2021-2022学年山东省日照市开发区九年级（上）成长之旅数学试卷（二）（附答案详解）

2021-2022学年山东省日照市开发区中学九年级（上）成长之旅

数学试卷（二）

1.不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉

祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡

片共有“张.从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是:，则，?的值是（）

A.250B.10C.5D.1

2.如图，△力BC内接于。。，若乙4=45。，OC=2,则8c的长为（）A

C.2V3-------天

D.4

3.线段OA以点O为旋转中心，逆时针旋转60°,得到。&,再将。&以点。为旋转中心逆时针

旋转60。得到0^2,依此操作直到点An与点A重合为止，顺次连接点A、4…4-1形成的多边

形是（）

A.正四边形B.正五边形C.正六边形D.正七边形

4.下列说法正确的是（）

A.一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一

定抛掷出5点

B.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

C.明天降雨的概率是80%,表示明天有80%的时间降雨

D.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票一定会中奖

5.用一个半径为3,面积为3兀的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半

径为（）

A.nB.27rC.2D.1

6.有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两

把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

6323

7.下列说法：

①可能性很大的事件在一次试验中一定发生；

②必然事件在一次试验中有可能不会发生；

③弦相等，对应的圆心角相等；

④平分弦的直径垂直于弦；

正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

8.如图，正方形ABC。的边长为2,0为对角线的交点，点E、F分别为BC、AFD

AO的中点.以C为圆心，2为半径作圆弧再分别以E、F为圆心，1匚7;

为半径作圆弧a、0D,则图中阴影部分的面积为（）\/^0

BEC

A.7T—1B.7T—2C.Ti—3D.4—7t

9.小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边

三角形（阴影）区域的概率为（）

C型

47r

D,更

n

10.如图，四边形ABCO是。。的内接四边形，NB=90。，乙BCD=

120°,AB=4,BC=2,则AO的长为（）

A.2V3

B.4-V3

C.V3+1

D.2+V3

11.如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=5,AD,AB,8C分别与。。相

切于E,F,G三点，过点。作。。的切线BC于点M,切点为N,则

OW的长为（）

C.海

D.2V5

12.如图，点M坐标为(0,2),点A坐标为(2,0),以点M为圆心，MA为

半径作0M,与x轴的另一个交点为8,点C是0M上的一个动点，

连接BC,4C,点。是AC的中点，连接OO,当线段取得最大值

时，点。的坐标为()

A.(0,1+72)

B.(1,1+72)

C.(2,2)

D.(2,4)

13.已知圆的直径是13cm,圆心到某条直线的距离是6。"，那么这条直线与该圆的位置关系是

14.某商场为消费者设置了购物后的抽奖活动，总奖项数量若干，小红妈妈在抽奖的时候，各个

奖项所占的比例如图，则小红妈妈抽到三等奖以上(含三等奖)的可能性为.

等奖

国

一

等奖

％二

等奖

口

三

口

念奖

纪

15.如图，半径为4的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b,然后把半圆沿直线6进行

无滑动滚动，使半圆的直径与直线6重合为止，则圆心。运动路径的长度等于.

16.如图所示，在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上选取点A3,…，(；以44,A2A3,

力344，为边作等边△4，△A2A2B2»*"»△顶点当，B2,B§,

8n在直线/上，且=30。，分别作△①4&，£.A2A3B2,…，△414t+1反的内切圆。】，

。2,3，…，On,若。0］的半径为1,则。。九的半径为.(用含正整数〃的式子表示)

17.如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm,母线长为40cm.

(1)求它的表面积和侧面展开图的圆心角.

(2)若一甲虫出从4点出发沿着圆锥侧面爬行到母线SA的中点B,请求出它所走的最短路线

是多少？

18.一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1,2,3.小林和小华做一个

游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，

再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号.若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若

标号之和为偶数，则小华赢.

(1)用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；

(2)请判断这个游戏是否公平，并说明理由.

19.如图，AB是。。的直径，C,。是。。上的点，且OC〃BD,与BC、OC分别相交于点B、

F,

⑴求证：CB平分“BD；

(2)己知CF=6,AF=7,求8。的长.

20.如图，△力BC内接于O。，ZB=60。，点E在直径CQ的延长线上，且AE=AC.

(1)试判断AE与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若4?=6,求阴影部分的面积.

21.如图，已知。。上依次有A、B、C、。四个点，AD=BC,连接A3、A。、BD,弦A8不经

过圆心O,延长AB到£使BE=4B,连接EC,尸是EC的中点，连接BF.

