2021-2022学年福建省福州市八县（市）高二（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年福建省福州市八县（市）高二（下）期末

数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.如图，已知全集U=R,集合4=口,2,3,4,5},B=

{x|（x+l）Q-2）<0},则图中阴影部分表示的集

合的子集个数为（）

A.3

B.4

C.7

D.8

2.6名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的

选法种数是（）

A.20B.36C.63D.120

3.下列函数中，是偶函数且在区间（0,+8）上为增函数的是（）

X2

A.y=3B.y=log3|x|C.y=：D.y=—x+1

02

4.已知a=b=log081.2,c=O.8,则()

A.a>c>bB.c>b>aC.a>b>cD.c>a>b

5.设a,bER,则使a>6成立的一个必要不充分条件为（）

A.Ina>InbB.2a>2bC.a>b—1D.a>b+1

6.举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、

丙、丁、戊5位大学生志愿者前往4、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去

一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同

一场馆，则所有不同的安排方法种数为（）

A.216B.180C.108D.72

7.已知函数/'（x）=1%；：g；，若函数9。）=f（x）+%—7n恰有两个不同的零点，

则m的取值范围是（）

A.[0,1]B.（-1,1）C.[0,1）D.（-co,1]

8.在乒乓球的一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先得2分的一方为胜

方.甲、乙两人进行乒乓球比赛，在每一个回合的比赛中，甲得1分的概率为|,现

在决胜局比赛中，甲、乙的比分暂时为9：9,则最终甲以13：11赢得比赛的概率

为()

A'里243R'2413C「・丝729n-27219

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.下列说法正确的是()

A.在回归直线方程y=_0,85x+2.3中，y与％具有负线性相关关系

B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大

C.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=|

D.随机变量X服从正态分布N(4,l),若P(X>5)=0.2,则P(3<X<5)=0.6

10.已知la>0,b>0,且a+b=l,贝l」()

A.ab<-B.a2+b2C.2a+2b>2V2D.—+^>5

42-ab

11.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先

从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以4和公表示由甲箱取出的球是红球，

白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以5表示由乙箱取出的球是红球的

事件，则()

A.事件B与事件&相互独立B.P(4|8)=：

C.P(42B)=盘D.P(B)=/

12.定义在R上的偶函数/(x)满足/(I+2%)=/(3-2%),当xG[0,2]时，f(x)=2-x,

设函数g(x)=e-lx-2l(—2<x<6),则()

A.函数/'(x)图像关于直线x=2对称

B.函数的周期为6

C./(2023)+f(2022)=-1

D.f(x)和g(x)的图像所有交点横坐标之和等于8

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知函数则«(》)的值是.

14.函数丫=1。82022(%-1)+4的图像恒过定点「，点「在基函数,=/。：)的图像上，则

"2)=-

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15.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探

究欲望.它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在南宋时期数学

家杨辉1261年所著的《详解九章算法J)一书中出现这一规律，而欧洲数学家帕斯

卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如下图，在由二项式系数所

构成的“杨辉三角”中，第11行中从左至右第5与第6个数的比值为.

行

第0

1

行

第1

11

行

第2

121

行

第3

1331

行

第4

14641

第5行15101051

16.已知变量y关于％的回归方程为y=eb"o-5,若对y=於尸。^两边取自然对数，可以

发现Zny与x线性相关.现有一组数据如表所示，当工=5时，预测y值为.

X1234

yee3e4e6

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分)

17.已知集合4={x|y=ln(2-尤)+^^},B={x\a<x<2cz+1).

(1)若a=1,求4UB；

(2)若4CB=B,求实数a的取值范围.

18.在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.

条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；

条件②：只有第5项的二项式系数最大；

条件③：所有项的二项式系数的和为256.

问题：在(2/一+严。€/7*)展开式中，.

(1)求n的值与展开式中各项系数之和；

(2)这个展开式中是否存在有理项？若存在，将其一一列出；若不存在，请说明理

由.

19.已知y=/(x)是定义在R上的奇函数，当x岂0时，/(X)=3"+a(a6R).

