2022年贵州省遵义市高考数学第三次统一考试试卷（理科）（附答案详解）

2022年贵州省遵义市高考数学第三次统一考试试卷（理

科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合4={0,1,234,5,6,7},集合B={1,2,4,6},则4nB=（）

A.{2,4}B.[1,2,4}C.[1,2,4,6）D.[2,4,6）

2.若x<0,则x+：的最大值为（）

A.—2B.—2V2C.D.2

3.若复数z满足|l-i|z=2（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.实轴上C.第三象限D.虚轴上

4.命题："V*>0,+1S0”的否定是（）

A.V%<0,Inx—x+1<0B.3x>0,Inx—%+1>0

C.3x>0,Inx—x+1<0D.<0,Inx—x+1>0

5.贵州等七省份宣布从2021年秋季入学高一新生开始进入“3+1+2”的新高考模

式，2024年起高考不分文理.新高考“3+1+2”模式指的是，“3”即语文、数

学、外语3门统一高考科目：“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物

理或历史科目中选择1门；“2”是从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门.则

新高考模式的不同组合有（）

A.12种B.10种C.9种D.8种

6.已知方和方为非零向量，且|2方+3石|=|2五一3南，方与方的夹角为（）

AjB.JC.=D*

7.已知二项式（x-2）"展开式的二项式系数和为64,则展开式中常数项为（）

A.10B.15C.18D.30

8.将函数y=/（x）图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所

得曲线向左平移3个单位长度，得到曲线y=cos（x+9,则/'（X）的解析式为（）

A.y=cos（2x+£）B.y=cos（|x+*）

C.y=cos(1x-^)D.y=cos(2x+g)

A.更B.^V3C.巫D.二

8181243162

10.△ABC内角4,B,C的对边分别为a,b,c,c=2,tanA+tanB+V3=tanAtanBtanC,

则△ABC周长的最大值为（）

A.4B.6C.8D.10

11.满足不等式。一12）。-22）（》一32）...。—1002）三0整数解个数为（）

A.4950B.5000C.5050D.5100

12.已知a=sin2,b=ln2,c-2~3>则a，b,c的大小关系是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

二、填空题(本大题共4小题，共20.()分)

13.已知函数f(x)=Inx+x,则/(x)在x=1处切线斜率为.

14.圆0：x2+y2=2上点P到直线心3x+4y=10距离的最小值为.

15.若aCOS28+sin(8+£)=0,06(0,三)，则cos。=____.

4Z

16.斜率为婀直线/过椭圆C：、+总=l(a>b>0)的焦点尸，交椭圆于4,B两点,

若存=|荏，则该椭圆的离心率为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.记又为等差数列｛5｝的前n项和，Sn=0,a7=2.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)求£盟|以|的值.

第2页，共18页

18.如图,在直三棱柱ABC中，乙4cB=120。,

AC=BC=2,AB=BB',点E,F,M分别为BB',

A'B',CC'的中点.

(1)判断MF与平面ACE的位置关系，并说明理由；

(2)求二面角E-AC-B的正弦值.

19.已知函数/(x)=Znx-ax+1,其中aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若f(x)=2x有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围.

20.已知七为双曲线C：三一4=1左、右焦点，|&尸2|=2夕，且该双曲线一条渐

近线的斜率为当，点M和N是双曲线上关于％轴对称的两个点，A］，4为双曲线左、

右顶点.

(1)求该双曲线的标准方程;

(2)设N4和M&交点为P，则APF/z的面积是否存在最大值？若存在，请求出这

个最大值；若不存在，请说明理由.

21.某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析.经统计，某班

有50名同学，总分都在区间［600,700］内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频

率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图.

(1)请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该

班级的平均分；

(2)经相关部门统计，高考分数2680以上的考生获得高校7“强基计划”入围资格,

并制作高校T录取政策和考生录取预测统计表(如表所示).第一轮笔试有2科，学生

通过考试获得相应等级的事件相互独立且概率相同.