(1)若0。的半径为3,/.DAB=120°,则弦BD的长=:

(2)求证：BF=：BD；

(3)设G是8。的中点，探索：在。。上是否存在点P(不同于点8),使得PG=PF?并说明

PB与4E的位置关系.

22.在4ABC中，点P是乙BAC的角平分线40上的一点,若以点P为圆心,PA为半径的0P与4ABC

的交点不少于4个，点P称为AABC关于的“劲度点”，线段FA的长度称为△4BC关

于NB4C的“劲度距离”.

(1)如图，在NB4C平分线A3上的四个点B、22、。3、24中，连接点A和点的线段长

度是AaBC关于484c的“劲度距离”.

(2)在平面直角坐标系中，已知点N(4,0)

①当t=5时，求出△M0N关于NM0N的“劲度距离””的最大值.

②如果&<d<2夜内至少有一个值是△M0N关于/MON的“劲度距离”，请直接写出f的

取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由题意得：

n1

5015)

解得：n=10.

故选：B.

根据概率的意义列方程求解即可.

本题考查了概率公式的应用，理解概率的意义是正确求解的关键.

2.【答案】B

【解析】解：由圆周角定理得，4BOC=2/4=90。，

BC=y/2OC=2vL

故选：B.

根据圆周角定理得到4BOC=2Z./1=90。，根据直角三角形的性质即可得到结论.

本题考查的是圆周角定理及解直角三角形的知识，掌握圆周角定理是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：由题意：每次的旋转角均为60。，

•••360°+60°=6,

•••操作6次后，46与A重合.

••・每次的旋转半径均为04

二顺次连接点A、&…45形成的多边形是正六边形.

故选：C.

由于每次的旋转角均为60。，因为360。+60。=6,所以操作6次后，4与A重合，操作停止.由

于每次的旋转半径相同，都是04

故顺次连接点A、4…&形成的多边形是正六边形.

本题主要考查了图形的变化的规律，正多边形和圆.正确使用正多边形的概念是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：4一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001

次不一定抛掷出5点，本选项错误；

8.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，本选项正确；

C.明天降雨的概率是80%,表示明天不一定有80%的时间降雨，本选项错误；

D某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票不一定会中奖，本选项错误；

故选：B.

事件发生的可能性越大，概率越接近与1,事件发生的可能性越小，概率越接近于0.依据概率的意

义进行判断即可.

本题主要考查了概率的意义，概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的

表现.

5.【答案】D

【解析】解：根据圆锥侧面展开图是扇形，

扇形面积公式：S=7rr《r为圆锥的底面半径，/为扇形半径），得

3nr=3兀,

:.r=1.

所以圆锥的底面半径为1.

故选：D.

根据扇形的面积公式：S=兀包（r为圆锥的底面半径，/为扇形半径）即可求出圆锥的底面半径.

本题考查了圆锥的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握扇形面积公式.

6.【答案】B

【解析】解：根据题意列表得:

锁1锁2

钥匙1（锁1,钥匙1）（锁2,钥匙1）

钥匙2（锁1,钥匙2）（锁2,钥匙2）

钥匙3（锁1,钥匙3）（锁2,钥匙3）

所有等可能的情况有6利3其qP随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，

则随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是;=

63

故选：B.

根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开

锁的情况数，即可求出所求的概率.

此题考查了树状图法或列表法求概率以及利用类比法解决问题，解题的关键是根据题意画出树状

图或表格，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解.

7.【答案】A

【解析】解：①可能性很大的事件在一次试验中不一定发生，故错误，不符合题意；

②必然事件在一次试验中必然会发生，故错误，不符合题意；

③同圆或等圆中，弦相等，对应的圆心角相等，故原命题错误，不符合题意；

④平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意，

正确的有。个，

故选：A.

利用可能性的大小的判断、圆周角定理、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项.

考查了可能性的大小的判断、圆周角定理、垂径定理等知识，属于基础知识或定义，比较简单.

8.【答案】B

【解析】解：由题意可得，

阴影部分的面积是：--7TX22---7TX12-2(1Xl-i-7TXl2)=7T-2,

424

故选：B.

根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去以1为半径的半

圆的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆的面积，本题得以

解决.

本题考查扇形的面积的计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形

结合的思想解答.

