2022-2023学年小学五年级奥数(全国通用)测评卷07《数的整除》(含详解与答题卡)

［五年级奥数举一反三一全国通用】

测评卷07《数的整除》

试卷满分：100分考试时间：100分钟

姓名：班级：得分：

选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相

等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28,40,49,反面上的数都只能被1和它自己整除.那

么，反面上的三个数的平均数是（）

A.11B.12C.39D.40

2.（2分）在由1、3、4、7、9组成的没有重复数字的数中，是9的倍数的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

3.（2分）在1,2,3,…，100这100个整数中，能被2或3整除的数一共有（）

A.85个B.67个C.34个D.17个

4.（2分）在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数，则这个七

位数最大是

（）

A.9981733B.9884737C.9978137D.9871773

5.（2分）在1-100这100个数中，所有不能被7和11整除的自然数的和是（）

A.3820B.3897C.4315D.4555

6.（2分）2013年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字

的年份.已知小明哥哥出生的年份是19的倍数，那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁.

A.16B.18C.20D.22

7.（2分）既能被6整除，又能被9整除的数，它能不能被54整除（）

A.一定能B.不一定能

C.一定不能D.上说法都不正确

8.（2分）将一个数加上或减去或乘或除一个一位数（0不是一位数）视为一次操作，比如53可以通过加3,

除以7,除以8三次操作变成1.那么2014至少经过（）次操作可变成1.

A.4B.5C.6D.7

9.（2分）有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会由亮变灭，再拉一下又由

灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2,2007,然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3

的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有（）盏.

A.1004B.1002C.1000D.998

10.（2分）已知1988x1988/…X1988与1989xl989x…X1989的和能被5整除.如果0<%4,0<a,2,a

（1988+6个1988（1989+百个1989

和h的取值只有以下两种情况（）

A.a=2,。=1或a=l,b=2B.a=3,。=2或a=2,b=1

C.a=3,。=2或a=l,b=lD.a=2,。=1或a=4,b=2

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）正是三位数，若。是奇数，且诙是3的倍数，则诙最小是—.

12.（2分）非零数字“、b、c能组成6个没有重复数字的三位数，且这6个数的和是5994,则这6个数

中的任意一个数都—被9整除.（填“能”或“不能”）

13.（2分）一个自然数，它是3和7的倍数，并且被5除余2,满足这些条件的最小的自然数是—.

14.（2分）用最小的合数，最小的质数，最小的正整数和一个适当的数字组成一个能同时被2,3整除的最

小的四位数，这个四位数是—.

15.（2分）有一个三位数，老师把这个数除以7、8、9所得的余数分别写在3张纸上，聪明而诚实的甲、

乙、丙三人每人从中抽取了一张，三人都只能看到自己纸上的数而不能看到其他人的数，接着三人依次说

了如下的话.

甲：这个三位数一定不是3的倍数.

乙：这个三位数一定是个奇数.

丙：我知道这个三位数是多少了，而且它是个合数.

那么，这个三位数是—.

16.（2分）2017除以9余1,2017年的每一天都可以用一个八位数表示.比如2017年1月8日可以表示

为20170108,这个数除以9余1.2017年全年都用八位数表示，其中除以9余1的共有天.

17.（2分）不为零的自然数。满足以下两个条件：

（1）0.2a=/nx；n；

（2）0.5a=nxnxn.

其加，〃为自然数，则〃的最小值是.

18.（2分）Ix2x3x…x99xl00=12"xM,其中M为自然数，”为使得等式成立的最大的自然数.下面有

4个答案：

A.”能被2整数，但不能被3整除；

B.何能被3整除，但不能被2整除；

C.”能被4整除但不能被3整除；

D.M不能被3整除，也不能被2整除，

其中正确.

19.（2分）一个八位整数，由8个不同的数字组成，其中任何两个相邻数字构成的两位整数能被13或17

整除，这个八位数的数字和等于—.

20.（2分）若四位数8口5口能被2,3,5整除，则这个四位数最大是—.

