2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第11讲 特殊的平行四边形(含详解)

第11讲特殊的平行四边形

平行四边形在边和角上的特殊性，分别得到菱形和矩形，矩形和菱形在边和角上的特殊

性得到正方形.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形.

从对称性考虑，平行四边形只是中心对称图形，三种特殊平行四边形都既是中心对称图

形又是轴对称图形.计算面积时，菱形和正方形都还能用对角线长的乘积的一半来运算.尤

其要掌握当矩形的对角线夹角是60°时，两对角线和较短的边构成的三角形是等边三角形,

即较短的边长是对角线长的一半.当菱形两边的较小夹角是60°时，它是由两个等边三角

形合成的，可由等边三角形的特殊性来研究.

模块一：矩形

知识精讲

知识点1:矩形

1.定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.

注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法.

2.性质：

矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质.

(1)矩形的四个角都是直角；

(2)矩形的两条对角线相等.

注意：

(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成

完全全等的两部分.

(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线).

对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心).

3.判定：

矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.

矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.

例题解析

例1.(2018•上海杨浦区•八年级月考•)下列判断一个四边形为矩形的命题中真命题的

是：（)

A.对角线互相平分且有一个内角为直角的四边形是矩形.

B.对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是矩形.

C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形.

D.对角线互相平分且互相垂直的四边形是矩形.

例2.（2017•上海徐汇区•八年级期末）下列命题中，假命题是（）

A.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形

B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形

C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形

D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形

例3.（2019•上海上外附中）判断：三个内角相等的四边形为矩形（）

例4.（2020•上海徐汇区•八年级期末）如图，矩形ABCD中，0是两对角线交点，AE1BD

于点E.若0E：OD=1:2,AE=3cm,则BE=cm.

例5.（2019•上海市市西初级中学）如图，在矩形A3C0中，A£>=243,点E在AO

例6.（2019•上海上外附中）矩形ABCD的两条对角线AC,BO相交于点。，已知

AC=10,NACB=30°,则△COD的周长是

例7.（2020•上海市静安区实验中学八年级课时练习）矩形ABCD中，对角线AC=10cm,

2

两邻边长度之比AB:BC是3:4,那么S矩形ABCD=_cm.

例8.（2019•上海静安区•八年级期末）在矩形488中，AC与3。相交于点。，

ZAOB=46,那么ZOAD的度数为,

例9.（2019•上海市田林第三中学）一个周长为20厘米的长方形，长与宽的比是3:2,它

的面积是平方厘米.

例10.（2018•上海静安区•八年级期末）如图，在矩形纸片48（力中，A46cm,BC=

8c/，将矩形纸片折叠，使点8与点〃重合，那么△比》的周长是__cm.

例11.（2017•上海杨浦区•八年级期末）在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,则AC=

例12.矩形的一角平分线分矩形一边为1厘米和3厘米两部分，则这个矩形的面积为

平方厘米.

例13如图所示，矩形4筋的对角线47、勿交于点0,3ELAC于点£,CFLBD

于点R求证：B4CF.

例14.如图，在矩形中，AB=3,AD=4,尸是力〃上不与4、〃重合的一动点,

PELAC,PFLBD,E、/为垂足，则小所的值为.

例15.已知：若从矩形4比。的顶点，作劭的垂线交劭于E,交/胡〃的平分线于F.

求证：△。尸是等腰三角形.

D

例16.已知：矩形4腼中，延长比1至反使陷川，尸为龙中点，连接"、CF.

求证：AFLCF.

4一八D

---------------------CE

例17.如图所示，在矩形4％D中，BQ=8,A斤6,把矩形折叠使点。与点/重合，求折叠项

的长.

a--------------------------D

/

BFJC

例18.如图，在矩形比花»中，AB=8,BC=4,将矩形沿4C折叠，使点〃落在点。'处，

C。'交46于点凡则重叠部分△加&的面积为一

DC

D'

模块二：菱形

知识精讲

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2.性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质:

(1)菱形的四条边都相等；

(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

注意：

（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全

等

的两部分；

（2）菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中

心；

（3）菱形的面积有两种计算方法：

一种是平行四边形的面积公式：底X高；

另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.

