2022八年级寒假预习精编讲义（人教版）

2022八年级寒假预习精编讲义（人教版）

第1讲二次根式定义及乘除.....................................................................2

考点1：二次根式的定义.....................................................................5

考点2：二次根式有意义的条件...............................................................6

考点3：二次根式的性质与化简...............................................................7

考点4：最简二次根式.......................................................................8

考点5：二次根式的乘除法...................................................................9

考点6：分母有理化.........................................................................9

第2讲二次根式的加减........................................................................13

考点1：同类二次根式......................................................................14

考点2：二次根式的加减法..................................................................15

考点3：二次根式的混合运算................................................................16

考点4：二次根式的化简求值................................................................18

考点5：二次根式的应用....................................................................19

第3讲勾股定理..............................................................................23

考点1：勾股定理..........................................................................24

考点2：勾股定理的证明....................................................................26

第4讲勾股定理的逆定理.......................................................................36

考点1：勾股定理的逆定理..................................................................37

考点2：勾股数............................................................................39

考点3：勾股定理的应用....................................................................41

第5讲平行四边形.............................................................................49

考点1：平行线之间的距离..................................................................51

考点2：三角形中位线定理..................................................................52

考点3：平行四边形的性质..................................................................54

考点4：平行四边形的判定..................................................................55

考点5：平行四边形的判定与性质............................................................57

第6讲矩形..................................................................................64

考点1：直角三角形斜边上的中线............................................................65

考点2：矩形的性质........................................................................67

考点3：矩形的判定........................................................................69

考点4：矩形的判定与性质..................................................................71

第7讲菱形...................................................................................78

考点1：菱形的性质........................................................................79

考点2：菱形的判定........................................................................81

考点3：菱形的判定与性质..................................................................83

第8讲正方形.................................................................................91

考点1：正方形的性质......................................................................92

考点2：正方形的判定......................................................................94

考点3：正方形的判定与性质................................................................96

第1讲二次根式定义及乘除

【知识点拨】

1.二次根式的概念

一般地，我们把形如(3>0)的式子叫做二次根式，"「称为.

理解二次根式的概念，要把握以下四点：

(1)必须含有二次根号"一，“、厂”的根指数为2,即“丁”，我们一般省略根指数2,写作“、厂”.

(2)被开方数必须是非负数，如q和J—力_3都不是二次根式.

(3)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.

(4)式子a表示非负数a的算术平方根，因此a>0,二次根式具有双重非负性.

【注意】(1)在具体问题中，如果已知二次根式JZ，就隐含a》0这一条件.

(2)形如bJZ(aNO)的式子也是二次根式，6与〃■是相乘的关系，要注意当6是分数时不能写成带

分数，例如号血可写成与2,但不能写成22

333

2.二次根式有无意义的条件

类型条件字母表示

二次根式有意义被开方数（式）为非负数4a有意义=a0

二次根式无意义被开方数（式）为负数4a无意义=a0

3.二次根式的性质

（1）\[a>0（a>0）；

（2）（&）2=q（a20）；

____________（。）0）

（3）—<（a—0）.

,（。<0）

【拓展】（1）若+-Jb=0，则a=0,b=0；

（2）若后+1b|=0，则a=0,6=0；

（3）若J£+b2=o，则a=0,6=0；

（4）若/+|b|+&'=0，则a=0,b=0,c=0.

4.代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫

.例如3,x,x+y,y/3x（x>0）,~ab,：（7工0）,V都是代数式.

【注意】（1）代数式中不能含有关系符号（"=”或“〈”等）.

（2）将两个代数式用关系符号或等）连接起来的式子叫关系式.方程和不等式都是关

系式.如2户3>3『5就是关系式.

5.二次根式的乘法法则

（1）一般地，二次根式的乘法法则是：

yfa-yfh-（a>0,b>0）.

语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数

在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a,6均为非负数这一条件.

推广：①4a-\[b-4c=y/abc（a>0,b>0,c>0）.

②a&-c«=ac屈（bN。，dNQ），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进

行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数:

③乘法交换律和结合律以及乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的乘法中仍然可应用.

(2)二次根式乘法法则的逆用

\[ab=>[a-4b(a>0,6>0).

语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积.

公式中的a,。可以是数，也可以是代数式，但必须满足a20,实际上，a20,620是限制公式

右边的，对公式的左边，只要数20即可.

