2022-2023学年小学五年级奥数(全国通用)测评卷02《等差数列》(含详解与答题卡)

【五年级奥数举一反三一全国通用】

测评卷02《等差数列》

试卷满分：100分考试时间：100分钟

姓名：班级：得分：

选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）

1.（2分）（2011•其他模拟）有20个数，第一个数是9,以后每一个数都比前一个数大2,第20个数是（）

A.47B.49C.51D.53

2.（2分）下面一列数5、8、11、14、…、第（）个数为2015.

A.667B.668C.669D.671

3.（2分）（2015•创新杯）从小到大排列99个数，每两个相邻数的差都相等，第7个与第93个的和为262,

则这列数的第50个数为（）

A.50B.51C.120D.131

4.（2分）（2014•迎春杯）一个12项的等差数列，公差是2,且前8项的和等于后4项的和，那么，这个

数列的第二项是（）

A.7B.9C.11D.13

5.（2分）5个连续自然数的和是315,那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（）

A.360B.340C.350D.无法求出

6.（2分）（2011•其他模拟）有10只盒子，44只羽毛球.能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒

子里的羽毛球不相等？（）

A.能B.不能C.不确定

二.填空题（共12小题，满分31分）

7.（2分）（2017•走美杯）一箱苹果60个，第一天大家一起吃了17个，以后我每天吃1个，过了几天发现

只剩下16个，苹果怎么少这么快？有人告诉我，小张每天都去偷偷地拿2个.请你算一算：这几天小张

共拿了个苹果.

8.（2分）（2016•学而思杯）表中每行，每列分别从左至右、从上至下构成等差数列，那么,〃X〃=.

48

915

12n

m25

9.（2分）（2018•陈省身杯）小明去麦当当打暑期工，连续工作了5天后共挣了180元，如果这5天里他每

一天所挣的钱都比前一天多6元.那么第1天小明挣了元.

10.（2分）（2017•其他杯赛）小明希望通过做一些数学题目来巩固知识，他每天都会比前一天多做2道题

目.如果小明第一天做了2道题目，那么前七天他共做了道题目.

11.（2分）（2017•小机灵杯）从1,2,3,4,50中取5个不同的数，使这5个数构成一个等差数列，

那么，可以得到不同的等差数列的个数为.

12.（2017•春蕾杯）九只小猴子依次去摘桃子，每一只都比前一只多摘2个桃子，摘得最多的一只猴子摘

了25个桃子，那么这些猴子一共摘了个桃子.

13.（2016•迎春杯）帅帅背了7天单词，从第2天开始每天都比前一天多背1个单词，且前4天所背单词

个数的和等于后3天所背单词个数的和，那么帅帅这7天一共背了单词个.

14.（2015•走美杯）梯形的上底、高、下底依次构成一个等差数列，其中高是12,那么梯形的面积是.

15.（2018•迎春杯）四位同学一起讨论一个由无数个自然数组成的等差数列：

小叶说：这个等差数列的第一项是个两位数.

小刚说：数列中不大于215的数有20多个.

小王说：数列的公差小于5.

小红说：数列前两项的平均数是102.

这四位同学的话中只有一句是错的，那么这个等差数列的第100项是.

16.（2016•创新杯）已知数列⑶，“2,…，如为一等差数列，平均数为71,把相邻的4个数相加，其和为

新的一列数，这新一列数的总和为28400,贝.

17.（2014•其他模拟）艾丽斯工作5天后，共挣了65元，其中每一天所挣的都比前一天多2元.她第一天

挣了元.

18.一个电影院的第一排有15个座位，以后每排都比前排多2个座位，最后一排有53个座位，这个电影

院共有排座位.

三.计算题（共1小题，满分3分，每小题3分）

19.92+90+88+—+2.

四.解答题（共12小题，满分54分）

20.（4分）（2012•其他模拟）把一堆苹果分给8个朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果

个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个?