实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

3.判定：

菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形

菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

例题解析

例1.（2019•上海浦东新区•八年级期末）在四边形ABC。中，ACYBD,再补充一个

条件使得四边形ABC。为菱形，这个条件可以是（）

A.AC=BDB.ZABC=90°

C.AB=BCD.AC与BD互相平分

例2.（2020•上海市静安区实验中学八年级课时练习）菱形具有而矩形不具有的性质是

（）

A.对角相等B.四动相等C.对角线互相平分D.四角相等

例3.（2020•上海市静安区实验中学八年级课时练习）在下列命题中，正确的是（）

A.一组对边平行的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

例4.（2019•上海静安区•八年级期末）如图，在四边形A8CD中，AC与3。相交于

点。，AC_LBD,BO=。。，那么下列条件中不能判定四边形ABCO是菱形的为（）

C

A.ZOAB=ZOBAB.ZOBA=ZOBCC.AD/7BCD.AD=BC

例5.（2020•上海嘉定区•八年级期末）已知菱形的边长为2。"，一个内角为60°,那

么该菱形的面积为cm2.

例6.（2019•上海上外附中）菱形一条对角线长为12cm,周长为40cm,则菱形的面积为

_________平方厘米

例7.（2018•上海杨浦区•八年级月考）一条对角线的平行四

边形是菱形.

例8.（2019•上海浦东新区•八年级期末）菱形的周长为8,它的一个内角为60。，则菱

形的较长的对角线长为.

例9.（2020•上海杨浦区•八年级期末）已知菱形的边长为13,一条对角线长为10,那

么它的面积等于.

例10.（2020•上海松江区•八年级期末）如图，菱形A6CO的对角线AC与BD相交于

点。.已知AB=10m,AC=12cm.那么这个菱形的面积为cm2.

例11.如图，在菱形4?（力中，劭=6,尸是〃■上一动点（户与。不重合），PEHBC交.AB

于点色PFHCD交AD于点、F,连结分；求图中阴影部分的面积.

例12.如图，在nAfiCD中，。是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边A。、BC令

别交于点£、F.

求证：（1）^AOE^COF-,（2）四边形AFCE是菱形.

例13.如图O是菱形43C£>对角线的交点，作£>E//AC,CE//BD,DE、CE交于点E,

四边形OCED是矩形吗?证明你的结论.

例14.如图，矩形纸片43co中，AB=4,A£>=8,将纸片折叠，使得点5与点。重合，折

痕为EF.

(1)求证：四边形廊乃1是菱形：

(2)求菱形BED尸的边长.

例15.如图，“ABC中，ZACB=90,CDLAB,AE平分NBAC交CD于F,

及7，4〃交至于6.求证：四边形CEGF是菱形.

例16.如图，菱形4?5的边长为4cm,且N4比'=60°,£是弦的中点，。点在劭上，则

月介/个的最小值为_______.

BC

例17.如图，菱形4成》的边长为2,劭=2,E,厂分别是边力〃，切上的两个动点且满足

AE+CF=2.

(1)判断△麻尸的形状，并说明理由；

(2)设△废尸的面积为S,求S的取值范围.

例18.已知△/!优是等边三角形，点〃是射线比上的一个动点(点〃不与点反。重合)，

△力比,是以为边的等边三角形，过点6作比1的平行线，分别交射线46、/C于点尺G,

连接跖.

(1)如图1所示，当点〃在线段以上时，

①试说明：MAE监/\ADC

②探究四边形况您是怎样特殊的四边形，并说明理由.

(2)如图2所示，当点〃在比1的延长线上时，探究四边形77(方是怎样特殊的四边形，并

说明理由.

(3)在(2)的情况下，当点〃运动到什么位置时，四边形8a四是菱形？并说明理由.

模块三：正方形

知识精讲

1.定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.

2.正方形与矩形、菱形的关系

矩形邻边相等'正方形菱形一个角是直角工正方形

3.性质定理”

正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质.

性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等.

性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对

角.

4.判定定理：

判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.

判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形.

例题解析

例1.（2019・上海八年级课时练习）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线互相垂直平分

C.四条边相等D.对角线平分一组对角

例2.（2018•上海闵行区•八年级月考）下列命题是假命题的是（）

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.B.对角线互相垂直的矩形是正方

形.

C.对角线相等的菱形是正方形.D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形.

例3.（2019•上海上外附中）判断：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（J

例4.（2021•上海八年级期末）如图，已知正方形ABC。的面积为4,正方形EH〃的面

积为3,点。、C、G、J、/在同一水平面上，则正方形BEEG的面积为.