二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替

使用.

推广：yjabcd-y/a-y/b->[c-4d(a>0,b>0,c>0,d>0).

运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数(式)是完全平方数(式)，

则可以利用性质疝=〃■•振(aNO,620)及J/=a(a20)将这些因数(式)“开方”出来，从而

将二次根式化简.

利用积的算术平方根的性质化简的步骤：

①将被开方数进行因数分解或因式分解；

②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来.

6.二次根式的除法法则

(1)一般地，二次根式的除法法则是：

奈书。2b---------------0).

语言叙述：二次根式相除，把被开方数,根指数不变.

【注意】①a)0,力。时，式子才成立，若a,6都是负数，虽然：>0，F有意义，但正，6在实

数范围内无意义；若从0,区则号无意义.学-科网

b

②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数.

③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式.

(2)二次根式除法法则的逆用

>0,6>0)

★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

公式中的a,6表示的代数式必频满足a20,6>0,aZO,6>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要

区20且6工0即可.

b

利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，

先将其化为“（a>0,b>0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化

去分母中的根号即可.

7.最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

（1）被开方数不含；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.

【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的

变形叫做分母有理化.

分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式

的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号.分

母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜.

【题型精讲】

二次根式的概念

判断一个式子是不是二次根式时，只看它的初始的外在形态，不看它计算或化简的结果.如血=3，3是邪

的计算结果，、为是二次根式.

考点1：二次根式的定义

【例1】（2021春•晋中月考）如图，在数轴上所表示的x的取值范围中，有意义的二次根式是（）

-30

A.Jx-3B.—x+3

【解答】解：从数轴可知：x开-3,

A.当-3・x<3时，无意义,故本选项不符合题意;

B.当x开-3时，疝与有意义，故本选项符合题意;

器无意义'故本选项不符合题意:

C.当-3・x・3时,

」=无意义,故本选项不符合题意；

D.当x=-3时,

故选：B.

【变式1-11（2021秋•罗湖区期中）下列各式一定为二次根式的是（）

A.—1B.yfxC.Jx'+1D.Jx+1

【变式1-2］（2021春•梁山县期中）已知廊是整数，则满足条件的最小正整数"为

二次根式有意义的条件

求使代数式有意义的字母的取值范围的类型：

（1）二次根式型：被开方数大于或等于0；

（2）分式型：分母不等于0；

（3）复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分.

考点2：二次根式有意义的条件

【例2】（2021春•和平区校级月考）当。<0时，-a+2而-6可变形为（）

A.（A/Q+B.~C.（J-a+J-%）-D.（yj—a—yf—b）

【解答】解：；a<0，必开），

：.b*0,

-a+2y［ab-b=（4-a+J-b）2,

故选：C.

【变式2-1］（2021•成都模拟）二次根式"二中字母x的取值范围是—.

【变式2-2］（2021秋•景县期末）已知y=J2x—3+J3—2x—4,计算工-丁的值.

2

【变式2-3］（2021秋•九龙坡区校级月考）当有意义时,。的取值范围是（)

-Ja-2

A.a干也B.a>2C.〃。2D.aw-2

【变式2-4］（2021•兴化市一模）二次根式巧”有意义，则x的取值范围是

【变式2-5］（2021秋•市中区校级月考）已知x,y为实数，好疗即+斐厂+1,求砂的平方根.

x-2

二次根式非负性的应用

若几个非负数的和等于0,则这几个非负数分别等于0.

二次根式的性质

化简形如的式子时，先转化为⑸的形式，再根据a的符号去绝对值.

二次根式的求值

运用"=|a|进行化简，当a的符号无法判断时，就需要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏・

考点3：二次根式的性质与化简

【例3】（2021春•荔湾区月考）若J（3-x）2=x—3,则x的取值范围是（）

A.x>3B.xFBC.x<3D.x*3

【解答】解：因为J（3-x）2=》-3,

所以x-3汽），

解得：xFB,

故选：B.

【变式3-1］（2021春•静宁县校级期中）若l<x<2,则化简J/-4x+4的结果是—.

【变式3-2］（2021秋•双流区校级期中）当1<°<2时，代数式J（a-2）2+|“-l|的值是.

【变式3-3］（2021春♦长岭县期末）观察下列各式：①=②行［=32；③值1=4』,

（1）请观察规律，并写出第④个等式：一:

（2）请用含〃（〃开1）的式子写出你猜想的规律：

（3）请证明（2）中的结论.