21.（4分）小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看5页，最后一天看55页，刚好

看完，这本故事书一共有多少页？

22.（4分）已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19项是多

少？

23.（4分）某电影院有26排座位，后一排比前一排多1个座位，最后一排有45个座位，求这个影院一共

有多少个座位？

24.（4分）有一堆粗细均匀的圆木，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，如果最下面一层有98根，

那么共堆了多少层？

25.（4分）求1,5,9,13,这个等差数列的第30项.

26.（5分）（2012•其他杯赛）把90米长的一条绳子分成三段，要使后一段都比前一段多3米.三段绳子的

长度各是多少？

27.（5分）（2009•两岸四地）张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第

30天做了78个，正好做完.这批零件共有几个?

28.（5分）（2016•学而思杯）若一个三位数abc的三个数字〃、尻c按从小到大排列后，怡好可组成一个

等差数列（公差可以为0）,这我们

将这样的三位数叫做“和谐数”，如375,102,….

（1）100至199之间，有多少个“和谐数”？

（2）总共有多少个“和谐数”？

（3）将所有的“和谐数”排成一列，546排在第儿位？

29.（5分）从一列数1,5,9,13,…，93,97中，任取14个数.证明：其中必有两个数的和等于102.

30.（5分）一个项数是偶数的等差数列，奇数项和偶数项的和分别是240和300.若最后一项超过第一项

105,那么，该等差数列有多少项？

31.（5分）一堆电线杆，共有5层，第一层有8根，下面每层比上层多一根，这堆电线杆一共有多少根？

测评卷02《等差数列》

试卷满分：100分考试时间：100分钟

姓名：班级:得分：

一.选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请将答案填写在各试题的答题区内）

123456

二.填空题（共12小题，满分31分）（请在各试题的答题区内作答）

7.

8.

9.

10._______________________________________

11._______________________________________

12._______________________________________

13._______________________________________

14._______________________________________

15._______________________________________

16._______________________________________

17._______________________________________

18._______________________________________

三.计算题（共1小题，满分3分，每小题3分）（请在各试题的答题区内作答）

19.答:

四.解答题（共12小题，满分54分）（请在各试题的答题区内作答）

20.答:

21.答:

22.答:

23.答:

24.答:

25.答:

26.答:

27.答:

28.答:

29.答:

30.答:

31.答:

［五年级奥数举一反三一全国通用】

测评卷02《等差数列》

试卷满分：100分考试时间：100分钟

姓名：班级：得分：

选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）

1.（2分）（2011•其他模拟）有20个数，第一个数是9,以后每一个数都比前一个数大2,第20个数是（）

A.47B.49C.51D.53

【分析】由于第一个数是9,从第二个数起，每一个数都比前一个数大2,所以第20个数比9大19个2.

【解答】解：9+（20-1）X2

=9+19X2

=9+38

=47.

答:第20个数是47.

故选：A.

2.（2分）下面一列数5、8、11、14、…、第（）个数为2015.

A.667B.668C.669D.671

【分析】此题首项是5,末项是2015,公差是3,求第几个数为2015,即求项数，根据等差数列的通项

公式进行求解即可.

【解答】解：首项是5,末项是2015,公差是3,

（2015-5）4-3+1

=2010+3+1

=671

答：第671个数为2015.

故选：D.

3.（2分）（2015•创新杯）从小到大排列99个数，每两个相邻数的差都相等，第7个与第93个的和为262,

则这列数的第50个数为（）

A.50B.51C.120D.131

【分析】因为一共有99个，所以正中间的一个数是50,这个数就是这个数列之和的平均数.第93个数

是倒数第7个数，所以此题常采用画图的方法解决.

【解答】解：

262+2=131

故选：D.

4.（2分）（2014•迎春杯）一个12项的等差数列，公差是2,且前8项的和等于后4项的和，那么，这个

数列的第二项是（）

A.7B.9C.11D.13

【分析】找出前8项数字和与后4项数字和相等，列出关系式，求出其中一项即可.