三.解答题（共9小题，满分60分）

21.（6分）求被7除，余数是3的最小的三位数.

22.（6分）根据图计算，每块巧克力一元（口内是一位数字）.

M块巧盼联际一

□67.9□元

23.（6分）有一个数，除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几？

24.（6分）用0、2、4三个数字可以组成多少个能被4整除的不同整数？（可以是一位、两位数和三位数）

25.（7分）新学年开始了，同学们要改穿新的校服.小悦收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交

给老师.老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费2口38元”，其中有一滴墨水，把方格处的数字污

染得看不清楚了.冬冬看了看，很快就算出了方格处的数字.聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少

吗？

26.（7分）有个六位数11口口11,它能被17和19整除，口口里的两位数是几？

27.（7分）我们称能被7整除或者含有数字7的自然数为“好数”，那么1~200有多少个“好数”？

28.（7分）在某一次数学竞赛中，某五年级考场一共有36名选手，获得的总分为莉布，求这个考场的平

均分.（满分为120分，且平均分刚好为整数）

29.（8分）求能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数.

测评卷07《数的整除》

试卷满分：100分考试时间：100分钟

姓名:班级:得分:

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）（请将答案填写在各试题的答题区内）

12345678910

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答）

12.

13._______________________________________

14.

15._______________________________________

16.

17._______________________________________

18.

19._______________________________________

20._______________________________________

三.解答题（共9小题，满分60分）（请在各试题的答题区内作答）

21.答:

22.答:

23.答:

24.答:

25.答:

26.答:

27.答:

28.答:

29.答:

【五年级奥数举一反三一全国通用］

测评卷07《数的整除》

试卷满分：100分考试时间：100分钟

姓名：班级：得分：

选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相

等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28,40,49,反面上的数都只能被1和它自己整除.那

么，反面上的三个数的平均数是（）

A.11B.12C.39D.40

【解答】解：因为28、40、49奇偶性不一样，根据卡片正反面上两个数字和相等，

所以49的背面是2,和为49+2=51,

从而反面上的平均数是（51x3-28-40-49）+3=12.

2.（2分）在由1、3、4、7、9组成的没有重复数字的数中，是9的倍数的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：如果能被9整除，那么这个数的各位数字和必须能被9整除，

这样的组合可能是由一个数字9组成数是9,

这样共有1种.

故选：A。

3.（2分）在I,2,3,…，100这100个整数中，能被2或3整除的数一共有（）

A.85个B.67个C.34个D.17个

【解答】解：依题意可知：

1-100能被2整除的共100+2=50（个）.

1-100能被3整除的共100+3=33（个）...1.

重复的是被6整除的共有100+6=16（个）…4.

共50+33-16=67（个）.

故选：B,

4.（2分）在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数，则这个七

位数最大是

A.9981733B.9884737C.9978137D.9871773

【解答】解：在7位数中，首先分析前三位数字，最大的11的倍数是990,最大13的倍数是988,因为0

不能做首位.所以7位数中不能含有数字0,11倍数的第二大数字是979小于988.所以前三位数字是988.

第4位根据如果是11的倍数数字就是880.如果是13的倍数就是884.最大是884.

第5位根据如果是11的倍数数字就是847,如果是13的倍数就是845.最大是847.

第6位根据如果是11的倍数数字就是473,如果是13的倍数在470-479没有13的倍数.所以是473

第7位根据如果是11的倍数是737,如果是13的倍数没有符合的数字.

所以这个7位数是9884737.

故选：B,

5.（2分）在1-100这100个数中，所有不能被7和11整除的自然数的和是（）

A.3820B.3897C.4315D.4555

【解答】解：1到100自然数的和为（1+100）x100+2=5050,

而能被7整除的自然数的和为7+14+21+…+98=105x142=735,

能被11整除的自然数的和为11+22+33+…+99=110x9+2=495，

二者有相同重复的数77,

所以得到不能被7和11整除的自然数的和为

5050-735-495+77

=3897,

故选：B,

6.（2分）2013年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字

的年份.已知小明哥哥出生的年份是19的倍数，那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁.