(1)求函数/(x)在R上的解析式；

(2)若VxeR,/(产-x)+/(4-mx)>0恒成立，求实数?n的取值范围.

20.巡路交通安全法实施条例/第六十二条规定：司机在开车时使用手机属于违法行

为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命.为了研究司机开车时使用手

机的情况，某交警部门随机调查了100名司机，得到以下数据：在45名男性司机中，

开车时使用手机的有25人，开车时不使用手机的有20人；在55名女性司机中，开

车时使用手机的有15人，开车时不使用手机的有40人.

(1)完成下面的2x2列联表，并由表中数据，依据小概率值a=0.01的独立性检验,

能否认为开车时使用手机与司机的性别有关？

开车时使用手机开车时不使用手机合计

男性司机人数

女性司机人数

合计

(2)采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记

X为开车时使用手机的女性司机人数，求X的分布列和数学期望.

参考数据:

P(JC2>卜)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc)2

参考公式：/2=,其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

21.“东方味王”餐饮公司入驻某校，为满足学生餐饮需求、丰富菜品花色，研发了一

套新产品.该产品每份成本6元，售价8元，产品保质期为两天，若两天内未售出，

则产品过期报废.公司为决策每两天的产量，先进行试销，统计并整理连续30天的

日销量(单位：百份)，假设该新产品每日销量相互独立，得到右侧的柱状图：

(1)以试销统计的频率为概率，记每两天中销售该新产品的总份数为其单位：百份),

求f的分布列和数学期望；

(2)以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送27百份、28百

份两种方案中应选择哪种？

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天数

22.近两年因为疫情的原因，同学们对于居家上网课的情景越来越熟悉了.相较于在学

校教室里线下课程而言，上网课因为少了课堂氛围，难于与老师和同学互动，听课

学生很容易走神.为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进

行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在

10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神

了.经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同

学能够正常完成签到.为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下

两个约定：

①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；

②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分.

请回答如下两个问题：

(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在

三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？

(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为4(比如：匕表示累

计得分为1分的概率，「2表示累计得分为2的概率，几6N*),试探求：

(l)｛Pn+i-2｝的通项公式；

(II)｛匕｝的通项公式.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由韦恩图可知，图中阴影部分表示的集合为AnQB，

•:A={1,2,3,4,5},B={x|(x+l)(x-2)<0}={x|-l<x<2},

力nCuB={3,4,5},则子集的个数为8个，

故选：D.

根据韦恩图可知阴影部分所表示的集合为4nQB={1,2},再由集合子集的定义可得正

确选项.

本题考查了集合间的关系及运算，子集的定义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：每位同学都有3种选法，

故6位同学共有36种选法.

故选：B.

按乘法计数原理，每人有三个选择，然后六个人的选法数相乘即可.

本题考查乘法计数原理的运用，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：Ay=3》是增函数，为非奇非偶函数不满足条件.

B.函数的定义域为{x|x+0),/(-%)-/(%),则/(%)为偶函数,当X>0时，y=log3X为

增函数，满足条件

C.当x>0时，f(x)为减函数，不满足条件.

。当x>0时，y=—/+l为减函数，不满足条件.

故选：B.

分别判断函数的奇偶性和单调性即可.

本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数的性质进行判断是解决本题的关键,

是基础题.

4.【答案】A

【解析】解：­•-a=1.502>1,

b=log081.2<0,

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=O.80-2e(0,1),

a>c>b.

故选：A.

根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小.

本题考查三个数的大小的判断，考查幕函数、指数函数、对数函数的单调性等基础知识，

考查运算求解能力，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：当a>b时，bia>bib不一定成立，因为a,b有可能为负数，2不是必要

条件，

2a>2b成立，B是必要条件，

a>b-l成立，C是必要条件，

a>b+1不一定成立，。不是必要条件，

反之，在C中，当a>b-l成立时，a>b不一定成立，

比如2.9>3-1成立，但2.9>3不成立，即C不是充分条件，满足条件.

若2a>2〃成立，贝|a>b成立，即B是充分条件，贝情是充要条件，

故选：C.

根据必要不充分条件的定义进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系结合充分条件和必要条件

的定义是解决本题的关键.