【解答】解：根据题意后4项和前8项数字和相等可知，这个数列是递增数列，

（a।+“8）X8+2=（。9+“12）X4+2,

因为。8=。1+14,09—671+16,。12=防+22,

所以代入得（m+ai+14）X8+2=（ai+16+ai+22）义4+2,

解得0=5,

所以42=0+2=7.

故选：A.

5.（2分）5个连续自然数的和是315,那么紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和是（）

A.360B.340C.350D.无法求出

【分析】这些自然数是等差数列，紧接在这5个自然数后面的5个连续自然数的和比315多5X5,然后

进一步解答即可.

【解答】解：315+5X5

=315+25

=340

故选：B.

6.（2分）（2011•其他模拟）有10只盒子，44只羽毛球.能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒

子里的羽毛球不相等？（）

A.能B.不能C.不确定

【分析】这是一个等差数列的应用题，解题关键是由己知数列所有项的个数按最少量算出它们的总和，

然后与题意中给的羽毛球的总数44相比较，如果相等，就说明能够将44只羽毛球放到10个盒子中去，

且使各盒子里的羽毛球数不相等；否则就不能.

【解答】解：由题意，要使10个盒子中羽毛球的数量不相等，

最少的放法是：

0,1,2-9.

计算总和：

0+1+2+…+9

=9X5

=45,

因为45>44,

所以原题不能.

答：不能使各个盒子里的羽毛球数不相等.

故选：B.

填空题（共12小题，满分31分）

7.（2分）（2017•走美杯）一箱革果60个，第一天大家一起吃了17个，以后我每天吃1个，过了几天发现

只剩下16个，苹果怎么少这么快？有人告诉我，小张每天都去偷偷地拿2个.请你算一算：这几天小张

共拿了18个苹果.

【分析】可以先用总数减去大家吃的苹果数和剩下的苹果数，再除以我每天吃的苹果数和小张偷的苹果

数之和，就能求得天数，就能知道小张偷了几天，不难求得小张偷拿了多少苹果.

【解答】解：根据分析，先求得小张偷拿苹果的天数，故有：

（60-17-16）+（2+1）=9（天），

小张共偷了:9X2=18个.

故答案是：18.

8.（2分）（2016•学而思杯）表中每行，每列分别从左至右、从上至下构成等差数列，那么,300.

48

915

12n

m25

【分析】首先，确定第一行公差，填全第一行；

从第二列确定公差，确定"?；

同样从第四列，确定

【解答】解：

第一行公差为（8-4）+2=2,第一行数字为：4、6、8、10；

确定第二列确定公差为12-9=3,确定加=12+3=15；

同样确定〃=20.

机义〃=300

BP：填300

9.（2分）（2018•陈省身杯）小明去麦当当打暑期工，连续工作了5天后共挣了180元，如果这5天里他每

一天所挣的钱都比前一天多6元.那么第1天小明挣了24元.

【分析】根据等差数列的规律，第三天小明挣了180+5=36元，公差是6,所以第一天小明挣了36-6

X2=24元，据此解答即可.

【解答】解：180+5=36（元）

36-6X2=24（元）

故答案为：24.

10.（2分）（2017•其他杯赛）小明希望通过做一些数学题目来巩固知识，他每天都会比前一天多做2道题

目.如果小明第一天做了2道题目，那么前七天他共做了56道题目.

【分析】首项是2,末项是2+（7-1）义2=14,然后利用等差数列求和公式：（首项+末项）X项数+2

求出结果.

【解答】解：2+（7-1）X2=14（道）

（2+14）X7+2=56（道）

故填56.

11.（2分）（2017•小机灵杯）从1,2,3,4,…，50中取5个不同的数，使这5个数构成一个等差数列，

那么，可以得到不同的等差数列的个数为576.

【分析】根据题意，分析当得到的等差数列公差为1、2、3时，可以得到的等差数列的数目，依此类推,

发现其数目的变化规律，进而根据等差数列的前n项公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，当得到的等差数列公差为1时，有1、2、3、4、5,…，46、47、48、49、50,

共46种情况；

当其公差为2时,有1、3、5、7、9,42、44、46、48、50,共42种情况；

当其公差为12时,有1、13、25、37、49,2、14、26、38、50,共2种情况；

综上所述，共有2+6+…+46=屹+46）X12=288种,

2

考虑到等差数列也可以是从大到小，所以共有288X2=576种不同的等差数列,

故答案为576.