A.16B.18C.20D.22

【解答】解：从1990年~2012年，年份中都有重复数字，其中是19的倍数的数只有1900+95=1995，

2013-1995=18（岁）；

故选：B。

7.（2分）既能被6整除，又能被9整除的数，它能不能被54整除（）

A.一定能B.不一定能

C.一定不能D.上说法都不正确

【解答】解：由分析知，如18,36既能被6整除，又能被9整除的数，但不能被54整除；

而54、108等数既能被6整除，又能被9整除的数，也能被54整除.

故选：Bo

8.（2分）将一个数加上或减去或乘或除一个一位数（0不是一位数）视为一次操作，比如53可以通过加3,

除以7,除以8三次操作变成1.那么2014至少经过（）次操作可变成1.

A.4B.5C.6D.7

【解答】解：第一次操作构成最大除数9的倍数，2014+2=2016.

第二步除法2016+9=224.

再根据224是8的倍数，第三步224+8=28.

第四步28+7=4.

第五部4+4=1

故选：B。

9.（2分）有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会由亮变灭，再拉一下又由

灭变亮，现按其顺序将灯编号为1,2,2007,然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3

的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有（）盏.

A.1004B.1002C.1000D.998

【解答】解：•.•有2007盏亮着的电灯，现按其顺序编号为/,2,2007,

..编号为2的倍数的灯有（2007-1）+2=1003（只），

编号为3的倍数的灯有2007+3=669（只），

编号为5的倍数的灯的有（2007—2）+5=401（只），

其中既是3的倍数也是5的倍数有（2007-12）+15=133（只），

既是2的倍数也是3的倍数有（2007-3）+6=334（只），

既是2的倍数也是5的倍数有（2007-7）+10=200（只），

既是2的倍数也是5的倍数，还是3的倍数有（2007-27）+30=66（只），

只拉I次的：1003—334—200+66=535,669-334—133+66=268，401-200-133+66=134,

拉3次的66,

所以亮的就是2007-535—268—134-66=1004（只）.

故选：Ao

10.（2分）已知1988xl988x…X1988与1989xl989x…X1989的和能被5整除.如果0<劣,4,0<b„2,a

（1988+得个1988（1989+而个1989

和〃的取值只有以下两种情况（）

A.a=29。=1或a=l,b=2B.a=3,h=2或。=2,b=1

C.a=3,。=2或a=l,b=lD.a=2)£>=1或a=4,b=2

【解答】解：由分析可知1988连乘的积个位数的变化规律为：8、4、2、6,8、4、2、6…每四个一次循环:

1989连乘的积个位数的变化规律：9、1、9、1…每两个一次循环；

它们的和被5整除，只能是4和1相加或6和9相加：因此1988+。应该被4除余2或0,1989+b被2除

余1或0;

当”=2,b=1时，(1988+2)+4=475,余数为0,(1989+1)+2=995,余数为0,符合题意；

当”=4，6=2时，(1988+4)+4=475…2,余数为2,(1989+2)+2=995」，余数为1,符合题意；

故选：D.

填空题(共10小题，满分20分，每小题2分)

11.(2分)abc是三位数,若a是奇数，且abc是3的倍数，则abc最小是102.

【解答】解：要使诙最小，那么百位数字最小是I,那么十位数字是0,这个数就为瓦，

又因为诙是3的倍数，所以可得：l+0+c的和是3的倍数，

所以，c最小是2,

则，诙最小是102.

故答案为：102.