6.【答案】A

【解析】解；由题可得甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往4、B、C、D四个场

馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，共有不同的安排

方法鬣川=240种，

其中甲同学和乙同学去同一场馆的安排方法种数为北=24,

故甲同学和乙同学不去同一场馆，所有不同的安排方法种数为240-24=216.

故选：A.

根据题意分析，利用间接法求解即可.

本题考查排列组合及其简单计数问题，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：g(x)=/(x)+%-m恰有两个

不同的零点，

二方程g(x)=/(x)+x-m=0有两个不同的

实根，

即方程/(X)=-X+771有两个不同的实根，

•••y-/(x)与y=-x+m有两个交点，

在平面直角坐标系在作出y=/(x)的图象，再

平移直线y=-x+m,

观察y=/'(x)与y=-x+m有两个交点时，得me(-oo,1],

故选：D.

将函数的零点个数转化成方程根的个数，再将方程根的个数转化成两图象交点的个数,

再数形结合即可求解.

本题考查函数的零点与方程的根的关系，方程的根个数与图象交点个数相互转化，化归

转化思想，数形结合思想，属基础题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意可得，甲、乙的比分暂时为9：9,其后比分为10：10,11：11,13：

11,

则甲、乙的比分9：9后，甲乙又进行了6场比赛，每场比赛结果相互独立，

前2场甲一胜一负，中间2场甲一胜一负，最后2场甲连胜，

故最终甲以13：11赢得比赛的概率为©x；x|x«x；x|x|x；=M.

故选：C.

甲、乙的比分9：9后，甲乙又进行了6场比赛，每场比赛结果相互独立，前2场甲一胜

一负，中间2场甲一胜一负，最后2场甲连胜，再结合相互独立事件的概率公式，即可求

解.

本题主要考查相互独立事件的概率公式，属于基础题.

9.【答案】ABD

【解析】解：对于4：由于回归直线方程y=_o,85x+2.3中，直线的斜率卜=—0.85,

所以y与x具有负线性相关关系，故A正确；

对于B：两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大，故B正确；

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对于C：已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,

所以『p：30,解得也故C错误；

lnp(l—p)=203

对于D：随机变量X服从正态分布N(4,l),若P(X25)=0.2,P(x<3)=0.2,则P(3<

X<5)=0.6,故。正确.

故选：ABD.

直接利用回归直线的线性相关正相关和负相关的定义，相关性的强弱的应用判断4和B

的结论，利用二项分布的应用建立均值和方差的关系式求出结果判定C的结论，利用正

态分布的概念求出P(3<X<5)=0.6.

本题考查的知识要点：回归直线的线性相关正相关和负相关的定义，相关性的强弱，二

项分布的均值和方差关系式，正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能

力，属于中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解：4，a>0,b>0,1=a+b>2Vaft>ab<5当且仅当a-b=凯寸

取等号，正确，

B,a2+b2>2ab,2(a2+b2)>(a+b)2=1,a2+b2>当且仅当a=b=1

时取等号，••.B错误,

C,2a+2b>2V2a-2b=2V2a+d=2V2.当且仅当a=b=：时取等号，正确，

D,•.•竺+:=竺+三+122〃+1=5,当且仅当a=g时取等号，.••力正确，

abab33

故选：ACD.

由基本不等式判断ACD,由重要不等式判断B.

本题主要考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解能力，属于中档题.

11.【答案】BD

【解析】解：由题意得。(甸=/，

P(4)=：,P(A2)=l，

先A1发生,此时乙袋中有5个红球，3个白球和3个黑球，则P(B|七)=V，

先4发生，此时乙袋中有4个红球，4个白球和3个黑球，则P(BM2)=V，

先&发生，此时乙袋中有4个球，3个白球和4个黑球，贝k(8|&)=1.

=故错误;

•••P(A2B)=P(BIA2)P(A2)C

P(B)=P(B|4i)PQ4i)+P(B/2)P(42)+P(B|43)P(4)=5，故。正确；

尸⑷出)=曙=普臀=举=?故3正确；

v117P(B)P(B)9

PG43B)=P(BM3)P(43)=蔡，

P(43)P(B)HP(4B)，故4错误：

故选：BD.