12.（2017•春蕾杯）九只小猴子依次去摘桃子，每一只都比前一只多摘2个桃子，摘得最多的一只猴子摘

了25个桃子，那么这些猴子一共摘了153个桃子.

【分析】九只小猴子摘桃子数，构成一个等差数列，公差是2,末项是25,那么首项是25-2X（9-1）

=9,然后根据高斯求和公式解答即可.

【解答】解：25-2X（9-1）=9（个）

（9+25）X9+2=153（个）

故答案为：153.

13.（2016•迎春杯）帅帅背了7天单词，从第2天开始每天都比前一天多背1个单词，且前4天所背单词

个数的和等于后3天所背单词个数的和，那么帅帅这7天一共背了单词84个.

【分析】首先表示出这7天的数量关系，然后根据前4天等于后3天的数量列出等式，求出每天的数量

相加即可.

【解答】解：依题意可知：

设帅帅背单词的数量为：a,a+\,a+2,a+3,a+4,a+5,a+6共7天

a+a+1+a+2+a+3=a+4+a+5+a+6

解：a—9.

共背9+10+11+12+13+14+15=84

故答案为：84

14.（2015•走美杯）梯形的上底、高、下底依次构成一个等差数列，其中高是12,那么梯形的面积是」dL.

【分析】首先根据梯形的上底、高、下底依次构成一个等差数列，可得：上底+下底=高义2,据此求出

梯形的上底和下底的和是多少；然后根据：梯形的面积=（上底+下底）X高+2,求出梯形的面积是多

少即可.

【解答】解：（12X2）X12+2

=24X12+2

=288+2

=144

答：梯形的面积是144.

故答案为：144.

15.（2018•迎春杯）四位同学一起讨论一个由无数个自然数组成的等差数列：

小叶说：这个等差数列的第一项是个两位数.

小刚说：数列中不大于215的数有20多个.

小王说：数列的公差小于5.

小红说：数列前两项的平均数是102.

这四位同学的话中只有一句是错的，那么这个等差数列的第100项是496.

【分析】如果小叶和小红说得对，那么前两项的和是102X2=204,根据小叶说的，可以确定第一个数

最大是99,那第二个数就是105,说明公差至少是105-99=6,与小王说的相矛盾，因此可以判断出小

叶、小红和小王三人之中肯定有一个是错的，那么小刚说的话肯定是对的.根据小刚说的，那说明公差

一定不大于215・20=10,假设小王说的是错的，则说明公差大于或等于6,根据小叶和小红说的话可以

确定公差是一个偶数，因此接下来验证公差是6、8、10的情况.如果公差是6,则第I项是99,第2

项是105,那么第21项就是99+20X6=219,大于215,所以公差不是6；如果公差是8,那么笫1项就

是98,第21项就是98+20X8A215,所以公差也不是8,同样的道理公差也不是10,由此可以判断出小

王说的话是对的.那只有小叶和小红两人有一个说错了.根据公差小于5,说明公差最大是4,那第一个

数最大是215-28X4=103,最小是215-28X4-3=100,说明小叶说错了；同样根据公差是3、2、1,

也能得出第一个数是三位数.根据前两项的和的平均数是102,说明这两个数可能是100和104,也可能

是101和103,如果是100和104,那么第100项就是100+99X4=496；如果前两项是101和103,那么

215之前就不止20多个数，故不对.

【解答】解：根据上面的推理可以知道是小叶说错了.

102X2=100+104=101+103

如果公差是104-100=4,则第100项是100+99X4=496；

如果公差是是3-101=2,则第30项是101+29X2=159V215,与小刚说的话矛盾.

故答案为：496.

16.(2016•创新杯)已知数列a”。2，…，如为一等差数列，平均数为71,把相邻的4个数相加，其和为

新的一列数，这新一列数的总和为28400,则〃=103.