E

例5.（2019•上海浦东新区•八年级期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在

CG上，BC=a,CE=b,H是AF的中点，那么CH的长是.（用含a、b的代数式表示）

例6.（2020•上海市位育实验学校）如图，P是正方形ABCD内的一点，PA=PB=10,并且P

点到CD的距离也等于10,则正方形面积是

例7.（2019•上海市民办上宝中学八年级月考）如图，已知正方形ABCD的顶点A（1,

1）,B（3,1）,直线y=2x+b交边AB于点E,交边CD于点F,则直线y=2x+b在y轴上的

截距b的变化范围是

例8.（2018•上海杨浦区•八年级月考•）点E在正方形ABCD的边BC的延长线上,CE=AC,

连接AE交CD于F,则ZAFD=.

例9.（2018•上海杨浦区•八年级月考）在正方形ABCD中，两条对角线相交于点0,Z

BAC的平分线交BD于点E,若正方形ABCD的周长是16cm,则DE=

例10.（2018•上海杨浦区•八年级月考）的菱形是正方形.

例11.（2019•上海浦东新区•八年级期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点

。在CG上，BC=a,CE=b,"是AE的中点，那么CH的长是（用含

例12.（2017•上海八年级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1,点E在边DC上，AE

例13.（2019•上海普陀区•八年级期中）如图：在正方形A8CD中，对角线AC、BD

相交于点。，Na4C的平分线AE交BO于点E，交BC于点F.

求证：(1)BE=BF；

(2)OE^-CF.

2

例14.(1)如图(1),已知夕正方形力犯9对角线劭上一点，且B匕BC,则NACP度数

是；

(2)如图(2),正方形极力的对角线〃；仍相交于点0,«是必延长线上一点，

CE=BD,NA方的度数是一

例15.如图，正方形4%笫的对角线47上截取CE^CD,作EF1AC交4〃于点F.

求证：AE=EaFD.

例16.如图，已知£1是正方形/腼的边比'上的任意一点，BFLAE,垂足为G,交切于点

F.求证：AE-BF.

例17.已知：正方形ABCD中,F为⑦延长线上的一点，血〃■于E,交］〃于M.

求证：乙监加45°.

例18.已知：在正方形/况〃中，M为的中点，就VL初，BN平分4CBE井■交MN

例19.如图所示，正方形力腼中，片45°,APLEF于点、P.求证：AP^AB.

例20.如图，在正方形A8CO中，点£在边他上(点E与点A、8不重合)，过点E作

FG1DE,FG与边8c相交于点F,与边Q4的延长线相交于点G.

(1)由几个不同的位置，分别测量环、AG、AE的长，从中你能发现所、AG、他的

数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论.

(2)联结£)尸，如果正方形的边长为2,设AE=x,ADFG的面积为y,求y与x之间的函

数解析式，并写出函数的定义域.

(3)如果正方形的边长为2,FG的长为3,求点C到直线DE的距离.

2

(备用图)

G

随堂检测

1.四边形ABCD的对角线AC与比）交于点O.

①若AB=AD，则平行四边形是形；

②若AC=8D,则平行四边形ABCD是形；

③若ZA5C=90,则平行四边形43a＞是形；

④若NS4O=NO4O,则平行四边形AfiCD是形.

2.已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A.当心？=6。时，它是菱形B.当4人独时，它是菱形

C.当N4路90°时，它是矩形D.当AC=BD是,它是正方形

3..在菱形钻8中，对角线AC,8。相交于点O,E为4?的中点，且OE=a,则菱形

ABCD的周长为（）

A.16ttB.12aC.8aD.4a

4.把矩形/WC。沿所对折后使两部分重合，若Nl=50,则Z4£F=（）

A.110°B.115°C.120°D.130°

5.如图，正方形中，E为边CD上的一个动点，延长BC至尸，使CF=CE,联结。尸,

BE与。尸相交于G点，下列结论正确的个数是（）

①BG上DF；②NF+NCEB=90；®ZFDC+ZABG=90；®BE=DF.

A.1B.2C.3D.4

6.如图所示，在菱形/四中，/血介80°,47的垂直平分线交对角线“于点尸"为垂足,

连接分；求/叔的度数.

7.如图所示，正方形1比9中，EFLGH于点P.求证：EF^GH.

8.如图，在线段AE上取一点使AB>BE,以A5、BE为边在AE同侧作正方形

和8EFG,在AB上取A”=BE,在BC的延长线上取一点K,使CK=8G.