高考分数[680,690]>690

学科测试等级A+ABCA+ABC

第一轮笔试

11112111

学生通过考试获得相应等级概率

3464361212

第二轮面试入围条件至少有1科4+,且2科均不低于B

全M在第一轮笔试中2科均获得A+

录取条件

通过第二轮面试考生通过概率为|考生通过概率为1

第4页，共18页

若该班级考分前10名都已经报考了高校7'的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690

分.求：

①总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率Pi；

②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校7录取的概率P2.

22.在极点为。的极坐标系中，经过点M(2,»的直线［与极轴所成角为a,且与极轴的交

O

点为N.

(1)当a=］时，求曲极坐标方程；

(2)当a€生常时，求AMO/V面积的取值范围.

已知/'(%)=|ax+1|—|x—2|,aeR.

(1)当a=1时，求f(x)最大值;

(2)当0<aWl时，证明：/(x)21的解集非空.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：集合4={0,123,4,5,6,7},集合B={1,2,4,6},

则AnB={1,2,4,6）.

故选：C.

利用交集定义直接求解.

本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：因为x<0,则一x>0,

所以％+5=一【（一久）+（一》］S-2］（一X）（一》=-2，

当且仅当一》=一工，即x=-l时取等号，此时取得最大值为-2,

X

故选：A.

因为％<0,则—x>0,所以》+；=-［（一©+（->］，然后利用基本不等式即可求解.

本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：；|1—i|=J12+（—1）2=V2,

二V2z=2,解得z=V2>

・••复数z在复平面内所对应的点（式,0）在实轴上.

故选：B.

根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题.

4.【答案】B

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【解析】解：根据题意，命题：“Vx>0,，nx-x+1W0”是全称命题，

其否定为：3x>0,Inx—x+1>0,

故选：B.

根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析即可得答案.

本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：根据题意，分2步进行分析：

先在物理、历史两科中选择1科，有2种选法，

再从政治、地理、化学、生物四科中选择2科，有废=6种选法，

则有2X6=12种选法，

故选：A.

根据题意，分2步进行分析：先分析在物理、历史两科中选择1科的选法数目，再分析从

政治、地理、化学、生物四科中选择2科的选法，由分步计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：•••|2苍+3)|=|2'—3方|，

.■■4a2+12a-b+9b2=4a2-12a-b+9b2>

Q•b=0，・•・aJ.b，

•••方与腑夹角为a

故选：C.

运用向量的平方即为模的平方，求出a,b的数量积，再由向量的夹角公式，计算即可得

到.

本题考查平面向量的数量积运算，考查向量夹角公式及计算，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解:由已知可得2n=64,则n=6,

所以展开式的通项公式为7；+1=重(—e)「=C^(-l)rX6-T,

令6-日=0,解得r=4,所以展开式的常数项为C式-1)4=15,

故选：B.

根据二项式系数和公式即可求出n的值，再求出展开式的通项公式，令x的指数为0,由

此即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

8.【答案】A

【解析1解：由题意，把曲线y=cos。+勺的图像右移g个单位，可得y=cos(x+»的

图像；

再把图像上的所有点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变,y=cos(2x+》=f0)的

图像，

故选：A.

由题意，利用函数y=4s讥(3x+s)的图象变换规律，得出结论.

本题主要考查函数y=Asin(a)x+租)的图象变换规律，属于基础题.

9.【答案】C

【解析】解：正三角形的边长为a,则其中线的|为axs讥60。*2=3。，

即题目中相邻的两个正三角形边长之比为圣故它们的面积之比为/故S1，52,S3,…，

Sn构成公比为］的等比数列，

Si=ix(―x2)2xsin60°=—,故S5=3x(i)4=—.

12k373b3243

故选：c.

由题意可知，这些等边三角形的面积构成公比为(f)2的等比数列，算出首项S1，则Ss可

求.

本题考查三角形的性质以及面积公式，同时考查了等比数列的通项，属于中档题.