最简二次根式

判断二次根式是不是最简二次根式的方法：

一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母.

二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式.

三判断：得出结论.

考点4：最简二次根式

【例4】（2021秋•通江县月考）化简：_°旧化成最简二次根式为.

【解答】解：由题意a<0,

故答案为："J—a.

【变式4-1］（2021秋•龙岗区校级期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.V14B.V24C.后（a>0,b>0）D.J4a-4（闲）

【变式4-2］（2021春•怀宁县期末）把《化为最简二次根式，结果是一.

【变式4-3］（2012秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：

271132-1227八abcIc3

二次根式的乘法

1.法则中的a,b表示的代数式都必须是非负的.

2.两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方.

二次根式的乘除混合运算

二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式

乘除法中仍然适用.

二次根式乘除混合运算的一般步骤：

（1）将算式中的除法转化为乘法；

（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算：

（3）将系数和被开方数分别相乘；

（4）化成最简二次根式.

考点5:二次根式的乘除法

【例5】（2021秋•中原区校级月考）计算：

（1）（-2）2+2017°（2）；&+（2g）x（-2近）

【解答】解：（1）原式=4-2+1=3

（2）原式=」x2&xZx2&=-±

455

【变式5-1］（2021•惠安县模拟）下列各式计算正确的是（）

A.3+a=3aB.(2Va)2=2a2C.=a6D.a6^a3=a3

【变式5-2］（2021春•丽水期末）（道产化简结果正确的是（）

A.-3B.3C.±3D.9

【变式5-3】（2021•梧州一模）计算：（百）2=

【变式5-4］（2021春•研口区期中）计算:

【变式5-5］（2021秋•浦东新区校级月考）化简：需搬（-|而）+3器3<0）.

考点6:分母有理化

【例6】（2021秋•洛宁县期中）化简-2-的结果是

V7-2

冲=3（"+2）=b+2

【解答】解：

V7-2（近-2）（近+2）7-4

故答案为近+2

【变式6-1］（2021秋•宛城区期中）从“+,X,+”中选择一种运算符号，填入算式“（百+1）口/'

的“口”中，使其运算结果为有理数，则实数x不可能是（）

A.-73+1B.573-1C.V3-2D.1-6

【变式6-2］（2021春•云梦县期末）已知1》=如+2,y=y/5-2,那么x?+号+/的值是

【变式6-3］（2021春•越城区校级月考）下列计算正确的是（）

A.（-V3）2=9B.-J（-6）2=6C.3+」xb=9D.76x3=718

【变式6-4］（2021春•甘南县期中）已知w=1+后，n=\-42,求代数式J"/+〃2-3〃"？的值*

【课后巩固】

一.选择题

1.（2021春•荔湾区月考）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.4aB.J-2C.。a+2D.J。-+1

2.（2021春•历城区校级月考）下列各式一定是二次根式的是（）

A."B.洞8”?C.+JD.（a+b）2

3.（2021秋•二道区期末）将我化简后的结果是（）

A.2B.V2C.20D.472

4.（2021•呼伦贝尔）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（）

-1U-a-

0-1--2

A.3-2aB.-1C.1D.2a-3

5.（2021春•西湖区校级期中）下列运算正确的是（）

A.V9=±3B.（一百只=3C.7（-6）2=-6D.（-布辛=-7

6.（2011秋•亭湖区校级期中）若。为正数，则有（）

A.a>y[aB.a=y[a

C.a＜\[aD.Q与G的关系不确定

7.（2021秋•沙坪坝区期末）若二次根式忘二蔡有意义，且关于x的分式方程*-+2=-^—有正数解，则

l-xx-1

符合条件的整数用的和是（）

A.-7B.-6C.-5D.-4

8.已知。为实数，若在实数范围内有意义，那么口7等于（）

A.u,B.—aC.-1D.0

二.填空题

9.（2021秋•雨花区校级月考）把娶+进行化简，得到的最简结果是一•（结果保留根号）

10.（2021秋•双流区校级月考）实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简：

|。+11—\l（b—I）2+yl（a—b）2

J-L-L

-3-2-10123

11.（2021秋•淇滨区校级月考）若代数式上卫=有意义，则x的取值范围是

12.（2021秋•永春县期中）若丁=>/1-x+Jt-l-2,则a+y）2°（”

13.（2021•宝应县一模）当x____时，虫M有意义.