【分析】由题意，0+42"1.|+斯=71”①，。|+2a2+343+444+4a5'1>"4斯-4+4斯-3+3。"-2+-

28400②，②-①可以得到42+2〃3+3〃4+3〃5+…+3为一4+3小一3+2为一2+斯7=2840()-71〃③，依次利用①式进

行变换最后得出a4+a5+…+斯4+斯-3=28400-71(3"-6)⑤，利用等差数列的求和公式，即可得出结论.

【解答】解：由题意，。1+。2+…+斯7+。"=71〃①，

“1+2<72+3“3+4“4+4a5+~+44"7+4。”-3+3斯-2+-2。“-1+。〃=28400②，

②-①口］■得O2+2fl3+3t(4+3fl5+",+3<z)i-4+3fln-?+2<7,|-i+an-।=28400-71〃③，

a2+ay+•,•+an-2+an-1=71(n-2)④，

③-④可得。3+2。4+2“5+…+2。"一4+2""-3+”"-2=28400-71(2〃-2)⑤，

。3+。4+…+斯-3+<7”•2=71(〃-4)④，

⑤-④可得出+的+…+斯-4+%-3=28400-71(3〃-6)⑤，

(〃-3-4+1)X71=28400-71(3〃-6),

解得“=103,

故答案为：103.

17.(2014•其他模拟)艾丽斯工作5天后，共挣了65元，其中每一天所挣的都比前一天多2元.她第一天

挣了9元.

【分析】每天的钱数构成一个公差为“2”的等差数列，首项是要求的数，项数为5.因此本题根据高斯

求和公式“S,产〃(«-1)+2”进行计算即可:

【解答】解：设她第一天挣了x元，

5x+5X(5-1)X2+2=65

5x+20=65

5x=45

x=9

故答案为：9.

18.一个电影院的第一排有15个座位，以后每排都比前排多2个座位，最后一排有53个座位，这个电影

院共有20排座位.

【分析】把座位数可以看作是一个等差数列：首项是15,末项是53,公差是2,求这个电影院共有几排

座位，就相当于等差数列的项数，列式是(5375)+2+1=20,然后解答即可求出一共有的排数.

【解答】解：根据分析可得，

(53-15)4-2+1,

=38+2+1,

=20(排)，

答：这个电影院共有20排座位.

故答案为：20.

三.计算题(共1小题，满分3分，每小题3分)

19.92+90+88+-+2.

【分析】根据等差数列通项公式：项数=(末项-首项)+公差+1,(首数+尾数)X项数+2=和解答

即可.

【解答】解：（2+92）X[（92-2）4-2+IJ4-2

=94X46+2

=2162

四.解答题（共12小题，满分54分）

20.（4分）（2012•其他模拟）把一堆苹果分给8个朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果

个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？

【分析】由题意可知，要使8个人中的每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到革果个数都不同，则分到

苹果最少的应为1个，而其他人至少分别分到2,3…8个苹果.那么这堆苹果应有的个数为：1+2+3+…

+8.计算这个公差为1的等差数列的和即可.

【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8

=（1+8）X8+2

=9X8+2

=72+2

=36（个）.

答：这堆苹果至少应有36个.

21.（4分）小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看5页，最后一天看55页，刚好

看完，这本故事书一共有多少页？

【分析】根据题意，可得小红每天看故事书的页数是一个等差数列，数列的首项是25,末项是55,公差

是5,所以求出等差数列的项数，即可求出这本故事书共多少页.

【解答】解：（55-25）4-5+1

=304-5+1

=7

（25+55）X74-2

=80X7+2

=280（页）

答：这本故事书一共有280页.

22.（4分）已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19项是多

少？

【分析】由题可知，本题是一个公差为137-131=6的等差数列，因此本题根据高斯求和的有关公式解

答即可：末项=首项+（项数-1）X公差，首项=末项-（项数-1）X公差.

