时域线性卷积

本文格式为Word版，下载可任意编辑——时域线性卷积第三章线性系统的时域分析法,2.1线性系统时间响应性能指标2.2一阶系统时域分析2.3二阶系统时域分析2.4高阶系统的时域分析2.5线性系统的稳定性分析2.6线性系统的稳态误差计算,2.1线性系统时间响应性能指标,典型输入信号,动态过程和稳态过程,动态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际操纵系统具有惯性、摩擦、阻尼等理由，动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。

稳态过程，指系统在典型输入信号作用下，当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。,动态性能和稳态性能,动态性能通常在阶跃函数作用下测定，其指标一般包括：,1.延迟时间，响应曲线第一次达成稳态值的一半所需的时间。

2.上升时间，响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。

3.峰值时间，响应曲线达成第一个峰值所需要的时间。

4.调理时间，响应曲线达成并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。误差用稳态值的百分数（通常取5%或2%）。

5.超调量，指响应的最大偏离量与终值之差的百分比。,稳态性能通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下测定。假设时间趋于无穷时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，那么系统存在稳态误差。稳态误差是系统操纵精度或抗扰动才能的一种度量。,3.2一阶系统的时域分析,可以用一阶微分方程描述的操纵系统称为一阶系统,图(a)所示的RC电路，其微分方程为，其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数开初使条件为零时，其传递函数为,一阶系统的单位阶跃响应,单位阶跃函数的拉氏变换为系统的传递函数为那么系统的输出为对上式取拉氏反变换，得,,,,1.系统阶跃输入时的稳态误差为零；

2.动态性能指标：,,一阶系统的单位脉冲响应,,,,单位脉冲函数的拉氏变换为系统的传递函数为那么系统的输出为对上式取拉氏反变换，得,,,,一阶系统的单位斜坡响应,,,,,,,单位斜坡函数的拉氏变换为系统的传递函数为那么系统的输出为对上式取拉氏反变换，得,,一阶系统的单位加速度响应,,,,,,单位加速度函数的拉氏变换为系统的传递函数为那么系统的输出为对上式取拉氏反变换，得,表3-1一阶系统对典型输入信号的响应,,,,,,,,,,,微分,等价关系：

系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；

系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；

积分常数由零初始条件确定。,,,,,,积分,,,3.3二阶系统的时域分析,,凡以二阶系统微分方程作为运动方程的操纵系统，称之为二阶系统,(1)该系统的任务：操纵机械负载的位置,使其与参考位置相协调。

(2)工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。,,不考虑负载力矩的处境下，操纵系统开环传递函数增益阻尼系数开环增益机电时间常数相应的闭环传递函数为了使结果具有普遍意义，将上式表示为标准形式,－自然频率（或无阻尼振荡频率）,－阻尼比（相对阻尼系数）,二阶系统的标准形式,传递函数自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的特征方程,,二阶系统的单位阶跃响应,,,(1)欠阻尼令衰减系数，阻尼振荡频率当，,,,,,瞬态分量,对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为,稳态分量,,,稳态分量为1，说明系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态误差瞬态分量为阻尼正弦振荡项包络线抉择收敛速度,,,(2)无阻尼单位阶跃响应这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为（由系统本身的布局参数确定），称为无阻尼振荡频率,(3)临界阻尼,,稳态值为1的无超调单调上升过程,(4)过阻尼,,,,,,,,二阶系统单位阶跃响应曲线,欠阻尼处境,二阶系统单位阶跃响应的性能指标,,(1),令,,在值范围内，近似有,,亦可用,(2),,,，求得,,,,(3),,对时域表达式求导，并令其为零，求得,令,整理得,(4),超调量在峰值时间发生，故,,,,,二阶系统超调量与阻尼比的关系,(5),,采用近似算法当当,,,,过阻尼处境,,,,,单位负反应系统，开环传递函数输入信号计算增益分别为10，200，1500时，系统的误差作业P.734-24-3,二阶系统的动态校正,两种常用方法：

1.比例－微分操纵2.测速反应操纵,,,,闭环传递函数为,比例－微分操纵,开环传递函数为,结论：

可通过适选中择微分时间常数，不变更自然频率，增大系统的阻尼比；

相当于给系统增加了一个闭环零点。,当输入为单位阶跃函数时,,,,,,,测速反应操纵,,,系统的开环传递函数,,,开环增益,,闭环传递函数,令,,结论：

测速反应会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差；

测速反应不影响系统的自然频率；

可增大系统的阻尼比；

测速反应不形成闭环零点；

可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。,比例—微分操纵与测速反应操纵的对比,附加阻尼的来源比例—微分操纵的阻尼作用产生于系统输入端误差信号的速度；