X+1

14.（2021秋•鲤城区校级月考）已知：yl（a2+b2+2\a2+b2）=2y/2,那么/+/的值是

15.（2021春•安定区期末）计算：3+A/JX七的结果为

16.（2021•浙江自主招生）已知0＜。＜1,化简

17.（2021秋•通川区校级月考）已知a,b在数轴上的位置如图，化简：J（q+1）2_J（2-b）2

ab

-4~^3--2*-1~0_12*3

三.解答题

18.（2021秋•石鼓区校级月考）若实数°、6满足a=^/^4+/^+2,求a+6的平方根.

19.（2021秋•金牛区校级月考）解答下列各题.

（1）已知：y=Jx-2020-J2020-X-2019,求x+y的平方根.

（2）己知一个正数x的两个平方根分别是。+2和。+5,求这个数x.

20.（2021秋•成华区校级月考）实数a、b、c,如图，化简（2_0+/>）2+五_6）2_也_。_4）3.

♦・♦•>

a-1c01b

21.（2021秋•埔桥区期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：|〃-6|-护.

』1」》

30b

22.（2021秋•浦东新区校级月考）化简：£〃^（-|7^）+34（6<0）.

23.(2021•鄂州模拟)已知归*=且x为偶数，求(1+X)J.一,5X,4的值.

VX—6y/x—6VX"-1

24.（2021秋•高新区校级月考）若a,6为实数，且6=^三土』五"=。+3,求H+c的值.

。+1

25.（2021春•浦东新区校级月考）已知有理数4满足|2011-。|+47-2012=々,求a-201『的值.

26.(2021秋•埔桥区期中)阅读下列解题过程:

]1x（^2-1）^--1正_1

6+1一（应+1）x（工i）_（Q）2_y-

__j__ix（6-伪_6—应

=yfi—y/2.

0+也—（出+板）（6-向-（括？_（"2

请回答下列问题:

(1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果.

②^7==

①777^一1

[]]_1_

(2)应用：求「1u的值;

用+母+…+vio+3

（3）拓广.一1--------1——+——1-----------!

・V3-1非一6+币—木器-不

第2讲二次根式的加减

【知识点拨】

1.可以合并的二次根式

将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数，则这样的欠根式可以合并.

【注意】判断被开方数相同的二次根式是以化为最简二次根式为前提的，是过化简来判断化简前的二次

根式是不是被开方数相同的二次根式.

合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指和被开方数不变，合并的依据是乘法

分配律，如mJZ+”=(/«+〃)石，其中a20.

【拓展】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.

同类二次根式与同类项无论是在表现形式上还是运算法则上都有非常类似之处，学习时可对比来应用.

2.二次根式的加减

二次根式加减的法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二

次根式进行.

二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：

(1)将各个二次根式化成最简二次根式；

（2）找出化简后被开方数相同的二次根式：

（3）合并被开方数相同的二次根式一一将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变.

【注意】（1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结

果的一部分.

（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用.

（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式.

3.二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先

算括号里面的（或先去掉括号）.

（2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公

式）仍然适用.

二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式.

【典例精讲】

合并二次根式

判断几个二次根式在加减运算中是否可以合并，一定要先看它们是不是最简二次根式.

考点1：同类二次根式

【例1】（2021秋•崇川区校级月考）如果最简二次根式技用2a+3和必拓是同类二次根式，则

ab=.

【解答】解：最简二次根式即112a+3和而拓是同类二次根式，

二.b+1=2且2。+3=Q+38,

解得。=0,b=1,

ab=0.

故答案为：0.

【变式1T】（2021春•江岸区校级月考）下列二次根式中，能与折合并的二次根式的是（）

A.V12B.Vf8C.V30D.J|

【变式「2】（2021秋•静安区校级期中）下列各组中的两个式子，不是同类二次根式的是（）

A.g与屈B.病与焉C.@与D.A与A

【变式1-31（2021春•昭阳区期中）最简二次根式麻工方与“酒=是同类二次根式，求3a-b的值.

【变式「4】（2021秋•杨浦区期中）二次根式弧、中与亚是同类二次根式的是.

【变式1-4］（2021秋•桥西区校级月考）最简二次根式，4a+3b与绅2a-b+6是同类二次根式,求3a-6

的值.

二次根式的加减运算

二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式.