【解答】解：公差：137-131=6

第1项：131-（9-1）X6

=131-48

=83

第19项：83+（19-1）X6

=83+18X6

=83+108

=191

答：这个数列的第1项是83,第19项是191.

23.（4分）某电影院有26排座位，后一排比前一排多1个座位，最后一排有45个座位，求这个影院一共

有多少个座位？

【分析】因后一排在比前一排多1个座位，可看作是看作一个等差数列，末项是45,所以首项是45-26+1

=20,本题可根据高斯求和公式解答即可.

【解答】解：45-26+1=20（个）

（20+45）X26+2=845（个）

答：这个影院一共有845个座位.

24.（4分）有一堆粗细均匀的圆木，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，如果最下面一层有98根，

那么共堆了多少层？

【分析】每层的根数构成了一个等差数列，首项是6,公差是1,末项是98,求项数，根据“项数=（末

项-首项）+公差+1”解答即可.

【解答】解：（98-6）4-1+1

=92+1

=93（层）

答:共堆了93层.

25.（4分）求1,5,9,13,…，这个等差数列的第30项.

【分析】首先求出1,5,9,13,…，这个等差数列的公差，然后根据：斯=0+-1）d（句、%、d

分别是等差数列的第1项、第"项、公差），求出这个等差数列的第30项即可.

【解答】解：1+（30-1）X（5-1）

=1+29X4

=1+116

=117

答：这个等差数列的第30项是117.

26.(5分)(2012•其他杯赛)把90米长的一条绳子分成三段，要使后一段都比前一段多3米.三段绳子的

长度各是多少？

【分析】设第一段绳子长x米，那么第二段，第三段绳子的长度分别是：(x+3)米，(x+3+3)米，根据

三段绳子的长度是90米列方程，依据等式的性质即可解答.

【解答】解：设第•段绳子长x米，

A-+(x+3)+(x+3+3)=90,

3x+9=90,

3x+9-9=90-9,

3x=81,

3x+3=81+3,

x=n,

27+3=30(米),

27+3+3,

=30+3,

=33(米)，

答：第一段绳子长27米，第二段绳子长30米，第三段绳子长33米.

27.(5分)(2009•两岸四地)张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第

30天做了78个，正好做完.这批零件共有几个？

【分析】第一天20个，根据“以后每天都比前一天多做2个”，求得第二天是22个，第三天为24个，

第30天为78个，设s=20+22+24+…+76+78①，贝s=78+76+74+…+24+22+20②，①+②得，2s=

(20+22+24+--+76+78)+(78+76+74+…+24+22+20)=(20+78)+(22+76)+…+(76+22)+(78+20)

=98X30,求得问题的答案.

【解答】解：因为第一天20个，第二天是22个，第三天为24个,；则第30天为78个，

设s=20+22+24+…+76+78①，

则s=78+76+74+…+24+22+20②，

①+②得，

2s=(20+22+24+-+76+78)+(78+76+74+—+24+22+20),

=(20+78)+(22+76)+•••+(76+22)+(78+20),

=98X3(),

=2940,

所以s=1470.

答：这批零件共有1470个.

28.(5分)(2016•学而思杯)若一个三位数本的三个数字“、Ac按从小到大排列后，怡好可组成一个

等差数列(公差可以为0),这我们

将这样的三位数叫做“和谐数”,如375,102,….

(1)100至199之间，有多少个“和谐数”？

(2)总共有多少个“和谐数”？

(3)将所有的“和谐数”排成一列，546排在第几位？

【分析】将公差分类，求出相应的“和谐数”，即可得出结论.

【解答】解：(1)公差为0：111；

公差为1：102,120,123,132；

公差为2：135,153；

公差为3：147,174；

公差为4：159,195,

所以100至199之间，有11个“和谐数”；

(2)公差为0：111,222,…，999；

公差为I,(0,1,2),(1,2,3),…，(7,8,9),共8组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，

4+7X6=46个；

公差为2,(0,2,4),(1,3,5),…，(5,7,9),共6组，第1组有四种情况，其它组有6种情况，

4+5X6=34个；

公