由题设求出P(4)，P(B|4)，(i=1,2,3),利用全概率公式、条件概率公式进行求解即

可.

本题考查命题真假的判断，考查条件概率、全概率公式、相互独立事件的定义等基础知

识，考查运算求解能力，是基础题.

12.【答案】AD

【解析】解：由/(*)定义域为R,f(l+2x)=/(3-2乃可得f(l+x)=f(3—%),f(l+

x+1)=/(3—x—1),

即f(2+x)=f(2—x),则函数/Q)图象关于直线x=2对称，A正确；

由f(2+x)=f(2-x)以及f(x)为偶函数可得f(2+x)=f(2-x)=f(x-2),

则/"(x+4)=/(x),即函数的周期为4,8错误；

由周期性知,f(2023)+/(2022)=/(2020+3)+/(2020+2)=/(3)+/(2),又/(2+

1)=/(2-1),

即"3)=f(1)=1,则f(2023)+,(2022)=1+0=1,C错误；

函数g(x)的定义域为(—2,6),g(2+x)=e~2+x~2=e~xi=g(2-x)=e~2~x~2=e~x,

可得函数g(x)图象关于直线x=2对称，分别画出/(x)和g(x)的图象如图所示：

由图可得f(x)和g(x)的图象有四个交点，且关于直线x=2对称，则所有交点横坐标之

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和等于2x2+2x2=8,0正确.

故选：AD.

由题设得/(2+x)=/(2-乃即可判断4选项；由对称性结合奇偶性得+4)=/(%)

即可判断B选项；利用周期性及解析式求出函数值即可判断C选项；先求得函数g(x)图

象关于直线x=2对称，画出/(x)和g(x)的图象得到有四个交点，且关于直线x=2对称,

即可判断D选项.

本题考查函数的性质，考查学生的运算能力，属于中档题.

13.【答案】1

【解析】解：根据题意，函数

则出)=t，/(/(!))=r(-i)=i-|=p

故答案为：p

根据题意，由函数的解析式计算可得答案.

本题考查函数值的计算，注意函数解析式的形式，属于基础题.

14.【答案】4

【解析】解：当％—1=1时，则x=2,y=4,•••P(2,4),

设f(x)=%。,代入P(2,4)得2a=4,

•­a=2,/(x)=x2,

二f(2)=4,

故答案为：4.

利用对数函数的图象和性质求出P(2,4),再设出幕函数解析式，求解即可.

本题考查对数函数的图象和性质，幕函数解析式的求法，属于基础题.

15.【答案

【解析】解：由题意知第10行的数就是二项式(a+b)ii的展开式中各项的二项式系数,

故第11行第5个数为第11行第6个数为C*,

可得第11行中从左至右第5与第6个数的比值为小=

C117

故答案为：

由题意知第11行的数就是二项式(a+bp】的展开式中各项的二项式系数，可得第11行

第5个数为Cf],第11行第6个数为C&,即可求解.

本题主要考查归纳定理的应用，以及二项式系数展开式系数，属于基础题.

16.【答案】e75

【解析】解：-y=hiy=bx-0.5,

令z=Iny=bx—0.5,

列表格如下，

X1234

z=Iny1346

故工=1+2+3+4=25,-=1+3+4+6=35)

44

故3.5=2.56-0.5,

故b=I，

故当x=5时，z=Iny=x5—0.5=7.5,

故y-e7-5,

故答案为：e7-5.

z="y=bx-0.5,化为线性相关，结合回归直线过样本点的中心求b,再预测即可.

本题考查非线性回归与线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本

中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点.属于中档题.

17.【答案】解：.•.—l<x<2,.•.4={x|-l<x<2},

若Q=1,则8={x|l<%<3},

・•・4UB={x[—1<%<3}.

(2)若AnB=B,则BGA,

①若B=0,则a>2a+1,Aa<—1,

a<2a4-1

②若B中0,则「a2—1,-1<a<p

,2a+1<2

综上，a的求值范围为(-81].