考点2：二次根式的加减法

【例2】（2021春•黄埔区期末）已知，a,b是正整数.若J

为.

【解答】解：•・••，b是正整数.是整数,

:.a=7,6=10或。=4x7,6=4x10,

即满足条件的有序数对(a,b)为(7,10)或(28,40).

故答案为(7,10)或(28,40).

【变式2-1](2021秋•山西月考)|0-2|=()

A.^2-2B.2-V2C.V2+2D.0

【变式2-2］（2021秋•射洪市期中）下列各运算，正确的是（）

A.2国亚=6亚B.J-9x（--）=/-=-

C.4xj-125=J-5x(-I25)D.yjx2+y2=7?+=x+y

【变式2-3］（2021秋•杨浦区校级期中）化简：|M+Jig-2JF7r.

【变式2-4］（2021秋•长安区期中）点Z为数轴上的任意点，若将点4表示的数乘以-1,再把所得数对应

的点向右平移2个单位长度，得到点力的对应点H.

（1）若点4表示的数是-2,则点H表示的数》=；

（2）若点4表示的数是行+2,则点/表示的数了=—

（3）在（1）,（2）的条件下，求代数式p-（y+；）的值.

【变式2-5]（2021秋•浦东新区校级月考）化简，2x+13+J128x-192-j2x-2+&x-12.

二次根式的混合运算

在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式,

这样可以使计算过程大大简化.

考点3：二次根式的混合运算

[例3]（2021秋•滦州市期末）下列二次根式的运算正确的是（）

A.J（-5）2=-5B.聆+A=¥C.375+75=4710D.5^/3x273=1073

【解答】解：A,原式=5,所以/选项错误；

B、原式=*区5=①，所以8选项正确；

V582

C、原式=4百，所以C选项错误；

D、原式=10x3=30,所以。选项错误.

故选：B.

【变式3-1]（2021秋•顺德区校级期中）计算：（质-3严9、（如+3严0=

【变式3-2]（2021秋•太原期中）下列运算正确的是（）

A.娓+五=提B.|-76|=4bC.&+应=3D.二庭

【变式3-3]（2021秋•杏花岭区校级期中）计算：

（1）闻+#-加；

⑵足辱屈;

V2

(3)([0+&)(我/⑨;

22

(4)(-1)'01+(^-3)°+(1)-'-7(1-V2)2.

【变式3-4](2021秋•青羊区校级月考)规定.区人=后6+「，=则(2区4)*近=

【变式3-5](2021春•西工区校级月考)计算：

(1)>/2+3A/2-5V2；

(2)y/6(—j=—>/6)；

(3)|6-市|+|G-2|+J(-2)2；

(4)(_1)2°"+(_2)2・向_(万)2.

考点4：二次根式的化简求值

【例4】（2021秋•武侯区校级月考）若〃?=2+则代数式加2一4〃?-6的值为.

【解答】W：,.,W7=2+Vio,

-2=J10,

・•・（加-2）2=10,

EPm2-4m+4=10,

nr—4〃z=6,

/.m2—4m—6=6—6=0.

故答案为o.

【变式4-D（2021秋•南宫市月考）设。=（-宕）2,6=正牙，则。、方的大小关系是（）

A.a=bB.a>bC.a<bD.a+Z?=0

【变式4-2］（2021秋•洛宁县月考）若而化简后是正整数，则整数a的最小值是（）

A.0B.3C.4D.12

【变式4-3］（2021秋•成都期中）已知丁=/^+至三+18,代数式4一力=.

【变式4-4］（2021秋•洪洞县期中）求代数式a+Jl-2a+C的值,其中。=1007,如图是小亮和小芳的

（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质:

(3)求代数式a+2J4-6a+9的值,其中a=-2020.

【变式4-5］（2021秋•碑林区校级月考）在解决问题“已知.=以一，求3a2-6a-l的值”时，小明是这

V2-1

样分析与解答的:

£7—1=>/2，

.•.(a-1)2=2,a2-2a+\=2,

3a2-6a=3,3a2-6a-I=2.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题:

（1）化简：-A2=.

考点5：二次根式的应用

【例5】（2021春•西宁期末）如图，在长方形48C。中无重叠放入面积分别为12cM2和16cm2的两张正方形

纸片，则图中空白部分的面积为（）

A.8-473B.16-8石C.86-12D.4-26

【解答】解：由题意可得两正方形的边长分别为：质=2®cm）,加=4（c〃?），

故图中空白部分的面积为：26（4-2万）=（8石-12）的2.