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10.【答案】B

【解析】解：因为tmC=-tag+B)=

所以tazM4-tanB+tanC=tanAtanBtanC,

又因为tcmA+tanB+V3=tanAtanBtanC<

所以tcmC=遍,

因为CG(0,7T),

所以C=?

又c=2,

所以由余弦定理可得4=a2+b2-ab>2ab-ab=ab,即ab<4,当且仅当a=b=2

时等号成立，

所以(a+b)2=4+3abW4+12=16,即a+bW4,当且仅当a=b=2时等号成立，

所以△4BC周长的最大值为a+b+c=6.

故选：B.

由已知利用三角形内角和定理，两角和的正切公式可求tanC=V3,结合范围CG(0,兀)，

可得C=g,进而根据余弦定理，基本不等式即可求解.

本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正切公式，余弦定理，基本不等式在解三

角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

11.【答案】D

【解析】解：利用穿针引线法解不等式，如图，

城，

满足不等式(x-l2)(x-22)(x-32)…(X-1002)<。整数解，

在口2,22］有22一"+1个，在声,42］有42-32+1个，…，在［992,1002］有1002-992+

1个，

由此归纳，可知在区间［(2几-I)2,(2n)2］内有(2n)2-(2兀-1)2+1=4n个，

•••满足不等式(x-l2)(x-22)(x-32)…(％-1002)<0整数解的个数为4+8+…+4x

50=(4+200)x5。=5100.

2

故选：D.

先利用穿针引线法解不等式，归纳出在区间］(2n-l)2,(2n)2］内整数解个数有(2n)2—

(2n-1)2+1=4n个，再利用等差数列求和即可.

本题考查不等式的解法，考查穿针引线法解不等式、归纳法等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

12.【答案】D

【解析】解：a=sin2>sin包=3>三，=e3>24,

324',

3，二31cj,3、1

e4>2»*,•》&4=->伍2,；•bV二,Aa>D,

44

(2三)3=［=%,弓)3=刍..2心>2,.•”>%,

k72644y644

(―)6=—,(2-1)6>24,a>c.

k2764v74642

综上，b<c<a.

故选：D.

判断s讥2与sin9的大小，比较a与:、b与入c与:的大小可判断a与b的大小关系及b与c的

3444

大小关系，判断a与立，c与更的大小关系可以判断a与c大小关系，从而得到a,b,c的

22

大小关系.

本题考查三个数的大小的判断，考查正弦函数、指数函数、募函数的单调性等基础知识，

考查运算求解能力，是基础题.

13.【答案】2

【解析】解：由/'(x)=，nx+x,得/''(%)=1+1，

二/'(x)=2.

即/Xx)在x=1处切线斜率为2.

故答案为：2.

求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值得答案.

本题考查导数的几何意义及应用，是基础题.

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14.［答案］2—V2

【解析】解：由圆。：x2+y2=2,可得圆心0(0,0),半径为丁=或，

则圆心0到直线I：3x+4y=10的距离为d=曙罟=2,

V34+4"

圆。：/+y2=2上点P到直线/：3%+4y=10距离的最小值为d-r=2-虎・

故答案为：2—企.

求出圆心到直线2的距离，可求圆上P到直线的距离的最小值.

本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题.

15.【答案】”

【解析】解：因为&cos28+sin(。+9=0,6G(0,^),

所以加(cos。+sind^cosd-sin9)+号(cos。+sind')=0,

又。6(0,%

所以cos。+sind>0

所以(cos6—sin。)+-=0,可得sin。—cos0=

所以sin?。+cos20=(cos0+|)2+cos20=1,可得8cos2。+4cos6—3=0,

则解得cos。=亨，或二子(舍去).

故答案为：立二.

4

利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简已知等式可得S讥。-cos。=3进而根据同角

三角函数基本关系式即可求解.

本题考查了二倍角公式，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简

求值中的应用，属于中档题.

16.【答案】正

3

【解析】解:设4(%01)，s(x2,y2)>

^AF得：A?=2FB.

