2022年高考艺术生专用数学讲义-第45讲二项式定理（学生版）

第45讲二项式定理

i.二项式定理

（a+b）n=C；a"+C\a'-'b+C>n'2&2+…+C^an-kbk+.••+C：b".

2.二项展开式的特点

（1）这个公式叫做二项式定理.

（2）展开式：等号右边的多项式叫做（a+加"的二项展开式，展开式中一共有”+1项.

（3）二项式系数：各项的系数（左=0,1,2…〃）叫做二项式系数.

（4）各项的次数和都等于二项式的某指数〃.

3.二项展开式的通项公式

nnkk

（a+b）展开式的第k+1项叫做二项展开式的通项，记作Tk+l=C^a-b

4.二项式定理中，项的系数与二项式系数的区别

二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C\C；，…，C；，它只与各项的项

数有关，而与。力的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且

也与a功的值有关.

题型一：二项式定理

1.（2021•全国高二课时练习）二项式-±］的展开式中为常数项的是（）

A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项

2.（2021•全国高二课时练习）C>2"+C/2"T+…+£>2"-*+…+C,：等于（）

A.2"B.2"-1C.3"D.1

3.（2021•全国高二课时练习）若的展开式有16项，则自然数〃的值为（)

A.9B.10C.11D.16

4.（2021•包头市第六中学高二期中（理））若（1+蛆）8=4,+4》+%/+…且4+出+…+%=255,

则实数m的值为（）

A.1或-3B.-1C.-3D.1

5.（2021•全国高二课时练习）设i为虚数单位，则（l+i）6展开式中的第三项为（）

A.-20iB.15iC.20D.-15

6.（2021•陕西金台•高二期末（理））（x-2y）6展开式中的第4项为（）

A.60x4y562B.240x4VC.160x3/D.-160x3/

/+」-］9的展开式中的常数项为（）

7.（2021•全国高三专题练习（理））二项式

2x）

63n21

—D.—

168

8.（2021•重庆市第六十六中学校高二月考）二项式［一千1的展开式中，常数项为（）

A.-4B.4C.-6D.6

9.（2021•全国高二课时练习）已知的展开式中各项的二项式系数的和为512,则这个展开式中

的常数项为（）

A.-34B.-672C.84D.672

10.（2021•广东荔湾•西关外国语学校高三月考）展开式中的常数项为一160,则a=（）

A.-1B.1C.±1D.2

11.（2021•赣榆智贤中学）二项式［u-jj（机＞0）的展开式中常数项为60,则加=（）

A.72B.73C.2D.3

12.（2021•全国高二课时练习）（1+/）0+^：的展开式的常数项为（）

A.6B.10C.15D.16

13.（2021•全国高二课时练习）在（l+2-x）的展开式中，/项的系数为（）

A.-50B.-30C.30D.50

题型二：二项式系数

1.（2021•全国高二课时练习的展开式中含V项的二项式系数为（）

A.-10B.10C.-5D.5

2.（2021•全国高二课时练习）+的展开式中常数项是（）

A.60B.120C.160D.960

3.（2021•全国高二课时练习）在（l+3x）"的展开式中，第三项的二项式系数为6,则第四项的系数为（）

A.4B.27C.36D.108

4.（2021•江苏高三月考）若二项式（；一，的展开式中所有项的系数和为专，则展开式中二项式系数最

大的项为（）

B.%

A.--x3C.-20x3D.I5x4

2

5.（2021•江苏南京♦高二期末）展开式中二项式系

数最大值为（）

A.6B.10C.15D.20

6.（2021•辽宁丹东•高三二模）在（x-1）"的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则〃=（）

A.5B.6C.7D.8

7.（2021•全国）已知（1+2x）2"的展开式中奇次项系数之和等于364,那么展开式中二项式系数最大的项

是（）

A.第3项B.第4项

C.第5项D.第6项

8.（2021•全国高二课时练习）已知（x-1）”的展开式中奇数项的二项式系数之和是64,则它的展开式的中

间项为（）

A.-35x4B.35/C.-35/和35》3D.-35/和35/

9.（2021•吴江汾湖高级中学）已知（1+x）"的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则所有项的二

项式系数和为（）

A.212B.2"C.210D.29

10.（2021•江苏如皋•高三模拟预测）的展开式的二项式系数之和为64,则展开式中的常数项

为（）

A.20B.-120C.60D.-60

11.（2021•河南平顶山-（理））的展开式中各项的二项式系数的和为256,则展开式中x4

的系数为（）

A.504GB.504C.70拒D.70

题型三：项的系数

1.（2021•全国高二课时练习）设（2-%）6=%+＜（1+X）+%（1+均2+…+%（1+无）6，则

/+%+%+%+%+。5+等于（）

A.4B.-71C.64D.199

2.（2021•湖北襄城•襄阳五中高三月考）（x-3y）s的展开式中所有的项的系数之和为（）

A.-32B.-16C.10D.64

3.（2021•全国高二单元测试）（犬-的展开式中，fy2项的系数是（）

A.56B.-56C.28D.-28

4.（2021•全国高二课时练习）二项式卜?的展开式中含一项的系数为（）

A.160B.-160C.80D.-800

5.（2021•汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）（l+x+/）（x-2）5的展开式中.『的系数为（）

A.40B.80C.-40D.-80

2

6.（2021•金华市方格外国语学校高二月考）若（l-2x）Q=%+qx+o2x+…+/02仔曲，则

%+4+---卜4021=（）

A.2B.-1C.2D.-2

7.（2021•福建省宁德市教师进修学院高二期末）已知（1+2村