选B.

11.（2019・上海）如图，四边形A6c。的对角线AC与8。相交于点。，OA=2,OB=3,OC=6,OD=49

那么下列结论中，错误的是（）

A/CACnAB1C^OB_1^^^AOD_1

A./OAD=/OBCB.——=-C.---------D.---------

CD2CADOC23A80(:”

【答案】D

【解析】VOA=2,05=3,0C=6,00=4,

.OAOD2

^~OB~'OC~31

,:ZAOD=ZBOC,/.AOAD^AOBC,

qA

；・/OAD=/OBC,=

、A80C,

故A正确，D错误；

VOA=2,OB=3,0C=6,OD=4,

.OAOB=\

^~OD~~OC~2y

ZAOB=ZDOC,AAOAB^AODC,

.AB=1C^OB=1

CD2C400c2

故B正确，C正确；

故选D.

12.（2020•上海上外附中九年级月考）如图，尸是AZRC内一点，过点尸分别作直线平行于各边，形

成三个小三角形面积分别为E=3,邑=12同=27,则%叱=

【答案】108

【解析】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E,过P作AB的平行线交AB手点I、G,过P作

AC的平行线交AC于点F、H,

VDEZ/BC,IG//AB,FH//AC,

.,.四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形,

△FDP^AIPE^APGH^AABC,

,:S、=3,S2=12,$3=27,

AFP：IE；PH=1：2；3,.1.AI：IE：EC=1：2：3,

.,.AI：IE：EC：AB=1：2：3：6,

SAABC：SAFDP=36：I,

:.SAABC=36X3=108.

故答案为：108.

13.（2020・上海九年级月考）有一个三角形的三边长为2,4,5,若另一个和它相似的三角形的最短边为4,

则第二个三角形的周长为.

【答案】22

【解析】设另一个三角形的另两边为x、y,

•..一个三角形的三边长为2,4,5,另一个和它相似的三角形的最短边为4,

二两个三角形的相似比为刍=；，

42

•_4__5__1

解得：x=8,y=10,

二第二个三角形的周长为4+8+10=22,

故答案为：22

14.（2019•上海市育才初级中学九年级月考）如图所示，AB//CD,AC、8。相交于点E,若△C0E面积为

3,ABCE的面积为5,则梯形的面积为.

【解析】解：•••△CCE面积为3,ABCE的面积为5,

.DES^CDK_3

,,BE-二-5，

又,：ABHCD,AC、8。相交于点E,

：.^DCE^>ABAE,

空

SMBE3+2=

253

又•.&?,

BE5

253

•••5AA£D=yx-=5,

2564

,,梯出的面积=5M帆+SMDF+SACOE+SACBE=-+5+3+5=—

64

故答案为：—.

15.（2019•上海市育才初级中学九年级月考）已知AMC中，点。在边AC上，A8f2,AC=8,AD=6,点、E

在边A8上，若AA£）£和AABC相似，则AE的长是

【答案】9或4

【解析】

解：:△ADE和△ABC相似,

而NBAC=/DAE,

.AEADHnAE6AyzgACn

'.瓦=就'即记抵,解得AE=9；

当卷噎，即告哈解得AE=%

综上所述，AE的长为9或4.

故答案为9或4.

16.（2018•上海市刘行新华实验学校九年级期中）两个相似三角形的的相似比为2:3,且已知这两个三角形

的某对对应边上的高相差为4,则这两条高中较短的长度为

【答案】8

【解析】设对应边上的较长高为x,则较短高为X-4,根据相似的性质，

则有］2x-4

3x

x=?

所以较短高为12-4=8

所以答案为8

17.（2020•上海市民办协和双语学校九年级一模）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边

的三角形叫做格点三角形.如图，请在边长为1个单位的2x3的方格纸中，找出一个格点三角形OE四如

果4OEF与AABC相似（相似比不为1）,那么△£>£尸的面积为.

【答案】1;

【解析】如图，;AB=1,BC=®，AC=45

/.AB：BCAC=J«

VDE=y/2-EF=2,DF=M

:.DE:EF:DF=&2:晒=1:6:小

：.AB：BCAC=DEEFDF

：.AABC-ADEF

,"SjiEF=]X2xl=l

故答案为：1

18.（2020・上海九年级期末）如图，在△ABC中，BC^2,BC上的高AH=8,矩形DEFG的边EF在边BC

上，顶点D、G分别在边AB、AC±.设DE=x,矩形DEFG的面积为V,那么V关于x的函数关系式是

.（不需写出x的取值范围）.

【答案】y=-|x2+12x；

【解析】解：•・,四边形OEFG是矩形，BC=12,BC上的高4H=8,DE=xf矩形OEFG的面积为V,

\DGHEF,

...AAZXJSAABC,

8-xDG

812

得£>G=3(8；X)

3(8-x)32，〜

y=x-------=——x~+\2x,

22

故答案为：y=~x2+\2x.

19.(2019・上海市民办嘉一联合中学九年级月考)如图，F是平行四边形45co的边AZ)上一点，CF交BA

A179

的延长线于点E,若AF=3,—=|,AB=6,求：

(1)AE的长.

(2)8c的长.

【答案】⑴AE=4；(2)BC=—

2

【解析】解：(I)•••四边形A8CD是平行四边形，E是8A延长线上一点,

/.BE//CD,AB=CD,

：.ZAEF=NDCF,ZEAF=Z.CDF,

:.AAEFS^DCF(A4),

AEAF

'~CD~~FD'

..AF_2

A8=6,

'FD~3

.AE2

..=—

63

/.AE=4.

(2)・・•四边形ABCD是平行四边形,

・・・AD=BC,

..AF_2

FD~3

.AFAF22

•茄一人产+尸£)-2+3一二'

,:AF=3f

AD=—

2

20.A4BC中，AB=5,BC=6,AC=7,点。、E分别在边AB、AC上，且DE//BC.

(1)如果AADE的面积与梯形BCE。的面积相同，求。E的长；

(2)如果AAOE的周长与梯形BCED的周长相同，求力E的长.

【答案】(1)30；(2)-.

2

【解析】解：(1)SMDE=S梯形BCEO，二=1.:DEHBC,AADEsAABC,

DEy/2