求证：四边形印M）为正方形.

9.如图所示，菱形/WS内接于矩形使得点只Q、R、S分别为边/8、BC、CD、DA上

的点.已知阳=15,小20,月?=30,QSM0.求矩形力时的周长.

10.已知：如图边长为a的正方形ABC。的对角线AC、BD交于点、O,E、尸分别为DC、

8c上的点，且。E=C/.

求证：（1）EOLFO.

（2）M,N分别在OE、O厂延长线上，OM=ON=a,四边形MONG与正方形ABC£>

重合部分的面积等于1/.

4

第11讲特殊的平行四边形

平行四边形在边和角上的特殊性，分别得到菱形和矩形，矩形和菱形在边和角上的特殊

性得到正方形.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形.

从对称性考虑，平行四边形只是中心对称图形，三种特殊平行四边形都既是中心对称图

形又是轴对称图形.计算面积时，菱形和正方形都还能用对角线长的乘积的一半来运算.尤

其要掌握当矩形的对角线夹角是60°时，两对角线和较短的边构成的三角形是等边三角形,

即较短的边长是对角线长的一半.当菱形两边的较小夹角是60°时，它是由两个等边三角

形合成的，可由等边三角形的特殊性来研究.

模块一：矩形

知识精讲

知识点1:矩形

1.定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.

注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法.

2.性质：

矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质.

(1)矩形的四个角都是直角；

(2)矩形的两条对角线相等.

注意：

(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成

完全全等的两部分.

(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线).

对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心).

3.判定：

矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.

矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.

例题解析

例1.(2018•上海杨浦区•八年级月考•)下列判断一个四边形为矩形的命题中真命题的

是：（)

A.对角线互相平分且有一个内角为直角的四边形是矩形.

B.对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是矩形.

C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形.

D.对角线互相平分且互相垂直的四边形是矩形.

【答案】C

【分析】对角线相等且有一个内角为直角的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边

形是矩形，据此可判断A、C选项；根据类似的方法，结合各种特殊四边形对角线的特征，

即可判断B、D选项.

【详解】对于A,对角线相等且有一个内角为直角的四边形不一定是矩形，故原说法错

误；

对于B,对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，故原说法错误；

对于C,对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法正确；

对于D,对角线相等且互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误.

故选C.

【点睛】此题考查矩形的判定，解题关键在于掌握判定定理.

例2.（2017•上海徐汇区•八年级期末）下列命题中，假命题是（）

A.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形

B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形

C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形

D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形

【答案】C

【解析】利用矩形的定义或者是矩形的判定定理分别判断四个选项的正误即可.

解：A、有一组时角是直角且一组对•边平行即可得到两组对边平行或四个角均是直角，故此

选项不符合题意；

B、有一组对角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边平行，有一个角是直角的平行四

边形是矩形可知此选项不符合题意；

C、有两个内角是直角且一组对边平行的四边形可能是直角梯形，故此选项符合题意；

D、有两个内角是直角的且一组对边相等可以得到其两组对边相等，所以能判定其是一个平

行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此选项不符合题意.

故选c.

“点睛”本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决此类题目的关键.举反

例往往是解决此类题目的重要的方法.

例3.（2019•上海上外附中）判断：三个内角相等的四边形为矩形（）

【答案】错误

【分析】根据矩形的判定，举出反例即可.

【详解】解：反例：三个内角为80度的四边形不是矩形，故命题是假命题.

故答案为：错误.

【点睛】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的几种判定方法是解题的基础，举出

反例是关键.

例4.（2020•上海徐汇区•八年级期末）如图，矩形ABCD中，0是两对角线交点，AE±BD

于点E.若0E：01）=1:2,AE=3cm,则BE=cm.

【答案】

【分析】题目条件给出了AE_LBD可以求得NAE0=90°,从而得到“EO为直角三角形，己

知OE：OD=1：2建立EO与A0的数量关系，通过勾股定理可求得0E的值，便可得出答

案.

【详解】•••四边形ADCD为矩形

.,.OB=OA=OD

又「OE：0D=1：2

11

.,.OE=-OD=-OA=BE

22

VAE±BD

222222222

二在RtAAEO中，AE+0E=0A=>AE+0E=(20E)=>3+0E=(20E)

.".BE=0E=#

故答案为G

【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，通过矩形对角线相等的性质和比值关

系，用勾股定理构造直角三角形的边数量关系是解题的关键.

