2022北京首都师大附中高三3月月考数学（教师版）

10/102022北京首都师大附中高三3月月考数学2022．03．10一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若全集，，，则（D）（A）（B）（C）（D）2．若复数的实部与虚部相等，则实数（A）（A）（B）（C）（D）3．若，，，则下列结论正确的是（D）（A）（B）（C）（D）4.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数为（C）（A）（B）（C）（D）5．已知圆与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（A）（A）（B）（C）（D）6.若某多面体的三视图（单位：）如图所示，则此多面体的体积是（B）（A）（B）（C）（D）7.将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（B）（A）（B）（C）（D）8．“”是“双曲线：的虚轴长为2”的（A）（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件9.已知函数其中表示不超过的最大整数，（如,,）.若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是(C)（A）（B）（C）（D）10.如图，在棱长为2的正方体中，是侧面内的一个动点（不包含端点），则下列说法中正确的是（B）（A）三角形的面积无最大值、无最小值（B）存在点，满足（C）存在有限个点，使得三角形是等腰三角形（D）三棱锥的体积有最大值、无最小值二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分。）11.抛物线的准线方程是．12.已知为等差数列，为其前项和．若，，则；．13.若，则________（用数字作答）14.已知菱形的边长为，，当时，____;当取得最小值时，_______.15. 声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成,这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面.（1）若甲声波的数学模型为,乙声波的数学模型为,，甲、乙声波合成后的数学模型为.要使恒成立，则的最小值为_________;（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图像如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的声波合成得到的，的数学模型分别记为和，满足.已知两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个.=1\*GB3①； =2\*GB3②；=3\*GB3③； =4\*GB3④.则两种声波的数学模型分别是_____________.（填写序号）三、解答题（本大题共5小题，每小题15分，满分75分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）16．如图，在四棱锥中，平面，，若，，，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．17.在中，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）和面积的值．条件①:；条件②:.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.某企业2021年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记为这2人中被录用的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）19.已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点,动点(不与定点重合)均在椭圆上,且直线与的斜率之和为1，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证直线经过定点;20.已知函数QUOTE．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程（Ⅱ）若为函数的极小值点，求的取值范围；（=3\*ROMANIII）曲线是否存在两个不同的点关于轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时的值，若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.（D）2．（A）3．（D）4.（C）5．（A）6.（B）7.（B）8．（A）若双曲线：的虚轴长为2，则当且时，即时，，解得，当且时，即时，，解得，所以“双曲线：的虚轴长为2”对应的值为或，故“”是“双曲线：的虚轴长为2”的充分但不必要条件.故选：A.9.(C)10.（B）【解析】选项A，边的长度为定值，三角形面积与点到的距离有关，当点在线段上时，距离最小，在端点处的距离最大；选项B，点在以中点为球心，为半径的球面上，球面与侧面有交，轨迹为圆的一部分；选项C，三角形是等腰三角形，当时，点在的中垂面上，且在侧面上，所以点的轨迹是线段（不含端点），有无穷多；选项D，，高不存在最大值（不包含端点）和最小值.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分。）11.12.1；．13.答案：-8014.答案：15. ；②③三、解答题（本大题共5小题，每小题15分，满分75分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）16．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）如图，过点D作的垂线，垂足为E，由平面，可得，从而得，再结合已知的数据可得，从而有，则可得平面，进而得；（2）由于平面，所以建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可【详解】（1）如图，过点D作的垂线，垂足为E，因为平面，所以，所以，因为，所以，，则，因为，，所以，即，因为与相交，所以平面，所以；（2）如图，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，所以，令，则，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．17.解：因为所以即.又所以所以或得或.若选择条件①：（Ⅰ）因为，所以不是最大角，得，所以（Ⅱ）由正弦定理，可得.所以因为，所以，所以所以所以若选择条件②：（Ⅰ）因为，所以且，所以是最大角，得，所以（Ⅱ）由正弦定理（或直接利用），及，，可得因为所以又，所以，18.解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为，被该企业录用的人数为，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（Ⅱ）X可能的取值为．因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．[8分]所以X的分布列为：X012P．[10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E．[13分]19.解:（Ⅰ）设椭圆的离心率为,可知,又因为,所以.由定点在椭圆上可得,故,.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）当直线与轴垂直时，设，则.由题意得：，即.所以直线的方程为.当直线不与轴垂直时，可设直线为，，将代入得.所以，.由直线与的斜率之和为1可得①，将和代入①，并整理得②，将，代入②并整理得，分解因式可得，因为直线：不经过点，所以，故.所以直线的方程为，经过定点.综上所述，直线经过定点.20.解：(Ⅰ)易得均与无关，所以不论取何值，曲线都存在固定切线为.(Ⅱ)设，则，当时，即函数在上单调递增，且.eq\o\ac(○,1)当时，函数在上单调递增，无极值，不符；eq\o\ac(○,2)当时，由函数得性质可知:存在，当时，，函数单调递减，与为函数的极小值点