故选：C.

【变式5-1］（2021秋•南岗区期末）一个长方形的长和面积分别是布和4石，则这个长方形的宽为

【变式5-1］（2021春•遵义期末）如图，在正方形中，正方形ZEPF和正方形尸4CG的面积分别为

12和3,则正方形

/8CZ）的边长为（）

D

H

E

A.9B.15C.272D.36

【变式5-2]（2021秋•普陀区期中）不等式2x开岛+2的解集是

【变式5-3]（2021春•淮安区期末）等腰三角形的一边长为2百，周长为46+7,求这个等腰三角形的腰

长.

【课后巩固】

一.选择题

1.（2021春•蔡甸区校级月考）下列计算正确的是（

A.叵忑=瓜B.五+也=下D.73-72=1

2.（2021秋•沙坪坝区校级月考）下列二次根式与24是同类二次根式的是（）

A.3夜B.般C.D.120

3.（2021秋•明溪县期中）下列计算中，正确的是（）

A.G+/=V7B.=C.D.3&-a=2&

3

4.（2021秋•南岗区期末）下列计算正确的是（）

A.胡-色=瓜刀B."+^=j4+9C.A/9XV16=^9X16D.屈-超=6五

5.（2021•黄埔区模拟）下列计算正确的是（）

x2xx—1x—11

A.「一（尸0）B._____：_____

2

yyXXX

C.|V3-2|=2-5/3D.2V2-5/2=1

已知/-124+1=0,当0<°<1时，则"'--二的值为（

6.（2021秋•雨花区校级月考）)

yja

A.V14B.-TioD.±Vio

7.(2021春•德阳期末)已知:Q+b=-5的值为（)

A.5B.-5D.5或-5

二.填空题

8.（2021秋•平房区期末）计算加-4已的结果是—.

9.（2021秋•香坊区期末）化简质-3出的结果为—.

10.（2021秋•洛宁县月考）若最简二次根式J》?-2与J若-2是同类二次根式,则x的值为

11.（2021秋•杨浦区期中）二次根式加、g中与是同类二次根式的是—.

12.（2021春•禹会区校级月考）化简：上-6-也+6=.

13.（2021春•萧山区期末）已知x=&+l,则代数式/-2x+l的值为—.

三.解答题

14.（2021秋•道外区期末）计算：

(1)3&+2应;

(2)6(6

5⑵21秋・伊川县期中）计算：（0+l）（g）+瓦（埃。

16.（2021秋•叶县期中）计算:

(1)+T27-V12；

(2)厉一|-2班|-6x(2-万)°+(-1严2°；

(3)(V48-V27)^73+76x2

(4)(3+何-(2-6)(2+6).

；2；

17.（2021秋•南海区期中）计算:()"+y/i2-(A/3)+^--748-9J

18.（2021秋•郸都区校级月考）（1）计算，2-2-（T-2011）°+逝-为匕.

5x-l・3（x+l）①

（2）解不等式组：■3X+2C，并将其解集表示在数轴上.

------>x®

I2

19.(2021秋•高新区校级期中)计算:

⑴

V23丫3

(2)(―)1—112—^(1—y/iy—(yfi—2了.

20.（2021秋•偃师市期中）求代数式a+，？-2a+l的值,其中a=-2020.

如图是小亮和小芳的解答过程.

（1）一的解法是错误的;

（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质:

（3）求代数式a+2^/?V77?的值，其中a=-2019.

第3讲勾股定理

【知识点拨】

1.勾股定理

勾股定理：直角三角形的两条直角边a、6的.等于斜边c的平方，即：，+Z/=c2.

【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆才+层=,2时，斜边只能是c.若b为

斜边，则关系式是;若a为斜边，则关系式是9+/=才.

（2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边,

求解时必须进行分类讨论，以免漏解

2.勾股定理的证明

在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理.

对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积

之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图"（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、

加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等.

3.勾股定理的应用

勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”

的关系.利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一

些实际问题.其主要应用如下：

（1）已知直角三角形的任意两边求第三边：

（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；

（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；

（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题.

【题型精讲】

勾股定理

已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原

式还是变式.

考点1:勾股定理

【例1】（2021春•吴忠期末）在R