例5.（2019•上海市市西初级中学）如图，在矩形ABCD中，4）=2至，点E在

【答案】15°

【分析】根据矩形性质得出/A=NBCD=90°,AD=BC=BE,根据=得出/

BEA=30°=NEBC,求出NECB的度数，即可求出答案.

【详解】•••四边形ABCD是矩形，

.,.ZA=ZBCD=90°,AD=BC=BE,AD〃BC,

,/AD=BE=2AB,

.,.ZBEA=30°,

VAD/7BC,

.*.ZEBC=ZBEA=30o,

•/BE=AD-BC,

：.ZECB=-（180°-ZEBC）=75°,

2

VZBCD=90",

:./ECD=90°-75°=15°,

故答案为：15°.

【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，

含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出NABC和NEBA的度数，题目比

较好，是一道综合性比较强的题目.

例6.（2019•上海上外附中）矩形A5CD的两条对角线AC,8。相交于点。，己知

AC=10,ZACB=3O°,则△COD的周长是

【答案】15

【分析】直接利用矩形的性质得出NOC0=60°,DO=CO=5,进而得出AOCD是等;

边三角形，即可得出答案.

【详解】解：如图所示：•.•矩形力腿的两条对角线4G劭相交于点0,AC=10，

NACB=30°，

Z.OCD=90°-ZACB=6()°.DO=CO=-AC=5,

2

.•.△OCD是等边三角形，

.•.△OOC的周长是：15.

故答案为：15.

【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的性质，正确得出AOCD是等边三角

形是解题关键.

例7.(2020•上海市静安区实验中学八年级课时练习)矩形ABCD中，对角线AC=10cm,

两邻边长度之比AB;BC是3:4,那么S矩形ABCD=___cm2>

【答案】48

【分析】根据题意，画出图形，设AB=3xcm,BC=4xcm,根据勾股定理列出方程即可求出x,

从而求出AB和BC,最后根据矩形的面积公式计算即可.

【详解】解：如下图所示,设AB=3xcm,BC=4xcm,

根据勾股定理AB'+BCJAC?

即(3x)2+(4x)2=1()2,

解得：x=2或-2(不符合实际，舍去)

.,.AB=6cm,BC=8cm

S矩形ABCD=6x8=48cnr'

故答案为：48.

【点睛】此题考查的是矩形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质和利用勾股定理解直角三

角形是解决此题的关键.

例8.（2019•上海静安区•八年级期末）在矩形A8CO中，AC与BD相交于点。，

乙4。8=46'，那么NQ4。的度数为，.

【答案】230

【分析】根据矩形的性质可得/OAD=/ODA,再根据三角形的外角性质可得/AOB=/DAO+/

AD0=46°,从而可求NOAD度数.

【详解】•••四边形A8CO是矩形

.\OA=OC=OB=OD,

.\ZDAO=ZADO,

,/ZAOB=ZDAO+ZADO=46°,

AZOAD^-ZAOB=-X46°=23°

22

即NQ4O=23°.

故答案为：23°.

【点睛】此题考查矩形的性质，解决矩形中角度问题一般会运用矩形对角线分成的四个小

三角形的等腰三角形的性质.

例9.（2019•上海市田林第三中学）一个周长为20厘米的长方形，长与宽的比是3:2,它

的面积是一平方厘米.

【答案】24.

【分析】根据“一个长方形的周长是20厘米，”知道长+宽=20+2厘米，再根据“长与宽

的比是3：2,”把长看作3份，宽看作2份，长+宽=3+2份，由此求出1份，进而求出长

方形的长和宽，再根据长方形的面积公式S=ab,即可求出长方形的面积.

【详解】1份是:20+2+（3+2）=20+2+5=2（厘米）,

长是：3X2=6（厘米），

宽是：2X2=4（厘米），

长方形的面积：6X4=24（平方厘米），

故答案为：24平方厘米.

【点睛】此题考查按比例分配应用题，长方形、正方形的面积，解题关键在于掌握面积公

式.

例10.（2018•上海静安区•八年级期末）如图，在矩形纸片4版中，AB=6cm,BC=

8cm,将矩形纸片折叠，使点8与点〃重合，那么△〃疗,的周长是__cm.

【答案】14.

【分析】根据翻转变换的性质得到BF=DF,根据三角形的周长公式计算即可.