•••%i=—2%2»即卷=-2

不妨令F(O,c),则直线&y=+c,

y=1+c

由,得：（/+4Q2）/+4b2c%—4/740,

AZ

4b2c4b4

Xi4-%2=­------7，%1%2=

：•1'b2+4a21N一b=2-+4-a2

16b4c2

.」l+%2)2_XI,X2.9__M+4a2)2__4c2__1

••X42一其云4^~-2f

b2+4a2

222222

即8c2=b4-4Q2=a—c+4a=5a—c,

:.9c2=5a2,

•・ey=4一

由椭圆对称性可知：当F(0,—c)时，e=孚；

•••椭圆的离心率为它.

3

故答案为：立.

3

设A(%i，yi),B(x2,y2)r由於=|48可知%1=-2工2；令F(0,c),将，方程与椭圆方程联

立可得韦达定理的形式，利用任止叱=辽+也+2=-;可得关于a,c的齐次方程，由

x2X12

此可求得离心率.

本题考查椭圆离心率的求解问题，解题关键是能够根据向量共线得到与=-2上的关系，

从而结合韦达定理，利用&n=合+殛+2构造关于a,c的齐次方程来进行求解，也

X1X2x2

考查了学生的计算能力，属于中档题.

17.【答案】解：（1）设等差数列｛a.｝的首项和公差分别为%,d,由题意可知：

心】=11）：55厂0,产=2

（a7=%+6d=2Si=-10

所以0n=-104-2（n—1）=2n—12；

（2）由（1）知：当64九，nEN时，QNN0,当1工九<5,?iEN时，an<0,

所以笈空\ak\=~al+（-。2）+（-。3）+（一。4）+（-。5）+%+。7+。8T--------卜a100

=Q1+。2+…+。100+2[—%+（—做）+（一。3）+（一。4）+（—。5）]

=Sioo-2s5=100x（-10）+x2-2x[5x（-10）+芋x2]

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-1000+9900+60=8960.

【解析】(1)根据等差数列的基本量的，d,列出方程即可求解的,d,进而可得通项公

式；

(2)根据等差数列的求和公式即可求解.

本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于中档题.

18.【答案】解：(1)MF与平面4CE相交.理由如下:

假设MF〃平面4CE,连接B'M,

•••M,E分别是CM=B'E,且CM〃8'E,.•.四边形B'ECM是平行四边形，

平面4CE,B'M平面4CE,二B'M〃平面4CE,

•••FM//平面ACE,FMnB'M=M,.•・平面n平面ACE=AE,B'F//AE,即

A'B'//AE,

■•A'B'//AB,-.AB//AE,显然不成立，

•••假设错误，MF与平面ACE相交.

(2)取4B中点。，连接CO,FO,

"AC=BC,•••COLAB,■：FO//AA',4A'_L平面ABC,FO1平面4BC,

以。为坐标原点，OC、。4、OF所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

V乙4cB=120°,AB=BC=2,AB=<4+4-8-8cosl20°=2近,

则C(l,0,0),4(0,VXO),E(0,-V3,V3).

■•■AC=(l,-\/3,0)，AE=(0,-2V3,V3).

设平面ACE的法向量元=(x,y,z),

则偿二T；含一4，令y=1，解得x=遮，z=2,.•.元=(遮,1,2),

平面ABC的法向量记=(0,0,1),

、mn2\[2

-cos<m,nF一，

'>=|m—|—|n—|=2>—/2=2

•••二面角E-AC-B是锐二面角，二二面角E-AC-B的大小为a

•••二面角E-AC-B的正弦值为三.

2

【解析】(1)假设“尸〃平面4CE,由四边形B'ECM为平行四边形和线面平行的判定可得

B'M〃平面4CE,进而得到平面B'FM〃平面4CE,利用面面平行的性质推导出假设不成

立，由此能判断MF与平面4CE的位置关系；

(2)取4B中点。，根据垂直关系，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能

求出二面角E-AC-B的正弦值.