测速反应操纵的阻尼作用产生于来源于系统输出端的响应速度；

使用环境比例—微分操纵对噪声有明显的放大作用；

测速反应操纵对系统输入端噪声有滤波作用；

对开环增益和自然频率的影响比例—微分操纵对开环增益和自然频率均无影响；

测速反应操纵会降低开环增益；

动态性能比例—微分操纵相当于在系统中参与实零点，加快上升时间；

测速反应操纵在一致条件下超调量低于比例—微分操纵。,例3-2图(a)所示的系统，具有图(b)所示的响应，求K和T.,,,,解：,(1),(2),例3-3操纵系统如下图，其中输入，证明当时，稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。,,,解：,闭环传递函数,,,因此只要令,就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。,,,,,,解：

(1),,,,,,例3-4设一随动系统如下图，要求系统的超调量为0.2，峰值时间，求:(1)求增益和速度反应系数(2)根据所求的和值，计算该系统的,,,,系统的闭环传递函数,,,,(2),,,,3.4高阶系统的时域响应,设高阶系统闭环传递函数的一般形式为,将上式的分子与分母举行因式分解，可得：,,,,,,,,将式（3-47）用片面分式开展，得,假设,响应函数由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）组成.输入信号（操纵信号）所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量。

传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。

闭环极点远离虚轴，那么相应的瞬态分量衰减得快，系统的调整时间也就较短。

闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号。

假设全体闭环的极点均具有负实部，那么系统是稳定的。

过渡状态终止后，系统的输出量（被操纵量）仅与输入量（操纵量）有关。,主导极点假设系统中有一个极点(或一对复数)极点距虚轴最近，且邻近没有闭环零点；

而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，那么此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生。

应用主导极点概念，可以导出高阶系统相应的近似表达式。,3.5线形系统的稳定性,设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，那么称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。

线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（布局、参数），与系统的输入信号无关。,系统稳定的根本概念,系统稳定的充要条件,系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的,系统仍能回到原有的平衡状态,,假设系统闭环传递函数,,用片面分式开展,系统的脉冲响应函数为,闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面,,系统稳定,充要条件,斟酌：一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的参与而使其稳定性受到破坏？,,分析：单位阶跃函数,稳态分量,瞬态分量,,参考输入,结论：一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将持续保持稳定,劳斯稳定判据,令系统的闭环特征方程为：,将各项系数，按下面的格式排成劳斯表,,,,,,,,,,,这样可求得n+1行系数,,劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，判别特征方程式根在S平面上的概括分布，过程如下：

(1)假设劳斯表中第一列的系数均为正值，那么其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。

(2)假设劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。,例3-5已知一调速系统的特征方程式为试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：列劳斯表,由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。,例3-6已知某调速系统的特征方程式为求该系统稳定的K值范围。,解：列劳斯表,由劳斯判据可知，若系统稳定，那么劳斯表中第一列的系数务必全为正值，可得：,劳斯判据特殊处境,劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项解决的手段：

a.以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列；

b.用因子(s+a)乘以原特征方程，在对新的特征方程举行判断，其中a是任意正数。

c.假设零上面的系数与下面的系数符号一致，那么表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统属不稳定。

2.若劳斯表展现全零的行，这说明存在一些十足值一致但符号相异的特征根。

解决的手段：

可用全零行上一行的系数构造一个辅佐方程，并将辅佐方程对复变量s求导，用导数方程的系数代替全零行。,例3-7已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。,解：列劳斯表,由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号一致，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。,例如3-8一个操纵系统的特征方程为,解：列劳斯表,由上表可知，第一列的系数均为正值，说明该方程在S右半平面上没有特征根。

令F(s)=0，求得两对大小相等、符号相反的根，鲜明这个系统处于临界稳定状态。,劳斯判据的应用,劳斯稳定判据只回复特征方程式的根在S平面上的分布处境，而不能确定根的概括数据。也即也不能保证系统具备合意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能说明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。

梦想S左半平面上的根距离虚轴有确定的距离。设该距离为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线右侧。由此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。,例3-8用劳斯判据检验以下特征方程是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。,解：列劳斯表,第一列全为正，证明全体的根均位于左半平面，系统稳定。,令,代入原特征方程,化简后得,,列劳斯表的第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线的右方。,例3-9已知一单位反应操纵系统如下图，试