12.(2分)非零数字。、b、c能组成6个没有重复数字的三位数，且这6个数的和是5994,则这6个数

中的任意一个数都能被9整除.(填“能”或“不能”)

【解答】解：根据分析，这六个数是：诙，运嬴，血,嬴，砺，按照位值原理得：

abc=100(7+1Ob+cacb=100a+10c+Z?

bac=100bH-lOtz+cbca—100/?+\0c+a

cab=100c+10a+bcba=100c+1()/?+a

abc+acb+bac+bca+cab+cba

=100a+10/?+c+100Q+10c+b+100/2+106z+c+100&+10c+a+100c+10<7+b+100c+lQfo+a

=200(6?+b+c)+20(。+b+c)+2(q+b+c)

=222(〃+Z?+c)

=5994

.\a+b+c=27

•.•27+9=3

二而被9整除的特征是，各个数字之和能被9整除，

而这六个数的任意一个数的数字之和都是：a+b+c=Tl

易知，这6个数中的任意一个都能被9整除.

故答案是：能

13.（2分）一个自然数，它是3和7的倍数，并且被5除余2,满足这些条件的最小的自然数是42.

【解答】解：首先确定是3和7的倍数一定是21的倍数.

214-5=4...1

42+5=8…2

故答案为：42.

14.（2分）用最小的合数，最小的质数，最小的正整数和一个适当的数字组成一个能同时被2,3整除的最

小的四位数，这个四位数是1224.

【解答】解：根据分析可得，最小的合数是4,最小的质数是2,最小的正整数是1,

4+2+1=7,9-7=2,所以最少再增加2就能被3整除，

所以这个最小的四位数是1224：

故答案为：1224.

15.（2分）有一个三位数，老师把这个数除以7、8、9所得的余数分别写在3张纸上，聪明而诚实的甲、

乙、丙三人每人从中抽取了一张，三人都只能看到自己纸上的数而不能看到其他人的数，接着三人依次说

了如下的话.

甲：这个三位数一定不是3的倍数.

乙：这个三位数一定是个奇数.

丙：我知道这个三位数是多少了，而且它是个合数.

那么，这个三位数是575.

【解答】解：由甲的话可以推出他拿的纸张是除以9的余数，

而且余数是8,否则（比如是7则有可能是除以8的余数）无法确定出这个三位数是否能整除3；

在此基础上，乙说这个数一定是奇数，说明他拿到的纸张是除以8的余数，且为7,

否则（比如是其他数字则有可能是除以7的余数）无法确定出这个三位数是否为奇数，

至此，内知道手中拿到的数是除以7的余数，且这个三位数加上1能被72整除，

把72的倍数减去1后，依次为143,215,287,359,431,503,575,647,719,791,863,935,

它们除以7的余数依次是3,5,0,2,4,6,1,3,5,0,2,4,

显然如果是3,5,0,2,4则不能确定是哪个数，

所以只剩下503和575,

而503是质数，所以这个三位数是575.

故填:575.

16.(2分)2017除以9余1,2017年的每一天都可以用一个八位数表示.比如2017年1月8日可以表示

为20170108,这个数除以9余1.2017年全年都用八位数表示，其中除以9余1的共有40天.

【解答】解：依题意可知：

2017除以9余数为I,那么后面的4个数字和就是9的倍数.

按照月份枚举即可：

0108,0117,0126；

0207,0216,0225；

0306,0315,0324；

0405,0414,0423；

0504,0513,0522,0531；

0603,0612,0621,0630；

0702,0711,0720,0729；

0801,0810,0819,0828；

0909,0918,0927；

1008,1017,1026；

1107,1116,1125；

1206,1215,1224；

共40个.

故答案为：40

17.(2分)不为零的自然数a满足以下两个条件:

(1)0.2a=mxrm

(2)0.5a=nxnxn.

其根，〃为自然数，则a的最小值是2(X)0.

【解答】解：0.2a=，/,a=5m2,a中含质数5,

0.5a=n3,a=Irt'>a中含有质数2,

所以a中含有质因数2和5,

根据a=5机2,。中含有的2是偶次方个.含有5的因数是奇数次方个，

根据4=2/,。中含有的5是3的倍数个.2的偶次方去掉一个变成立方数，最小为4,

根据最小a=24x53=2000.