9.【答案】C

【解析】解：设扎到阴影区域的正三角形的概率为尸，圆的半径为R,

记圆的圆心为点0,过。作00_LBC与O,连接04,OB,0C,

,,1△ABC是正三角形，

・•.AB=BC=AC,

:.Z-A0B=Z.BOC=Z-C0A,

•••ZB0C=—=120°,

3

OB=0C,

乙BOD=-x120°=60°,

2

・・・Z-0BD=30°,

vOB=R,

：.0DBD=OBcos30°=—R,

22

BC=2BD=V3/?,

S^BOC.0D=

VOA=OB=OC,Z,AOB=乙BOC=乙AOC,

・•.△AOB”>BOCWACOA^SAS),

•**SMOB=S&BOC=S&COA，

36R2

SMBC—3s△ROC=

4

•••S窗=7rR2,

2

哈3V3

；“二^~

47r’

故选：C.

求扎到阴影区域（不包括边界）的概率就是正三角形面积与圆的面积的比.

本题主要考查了几何概率，等边三角形的性质，三角形的外接圆，熟练掌握概率的概念是解决问

题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：延长A8和OC交于E,

••・四边形ABC。是。。的内接四边形，

/.ABC+=180°,AA+乙BCD=180",

•••48=90°,/.BCD=120°,

zD=90°,zX=60°,

乙E=90°-^A=30°,乙EBC=180°-/.ABC=90°,

：.AD=-AE,CE=2BC,

2

vBC=2,

/.CE=4,

在RtZiEBC中，由勾股定理得：BE=VCF2-BC2=V42-22=273,

VAB=4,

AE=AB+BE=4+2痘,

.-.AD=-AE=2+V3,

2

故选：D.

延长4B和。C交于E,根据圆内接四边形的性质得出NABC+ND=180。，^A+^BCD=180°,

求出4。=90。，44=60。，求出NE=90。-NA=30。，/EBC=180。一/ABC=90。，根据直角

三角形的性质得出4。=14E,CE=2BC,求出CE,根据勾股定理求出BE,再求出AE即可.

本题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，含30。角的直角三角形的性质等知识点，能熟记圆内

接四边形的对角互补是解此题的关键.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.连接OE,OF,

ON,OG,在矩形43a9中，得到乙4=NB=90。，CD=AB=4,由于AQ,AB,BC分别与O。相

切于E,F,G三点得到乙4E。=乙4?。=NOFB=NBG。=90。，推出四边形AFOE,FBGO是正

方形，得到4F=BF=4E=BG=2,由勾股定理列方程即可求出结果.

【解答】

解：如图，连接OE,OF,ON,OG,

BSGwIC

在矩形ABC£)中，

v乙4=NB=90",CD=AB=4,

VAD,AB,BC分别与o。相切于E,F,G三点，

・•・乙AEO=Z.AFO=(OFB=Z.BGO=90°,

••・四边形AFOE,qGO是正方形，

AF=BF=AE=BG=2,

.・.DE=3,

•・・DM是。。的切线，

・・・DN=DE=3,MN=MG,

：・CM=5—2—MN=3—MN,

在中，DM2=CD24-CM2,

・•・(3+NM?=(3-NM?+42,

4

一

一-

・•・NM3

413

・•・DM=34--=—.

33

故选4

12.【答案】C

【解析】解：・・・0M148,

・•・0A=OB,

-AD=CD,

：.GDIIBC,OD=^BC,

・••当BC取得最大值时，线段。。取得最大值，如图,

BC为直径，

/.CAB=90°,

CA1x轴，

•・•OB=OA=OM,

・・・Z-ABC=45°,

vOD//BC,

AAOD=45°,

是等腰直角三角形，

AD=OA=2,

・・・。的坐标为(2,2),

故选：C.

根据垂径定理得到04=OB,然后根据三角形中位线定理得到。D〃BC,0D=加,即当8C取

得最大值时，线段0。取得最大值，根据圆周角定理得到C41X轴，进而求得△04。是等腰直角

三角形，即可得到。。=。4=2,得到。的坐标为(2,2).

本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当8c为直

径时，线段0。取得最大值是解题的关键.

13.【答案】相交

【解析】解：•••圆的直径为13cm,

，圆的半径为6.5cm,

•・•圆心到直线的距离6c〃?，

・•・圆的半径,圆心到直线的距离，

直线与圆相交，

故答案为：相交.

欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离/再与半径，•进行比较，先由直径求出

半径，再与圆心到直线的距离比较即可.

本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关

系完成判定.若d<r,则直线与圆相交；若（1=「,则直线与圆相切；若d>r,则直线与圆相离.

14.【答案】

【解析】解：小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的概率10%+15%+25%=50%=

故答案为点

根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数.二者的

比值就是其发生的概率的大小.

本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，

其中事件A出现种结果，那么事件A的概率PQ4）=

15.【答案】47r

【解析】解：由图形可知，圆心先向前走。。1的长度，从。到。1的运动轨迹是一条直线，长度为：

圆的周长，/曾

,.。乙⑼

然后沿着弧。1。2旋转;圆的周长，晨二7

则圆心。运动路径的长度为：；x2兀x4+；x2兀x4=4兀，°，

44

故答案为：47r.