【详解】由翻转变换的性质可知，BF=DF,

则'的周长=叱小切=瓯所面=册仪=14W，

故答案为：14.

【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对•称变换，折叠前后图形的形状

和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

例11.（2017•上海杨浦区•八年级期末）在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,则AC=_.

【答案】V5

分析：利用RtAABC的勾股定理即可得出答案.

详解：根据题意可得：AC=7AB2+BC2=Vl2+22=75-

点睛：本题主要考查的是矩形的性质以及直角三角形的勾股定理，属于基础题型.明确△

ABC为直角三角形是解题的关键.

例12.矩形的一角平分线分矩形一边为1厘米和3厘米两部分，则这个矩形的面积为

平方厘米.

【难度】★★

【答案】4或12.

【解析】由题意可知，矩形的一边为4厘米，另一边长为1厘米或3厘米，所以矩形的面

积为4或12平方厘米.

【总结】考查矩形性质的应用.

例13如图所示，矩形加切的对角线1C、加交于点0,BE_LAC于点反CF1BD

于点凡求证：B片CF.

【难度】★★

【解析】•.•矩形4及/，03=0C.

OB=OC,ABEO=Z.CFO,ZBOE=Z.COF

：.△BOEWACOF,，BE=CF

【总结】考察矩形的性质的运用.

例14.如图，在矩形4ap中，力庐3,4M,夕是4?上不与尔〃重合的一动点,

PELAC,PFVBD,E、尸为垂足，则小麻的值为.

【难度】★★

【答案】

5

【解析】过点〃作破1然于点〃，连接收

;矩形力灰》中，力比3,仍4,AAC=5,AO=DO

12

DHLAC,DH=—.

5

•SAPO+S^DPO~SaADO»

：.-AOPE^--DOPF=-AODH

222

12

JPE+PF=DH=—

5

【总结】考察矩形的性质运用，注意利用面积求出线段长.

例15.已知：若从矩形四切的顶点。作劭的垂线交劭于£,交N胡〃的平分线于反

求证：△。尸是等腰三角形.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】过力作力£L切，垂足为G

TAGIBD,.,・/加伊/劭氏90°

•:NA除NGAk90°,AZBAG^ZADG

•：/DA84ADG,"DAC=/BAG

•:AF平%/BAD,

ZBAG+ZFAG-ZDAC+ZCAF

♦：4DAC=/BAG,:・/FA人CAF

•:AGLBD,CELBD,：.AG//EC,：.Zf^ZFAG

'：/FAG^/CAF,：.424CAF

，。二0；•••△Q尸是等腰三角形

【总结】考查矩形的性质及等腰三角形判定的综合运用.

例16.已知：矩形1腼中，延长及7至反使陷切，F为DE中点、,连接"、CF.

【难度】★★

【解析】联结防

■:B芹BD,尸为龙中点，/.BFYDE

ZBM+ZA/D=90°

VZDCE=90.F为DE中点,：.CF=DF

：.AFDC=ZFCD,二ZADF=ZBCF

VAD=BC,ZADF=ZBCF,CF=DF

：./\ADF"/\BCF,'ZAFD=ZBFC

'：ZBFA+ZAFD=90°，；.Z6E4+NMC=90°，

即NAFC=9O°，：.AFLCF

【总结】考察全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一性质的综合运用.

例17.如图所示，在矩形力及笫中，除8,/庐6,把矩形折叠使点C与点/重合，求折叠哥'

的长.

【难度】★★

【答案】—

2

【解析】联结4c交所于。，连接常

D

♦..矩形折叠使点C与点/重合，,AE=CE.

设M=CE=x,则OE=8-x

在直角中，x2=（8-X）2+62,解得：x=^

由勾股定理可得：AC=10.

;矩形AHCI）,：.AO=工AC=5

2

在直角△AOE中，AE2=OE2+XO-,解得：。£="

4

EF=2OE=—.

2

【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用.

例18.如图，在矩形4%中，AB=8,BC=\,将矩形沿/C折叠，使点〃落在点ZX处,

CD'交AB于点F,则重叠部分△加匕的面积为.

【难度】★★

【答案】10

【解析】•••将矩形沿熊折叠，使点〃落在点。处，

，ZDCA-ZACD'

'：DC//AB,：.ZDCA=NCAF

：.ZACD'=ZCAF,AAF=CF

.,.设AF=CF=x,贝IJ所=8—x

在直角△CFB中，x2=（8-X）2+42,解得：x=5

•••5AAFC=：1-AF-BC=1X5X4=10

【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用.