【解析】(1)求出4与B中不等式的解集确定出4与B,再求解即可.

(2)由4nB=B,得到BU4,利用分类讨论，分别列出不等式，确定出a的范围即可.

第12页，共16页

本题考查了并集及其运算，集合间的基本关系，属于中档题.

18.【答案】解：(1)选择①：由已知可得鬃=或，则n=2+6=8,

选择②：由已知可得?1=8；

选择③：由已知可得2n=256,则葭=8,

所以二项式为(2/一表)8,

令x=l,则展开式的各项系数和为(2-1)8=1；

s16

(2)二项式的展开式的通项公式为7>+1=以(2/)8-r(一表)r=Cr.2-\-iyX~T,

r=0,1,・・・，8,

令16—则r=0,3,6,

816165399

所以展开式的有理项为7\=2x=256x,T4=Cl-2(-1)X=-1792x,T7=

Cg-22(-l)6x2=112".

【解析】(1)选择①：根据组合数的运算性质即可求出n的值，选择②：根据二项式系

数的性质以及已知即可求出ri的值，选择③：根据二项式系数和公式即可求出n的值，

再令x=l,即可求出各项的系数和；(2)求出展开式的通项公式，令》的指数为整数，

由此即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，涉及到有理项的求解，考查了学生的运算求解能力，属

于中档题.

19.【答案】解：(1)y=/Q)是定义在R上的奇函数，当x>0时,/(x)=3,+a(aeR).

•••/(0)=3°+a=l+a=0,得a=-1,

即x>0时，/(x)=3X—1,

若x<0,则T>0,WJ/(-x)=3-x-l=-f(x),

即f(x)=-3r+L(%<0),

财。)=匕二3"<o-

(2)vx>0时，f(x)=3X-1为增函数，

••・当x<0时，/(无)为增函数，且/(x)在R上为增函数，

由/1(/-x)+/(4-mx)>0得/-x)>-/(4-mx)=f(mx-4),

即/—x>mx—4,即/—(1+m)x)+4>0恒成立，

即判别式/=(1+m)2-16<0,得(m+I)2<16,

得一4<m+1<4,得—5<m<3,

即实数zn的取值范围是(-5,3).

【解析】(1)利用函数奇偶性的性质先求出a,然后利用奇函数的对称性进行求解即可.

(2)利用函数奇偶性和单调性将不等式进行转化求解即可.

本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求

解是解决本题的关键，是中档题.

20.【答案】解：⑴由已知数据可得2x2列联表如下:

开车时使用手机开车时不使用手机合计

男性司机人数252045

女性司机人数154055

合计4060100

因中然衿,8.249>6635,

所以依据小概率值a=0.01的独立性检验，认为开车时使用手机与司机的性别有关.

(2)采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人,

其中的男性司机人数为：8x25=5人；女性司机人数为：8x15=3人.

15+2515+25

由题意可知：X的所有可能取值为0,1,2,3,

因为P(X=O)W/；p(x=i)=警若;

P(X=2)=萼=最p(x=3)=口=表.

则X的分布列为:

X0123

515151

P

28285656

则E(X)=0x》lx^+2x邕+3X专号

【解析】(1)先完成列联表，计算出公，再与6.635进行大小比较，进而得到开车时使用

手机与司机的性别是否有关;

(2)先求得随机变量X的所有可能取值及其相对应的概率，进而得到X的分布列，再利用

随机变量期望公式即可求得X的数学期望.

本题考查独立性检验与离散型随机变量的分布列与期望，是中档题.

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21.【答案】解：(1)根据题意可得，f的所有可能取值为24,25,26,27,28,29,30.

=24)=-X-=—,P(f=25)=工x三x2=三，

71010100)101050

=26)=—x-x2+—x—=—,=27)=—x-x2+—x—x2=—,

710510101007105101025

=28)=^xix2+|x|=^,P(f=29)=|xix2=^,P(f=30)=|xi=^,

f的分布列如下:

24252627282930

13177741

p

1005010025252525

E(f)=24x击+25X»26X系+27X《+28X寮29X/+30X^=274

(2)当每两天生产配送27百份时，利润为：