2023年高考数学专题35立体几何中的探索问题黄金解题模板

专题35立体几何中的探索问题【高考地位】探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．【方法点评】方法一直接法使用情景：立体几何中的探索问题解题模板：第一步首先假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；第二步然后运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决；第三步得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，那么存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，那么不存在．.例1．【2023河南漯河市高级中学第三次模拟】如图，为圆的直径，点在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面垂直，且.〔1〕求证：平面平面；〔2〕在线段上是否存在了点，使得平面？并说明理由.【变式演练1】如图，三棱柱中，底面为正三角形，底面，且，是的中点.〔1〕求证：平面；〔2〕求证：平面平面；〔3〕在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是？假设存在，求出的长；假设不存在，说明理由.〔2〕∵底面为正三角形,是的中点,∴,∵平面,平面,∴.∵,∴平面,∵平面,∴平面平面.〔3〕假设在侧棱上存在一点,使三棱锥的体积是.【变式演练2】长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如下图.(1)试问：在折叠的过程中，直线AB与CD能否垂直？假设能，求出相应a的值；假设不能，请说明理由；(2)求四面体A－BCD体积的最大值.【解析】

(2)由于△BCD面积为定值，所以当点A到平面BCD的距离最大，即当平面ABD⊥平面BCD时，该四面体的体积最大，此时，过点A在平面ABD内作AH⊥BD，垂足为H，那么有AH⊥平面BCD，AH就是该四面体的高.在△ABD中，AH＝＝，S△BCD＝×3×4＝6，此时VA－BCD＝S△BCD·AH＝，即为该四面体体积的最大值.点睛：翻折问题的解决中要关注翻折过程中的变量与不变量，特别是过程中哪些边和哪些角是不变的。此题中，特别是是不变的垂直关系，对此题的垂直证明非常重要。方法二空间向量法使用情景：立体几何中的探索问题解题模板：第一步首先根据条件建立适当的空间直角坐标系并假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；第二步然后运用空间向量将立体几何问题转化为空间向量问题并进行计算、求解；第三步得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，那么存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，那么不存在．.例2.【2023河南省漯河市高级中学第三次模拟】如图，四边形和四边形均是直角梯形，二面角是直二面角，.〔1〕证明：在平面上，一定存在过点的直线与直线平行；〔2〕求二面角的余弦值.〔2〕因为平面平面,平面平面,又，所以，所以平面，因为平面，所以，因为,所以，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，由得,所以,设平面的法向量为，那么，不妨设，那么，不妨取平面的一个法向量为，所以，由于二面角为锐角，因此二面角的余弦值为.【变式演练3】如图，在多面体中，四边形为正方形，，，，，，为的中点.〔1〕求证：平面；〔2〕在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？假设存在，求出的长；假设不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在点的坐标为,使.因为，且，所以平面.因为平面，所以.因为，是的中点，所以.又，所以平面.考点：空间线面的位置关系及空间向量的有关知识的综合运用．【变式演练4】如图,是边长为3的正方形，，,与平面所成的角为.(1)求二面角的的余弦值;(2)设点是线段上一动点，试确定的位置，使得，并证明你的结论.解：【变式演练4】如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，点、分别为、的中点.〔1〕求证：平面；〔2〕求直线和平面所成角的正弦值；〔3〕能否在上找到一点，使得平面？假设能，请指出点的位置，并加以证明；假设不能，请说明理由