模块二：菱形

知识精讲

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2.性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

(1)菱形的四条边都相等；

(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

注意：

(2)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全

等

的两部分；

(2)菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中

心；

(3)菱形的面积有两种计算方法：

一种是平行四边形的面积公式：底X高；

另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和).

实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

3.判定：

菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形

菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

例题解析

例1.(2019•上海浦东新区•八年级期末)在四边形ABCO中，ACYBD,再补充一个

条件使得四边形A5CO为菱形，这个条件可以是()

A.AC=BDB.ZABC=9O°

C.AB=BCD.AC与BO互相平分

【答案】【)

【分析】由在四边形ABCD中，对角线AC,BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，

又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案.

【详解】解：...在四边形ABCD中，对角线AC,BD互相平分，

四边形ABCD是平行四边形，:ACLBI),...四边形ABCD是菱形，

故选：D.

【点睛】此题考查了平行四边形的判定以及菱形的判定.此题比较简单，注意掌握对角线

互相垂直的平行四边形是菱形定理的应用.

例2.(2020•上海市静安区实验中学八年级课时练习)菱形具有而矩形不具有的性质是

A.对角相等B.四边相等C.对角线互相平分D.四角相等

【答案】B

试题分析：因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直，两组对角相等，而矩形的四个角相

等都是直角，对角线相等，所以菱形具有而矩形不具有的性质是四条边相等和对角线互相

垂直，故选B.

考点：1.菱形的性质；2.矩形的性质.

例3.（2020•上海市静安区实验中学八年级课时练习）在下列命题中，正确的是（）

A.一组对边平行的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

【答案】D

【分析】分别利用矩形的判定方法、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定方法分析

得出答案.

【详解】解：A、有•组对边平行且相等的四边形是平行四动形，错误；

B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误：

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；

D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定，正确

把握相关判定定理是解题关键.

例4.（2019•上海静安区•八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AC与相交于

点O,ACJ_BD,BO=。。，那么下列条件中不能判定四边形A8CO是菱形的为（）

A.Z0AB=Z0BAB.Z0BA=Z0BCC.AD〃BCD.AD=BC

【答案】A

【分析】根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四

边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可.

【详解】A.VAC±BD,BO=DO,

・・・AC是BD的垂直平分线，

AAB=AD,CD=BC,

AZABD=ZADB,ZCBD=ZCDB,

,/ZOAB=ZOBA,

AZ0AB=Z0BA=45°,

TOC与OA的关系不确定，

・••无法证明四边形ABCD的形状，故此选项正确;

B.VAC±BD,BO-DO,

・・・AC是BD的垂直平分线，

AAB=AD,CD=BC,

AZABD=ZADA,NCBD二NCDB,

ZOBA=ZOBC,

JZABD=ZADB=ZCBD=ZCDB,

BD=BD,

.,.△ABD^ACBD,

AAB=BC=AD=CD,

・•・四边形ABCD是菱形，故此选项错误；

C.VAD/7BC,

・・・ZDAC=ZACB,

VZAOD=ZBOC,B0=DO,

/.△AOD^ABOC,

?.AB=BC=CD=AD,

・•・四边形ABCD是菱形，故此选项错误；

I).VAD=BC,BODO,

NBOONAOD=90°,

.,.△AOD^ABOC,

AAB=BC=CD=AD,

・・・四边形ABCD是菱形，故此选项错误.

故选：A.

【点睛】此题考查菱形的判定，解题关键在于掌握菱形的三种判定方法.

例5.(2020•上海嘉定区•八年级期末)已知菱形的边长为2。%,一个内角为60。，那

么该菱形的面积为而.

【答案】273

【分析】连接AC,过点A作4ML小于点M根据菱形的面积公式即可求出答案.

【详解】解：过点A作4匕J笫于点M,

•••菱形的边长为2领，

：.AB=B(=2cm,

•••有一个内角是60°,

AZAB(=Q0°,

:.“即U30°,

BM=—AB=1(cm),

2

:•AM7AB2-BM?=6(加,

...此菱形的面积为：2x6=2^(cnh.

故答案为：2百.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质和30°直角三角形性质，解题的关键是熟练运用菱形

的性质，本题属于基础题型.