故答案为：2000.

18.(2分)lx2x3x...x99xlOO=12nxM,其中M为自然数，w为使得等式成立的最大的自然数.下面有

4个答案：

A.M能被2整数，但不能被3整除；

B.“能被3整除，但不能被2整除；

C.M能被4整除但不能被3整除；

D.M不能被3整除，也不能被2整除，

其中_A_正确.

【解答】解：100+3=33...1

100-(3x3)=11...1

1004-(3x3x3)=3...19

100-(3x3x3x3)=!...19

所以Ix2x3x…x99xl00的结果包含质因数3的次数是33+11+3+1=48，

同理，Ix2x3x…x99xl00的结果包含质因数2的次数是50+25+12+6+3+1=97,

297=448X2,

348X448=1248,

所以1X2X3X…x99xl00的结果包含因数12的最大次数是48,M能被2整除，但不能被3整除.

故选A.

19.(2分)一个八位整数，由8个不同的数字组成，其中任何两个相邻数字构成的两位整数能被13或17

整除，这个八位数的数字和等于41.

【解答】解：不妨先依次列出两位数中13和17的倍数，

13的倍数有：13,26,39,52,65,78,91；

17的倍数有：17,34,51,68,85；

显然这个八位数不含0,且这个八位数不含4或者4只能放末位；

观察上面两列数，7后面一定跟8,8后面一定跟5,2后面一定跟6,9后面一定跟1,

反推，7前面一定跟1,

这样就可以确定91785,因为1已经用去，则5后面只能跟2,

所以有9178526,此时还有3、4没有用上，

显然把3放置首位，

八位数是39178526,

答案是3+9+1+7+8+5+2+6=41.

故答案为：41.

20.（2分）若四位数8口5口能被2,3,5整除，则这个四位数最大是TO.

【解答】解：四位数8口5口能被2,5整除，则这个四位数的个位数字是0；

则，8+□+5+0=13+口，所以百位数字口=2、5、8,

其中最大的是8,所以这个四位数最大是8850：

故答案为：8850.

三.解答题（共9小题，满分60分）

21.（6分）求被7除，余数是3的最小的三位数.

【解答】解：由100+7=14…2,知（100+1）+7=14…3,故被7除余数是3的最小的三位数是101.

22.（6分）根据图计算，每块巧克力5.11元（□内是一位数字）.

【解答】解：72x5.11=367.92（元），

故答案为：5.11.

23.（6分）有一个数，除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几？

【解答】解：我们将这个数加上7,则这个数能被3整除，同时也能被4整除，

3x4=12,

所以这个数能被12整除，

所以原来这个数除以12的余数为：12-7=5；

答：这个数除以12余数是5.

24.（6分）用0、2、4三个数字可以组成多少个能被4整除的不同整数？（可以是一位、两位数和三位数）

【解答】解：根据能被4整除的数的特征可得：

一位数：0、4,共有2个；

两位数:20、24、40,共有3个;

三位数：204、240、420,共有3个；

共2+3+3=8个；

答：用0、2、4三个数字可以组成8个能被4整除的不同整数.

25.（7分）新学年开始了，同学们要改穿新的校服.小悦收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交

给老师.老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费2口38元”，其中有一滴墨水，把方格处的数字污

染得看不清楚了.冬冬看了看，很快就算出了方格处的数字.聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少

吗？

【解答】解：因为2+3+8=13,13+5=18,能被9整除，所以这个数是2538,

所以校服费2538元，每件校服：2538+9=282（元）

答：你们能算出这个数字是282.

26.（7分）有个六位数它能被17和19整除，口口里的两位数是几？

【解答】解：17x19=323，那么323*“历=11口口11,由末位和首位可知a=3,c=7,进而可求出b=5,

那么323x357=115311，即口口=53.

答：□□里的两位数是53.

27.（7分）我们称能被7整除或者含有数字7的自然数为“好数”，那么1~200有多少个“好数”？

【解答】解：能被7整除的数：