.【高考再现】1.〔2023四川理18〕如下图，在四棱锥中，，，.为边的中点，异面直线与所成的角为.〔1〕在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；〔2〕假设二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.解析〔1〕取棱的中点，点即为所求的一个点.证明如下：因为，，所以，且.所以四边形是平行四边形，从而.又平面，，所以平面.(说明：取棱的中点，那么所找的点可以是直线上任意一点).解法二：由得，，，，所以平面，所以.从而是二面角的平面角.所以.由，，又因为，，所以直线与相交，所以平面.设，那么在中，.作，以为原点，以，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如下图的空间直角2.〔2023北京理17〕如下图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.〔1〕求证：平面；〔2〕求直线与平面所成角的正弦值；〔3〕在棱上是否存在点，使得平面?假设存在，求的值；假设不存在，说明理由.〔3〕设棱上存在点，使得平面，并设，得，即，即.得.由平面，平面的一个法向量是，得，解得.又平面，所以平面.即在棱上存在点使得平面，且.3.〔2023四川文17〕如下图，在四棱锥中，，，，.〔1〕在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；〔2〕证明：平面平面〔2〕由，，因为，所以直线与相交，所以平面从而因为，所以，且所以四边形是平行四边形.所以，所以又，所以平面又平面，所以平面平面〔2023北京文18〕如下图，在四棱锥中，平面，.〔1〕求证：平面；〔2〕求证：平面平面；〔3〕设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面?说明理由.【反应练习】1.【2023陕西西安西北工业大学附中模拟】如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面底面，.(1)求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；(2)求异面直线间的距离；(3)点满足，在直线上是否存在点，使平面？假设存在，请确定点的位置，假设不存在，请说明理由.那么∴设平面的法向量为，那么，即，所以，取由，∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为；(3)，所以点的坐标为假设存在点符合题意，设，那么因平面，为平面的法向量∴又面，故存在点，使平面，且为点.2.【2023吉林百校联盟联考】如下图，四棱锥中，平面平面，，，．〔1〕证明：在线段上存在一点，使得平面；〔2〕假设，在〔1〕的条件下，求三棱锥的体积．点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规那么几何体的体积时，常用割补法转化成体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．3.【2023云南师范大学附中】如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.〔1〕求证：平面平面；〔2〕假设点分别为上的点，且，在线段上是否存在一点，使得平面；假设存在，求出三棱锥的体积；假设不存在，请说明理由.∴平面．∵平面，∴平面平面．〔Ⅱ〕线段上存在一点，使得平面．证明：在线段上取一点，使，连接∵，∴，且，又∵，且，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面．∴．4．【2023云南大理云南师范大学附属中学模拟】如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，，，.〔1〕求证：平面平面；〔2〕是侧棱上一点，记〔〕，是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由.∴平面．∵平面，∴平面平面．设平面的法向量为，那么即取，那么．设平面的法向量为，那么即取，那么．假设平面与平面所成的二面角为，那么，即，化简得，即，解得〔舍去〕或．于是，存在，使平面与平面所成的二面角为．5．如图，在三棱锥中，⊥平面，，，，分别为的中点．(19)(I)求到平面的距离；(II)在线段上是否存在一点，使得平面∥平面，假设存在，试确定的位置，并证明此点满足要求；假设不存在，请说明理由．6.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.〔Ⅰ〕假设BE＝1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且，使CP∥平面ABEF？假设存在，求出λ的值，假设不存在，说明理由；〔Ⅱ〕求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求出此时二面角E－AC－F的余弦值．【解析】∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，FD⊥EF，∴FD⊥平面ABEF，又AF⊂平面ABEF，∴FD⊥AF，在折起过程中，AF⊥EF，又FD∩EF＝F，∴AF⊥平面EFDC.以F为原点，FE，FD，FA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．解法二：AD上存在一点P，使CP∥平面ABEF，此时λ＝.理由如下：当λ＝时，＝，可知＝，过点P作MP∥FD交AF于点M，连接EM，PC，那么有＝＝，又BE＝1，可得FD＝5，故MP＝3，又EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MP∥EC，故四边形MPCE为平行四边形，∴CP∥ME，又CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF，故有CP∥平面ABEF.7.【2023广东东莞外国语学校模拟】如图,矩形中,,分别为边上的点,且,将沿折起至位置(如下图),连结,其中.(Ⅰ)求证:；(Ⅱ)在线段上是否存在点使得?假设存在,求出点的位置；假设不存在,请说明理由.(Ⅲ)求点到的距离.割补法转化成体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．8.【2023北京西城回民中学模拟】在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面平面．〔Ⅰ〕求证：平面．〔Ⅱ〕求平面和平面所成二面角〔小于〕的大小．〔Ⅲ〕在棱上是否存在点使得平面？假设存在，求的值；假设不存在，请说明理由．不妨设，由，∴，，．∴，．设平面的法向量为，∵，∴，令，那么，．∴．取平面的一个法向量，∴．∴面和面的二面角〔锐角〕的大小为．9.如下图，在四棱锥中，平面是的中点，是上的点且为边上的高.〔1〕证明：平面；〔2〕假设，求三棱锥的体积；〔3〕在线段上是否存在这样一点，使得平面?假设存在，说出点的位置.【解析】〔1〕，又平面，平面，又，平面〔2〕是的中点，到平面的距离等于点到平面距离的一半，即=，又因为，所以三棱锥；10.【2023河北衡水武邑中