例6.(2019•上海上外附中)菱形一条对角线长为12cm,周长为4()c?w,则菱形的面积为

平方厘米

【答案】96

【分析】画出草图分析.因为周长是40,所以边长是10,根据对角线互相垂直平分得直角

三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半

计算求解.

【详解】解：因为周长是40,所以边长是10.

如图所示：A3=1O，AC=12.

根据菱形的性质，AC1BD.AO=』AC=6,

2

...根据勾股定理得：BO=8，BD=16.

面积S=」ACx8。=12x16x^=96平方厘米.

22

故答案为：96.

【点睛】本题考查了菱形的性质及其面积计算，主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾

股定理来解决，要掌握菱形的面积有两种求法：(1)利用底乘以相应底上的高；(2)利用菱

形的特殊性，菱形面积=两条对角线的乘积的一半.

例7.(2018•上海杨浦区•八年级月考)一条对角线的平行四

边形是菱形.

【答案】平分一组对角

【分析】先作图，再根据平行线的性质得到N2=/3,根据角平分的性质得到N1=N2,则

Z1=Z3,由等腰三角形的性质得到AI)=CI),则根据菱形的判定可得答案.

【详解】一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.

证明：如图所示，

D

在ABCD中，Z1=Z2,Z3=Z4,

•.•四边形ABCD为平行四边形，

；.AB〃CD.

.■.Z2=Z3.

VZ1=Z2,

.\Z1=Z3.

.".AD=CD.

.•.□ABC!）为菱形.

【点睛】本题考查平行线的性质、角平分的性质和菱形的判定，解题的关键是掌握平行线

的性质、角平分的性质和菱形的判定.

例8.（2019•上海浦东新区•八年级期末）菱形的周长为8,它的一个内角为60°,则菱

形的较长的对角线长为.

【答案】2百

【分析】由菱形的性质可得AB=2,AC±BD,BD=20B,由直角三角形的性质可得AO=1,由勾

股定理可求BO的长，即可得BD的长.

【详解】解：如图所示：

•.•菱形ABCD的周长为周

，AB=2,ACXBD,BD=2OB,

VZABC=60",

.•.ZAB0=-ZABC=30°,

2

.•.AO=1,

■■^=yjAB2-AO2=A/3，

•*-BD=2-^3>

故答案为：26

【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性

质，勾股定理，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观.

例9.（2020•上海杨浦区•八年级期末）已知菱形的边长为13,一条对角线长为10,那

么它的面积等于.

【答案】120

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是5.根据勾股定理，得

要求的对角线的一半是12,则另一条对角线的长是24,进而求出菱形的面积.

【详解】解：在菱形ABC。中，AB=13,AC=1O,

•••对角线互相垂直平分，

■■.ZAOB=90°,AO=5,

在RtAAOB中,BO^yjAB2-A02=12-

;.BD=2BO=24.

则此菱形面积是f10x?4=120,

故答案为：120.

【点睛】本题考查了菱形的性质，注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平

分.熟练运用勾股定理.

例10.（2020•上海松江区•八年级期末）如图，菱形A8CO的对角线AC与BO相交于

点。.已知A3=10加，AC=12cm.那么这个菱形的面积为cm2.

D

//

B(7

【答案】96

【分析】根据菱形的性质可得ACJ_BD,然后利用勾股定理求出0B=8cm,得出BD=16cm,

最后根据菱形的面积公式求解.

【详解】•••四边形ABCD为菱形,

AAC1BD,OA=OC=—AC=6cm,OB=OD,

2

0B=\JAB2-O/^==8(cm)，

...BD=20B=16cm,

1I,

S发般血n=—AOBD=—X12X16=96(cm-).

22

故答案为：96.

【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是掌握菱形的两条对角线

互相垂直的性质.

例11.如图，在菱形心?(力中，A<=4,B庐6,夕是小上一动点(P与。不重合)，PEHBC交AB

于点发杼〃切交助于点E连结用，求图中阴影部分的面积.

【难度】★★

【答案】6

【解析】•:菱形ABCD,BC〃AD,AB//CD

'：PE//BC,PF//CD,：.PE//AF,PF//AE

四边形AEFP是平四边形，；.SMEF=S^APE.

,•%影=S&FEP+S四如形EPCB=48c=2S四边形ABCO=5x12=6,

【总结】考察菱形的性质和面积的求法，注意对方法的总结.

例12.如图，在口4BCD中，。是对