本题考查线面位置关系的判断与证明，涉及到线面平行的判定与性质、平行公式、向量

法求二面角的正弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

19.【答案】解：(1)/(x)=Inx-ax+l(x>0),

•••f'(x)=--a=上空，

7XX

当aW0时，f'(x)>0,/(x)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，令((x)>0,解得0<x<；,令尸。)<0,解得x>\

f(x)在(0,今单调递增，在(，+8)单调递减；

综上,当aWO时,f(x)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，〃》)在(0,；)单调递增，在弓,+8)单调递减；

(2)/(%)=2%有且仅有两个不相等实根，即方程mx-ax+1=2%有两个正根，

即a=手-2有两个正根，即直线y=a与曲线y=”-2在(0,+8)上有两个交点.

令0(普=手一2,则g'(x)=要，d(1)=0,

x6(0,1)»g'(%)>0,g(%)单调递增;xe(l,+oo),g'(x)v0,g(x)单调递减.

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9(.x)max=9(1)=-1，

又当XT0+时，5(x)T-00；当Xt+8时，gQ)->-2;

・・・耍使得f(%)=2%有且仅有两个不相等实根，

则一2VQV—1,即实数Q的取值范围为(一2,-1).

【解析】(1)对函数求导，得［㈤=；一a=字，对a分a<0与a>0两类讨论，

可得函数f(x)的单调性；

(2)依题意，/(x)=2x有且仅有两个不相等实根Qa=等-2有两个正根，即直线y=

a与曲线y=色生-2在(0,+8)上有两个交点，令9(%)=々工一2,求导分析，可求得

9。)的取值情况，从而可得实数a的取值范围.

本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和转化与化归思想的运用,

考查运算求解能力，属中档题.

20.【答案】解：(1)依题意2c=2y/7,c=V7»

p_V3

\a~2,解得Q=2,b=遮，

婷=a2+h2=7

所以双曲线的标准方程为正一日=1:

43

(2)△P&F2的面积不存在最大值，理由如下：

设MQo，yo),则NOo，-%),

因为“在双曲线上，所以逋一谡=1,

43

久(-2,0),4(2,0)，

所以N公所在直线的斜率为心公=一含。黄-2),

直线N4的方程为'=一；^。+2),①

同理可求得直线的方程为丫=居。-2),②

①X②得丫2=一居。+2)0-2),③

将学一券=1代入③得：2=_军(尤2_4),

43J、J

X2_4

化简得正+乃=1,

43

令①=②,化简得％o久=4,

经检验，当》=±2时，上式也满足.

故点P的轨迹为椭圆去掉上下两个顶点，

因为因尸2|=2夕，当点P到％轴的距离最大时，三角形PF/2的面积最大，

因为xHO,故三角形P&F2的面积最大值不存在.

【解析】(1)根据已知条件求得c,a,b,由此求得双曲线的标准方程.

(2)先求得P点的轨迹，然后对△P&F2的面积是否存在最大值进行判断.

本题考查了直线与圆锥曲线的综合，属于中档题.

0.005)x20=653.6；

(2)总分大于等于680分的同学有50x0.005x20=5人，

由己知，其中有3人小于等于690分，2人大于690分，

①Pi=1-P(A+A++A+A+4+B)=1-(|)2-C^x|x1-C^x|x^=l-i-|-

1_2

9—9；

②设高于690分的同学被高校7提前录取为事件M,不超过690分的同学被高校T提前录

取为事件N,

则P(M)=PQ4+4+)+|PQ4+4+A+B)=a+1xx|x[+©x|XJ=|,

P(N)=P(A+4+)+(P(4+P+A+B)=(J2+1x©x[xJ+©xgx》*+1©+

g1)、-_g2,

••・该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率：

P2=(|)2X($3+铲X或XgX(|)2+6x：X|X废X|X弓)2=黑+黄+紫=

第16页，共18页

2632

6561

【解析】(1)根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，由此能求出平均分；

(2)总分大于等于680分的同学有5人，其中有3人小于等于690