根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为［圆弧，根据弧长公式求出弧长即可.

本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出

长度.

16.【答案】2"T

【解析】

【分析】

本题考查了等边三角形的性质，图形规律等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问

题，属于中考填空题中的压轴题.

探究规律，利用规律解决问题即可.

【解答】

解：•・•△AI&BI是等边三角形，内切圆半径为1,

4遇2%的边长的一半为百，

Z-A1OB1=30°,Z,8^^2=/-A1OB1+Z-A1B1O=60°,

•••Z-A1OB1=Z-OB1A1

:.OAT=A1B1=AXA2—2V5,

同法可证。人2=^2^2=42A3=4g,OA3=A3B3=A3A4=8A/3,

・•・O。2的半径="x4A/3=2,O。3的半径为fx8A/3=4=22,,,,,

由此可知OOn的半径为2"T.

17.【答案】(1)^=271X10,

解得n=90.

圆锥的表面积=7TX10X40+7T-102=5007rcm2.

(2)如右图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行

到母线SA的中点3所走的最短路线是线段AB的长.

在Rt/MSB中，SA=40,SB=20,

:.AB=20V5(cm).

二甲虫走的最短路线的长度是206cm.

【解析】(1)利用圆锥的弧长等于底面周长得到圆锥的侧面展开图的圆心角；圆锥的表面积=7TX底

面半径x母线长+兀.半径的平方；

(2)最短路线应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度.

本题考查圆锥的计算，平面展开图，用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长；求立体图形中

两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度.

18.【答案】解：(1)由题意画出树状图如下:

开始

小林

小华

所有可能情况如下:

(1,1).(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)；

(2)这个游戏不公平，理由如下：

由(1)可得：标号之和分别为2,3,4,3,4,5,4,5,6共9种等可能的结果，标号之和为奇数

的有4种结果，标号之和为偶数的有5种结果,

・•・小林赢概率是：［，小华赢概率是：

99

J5

・•・这个游戏不公平.

【解析】(1)根据题意画出树状图得出所有等情况数即可；

(2)根据概率公式先求出标号之和为奇数和偶数的概率，再进行比较，即可得出这个游戏是否公平.

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.用到的知识点为:概率二所求情况数与总情况数之比.

19.【答案】(1)证明：48是。0直径，

・•・BD1AD,

OC//BD,

・•,OCLAD,

:.AC=DC,

:.(ABC=Z-CBD,

・•・C8平分乙48。；

(2)解：设0尸=%,

:.AO=OC=x+6,

•・・4。2=0片+47,

(%+6)2=%2+72,

13

:，X=一,

12

vAE—DE,AO=B0,

13

•••BD=20F=—.

6

【解析】(1)由垂径定理，圆周角定理，即可证明；

(2)由垂径定理，勾股定理先求OF,再由中位线定理求5。长.

本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，关键是由定理列出方程.

20.【答案】(1)4E为。。的切线.

理由：连接OA、AD,如图，

•・・。。为o。的直径，

・・・Z,DAC=90°,

又•・•Z.ADC=/.B=60°,

・・・Z,ACE=30°,

-AE=AC,

・•.Z,AEC=30°

vOA=OD,

•・・△4。。为等边三角形，

Z.AD0—Z,DA0—60°,

・•・Z.EAD=30°,

・・・4£71。+乙。4。=90°,

/.Z-EAO=90°,

・•・OA1AE,

•••4E为OO的切线；

(2)解：由(1)可知AAEO为直角三角形，且NE=30°,AE=6,

OA=2V3,

・•・阴影部分的面积为］X6X2V3-6。嚷回=6V3-27r.

故阴影部分的面积为66-27r.

【解析】⑴连接OA、AO,可求得NACE="EC=30。，可证明△40。为等边三角形，求得"20=

90。，即可证明AE为。。的切线；

(2)结合(1)可得到。4=2V3,AE=6,再根据三角形的面积公式和扇形面积公式即可求解.

本题主要考查切线的判定和性质，掌握切线的证明方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切

点证明垂直，没有切点时，作垂直证明距离等于半径.注意这类问题的常用辅助线的作法.

21.【答案】3V3

【解析】(1)解：连接。8,0D,过点。作。于M,

战力所对圆心角的度数为240。，

•••4BOD=360°-240°=120°,

乙DBO=30°,

vOM1DB,

：.DM=BM,Z.OMB=90°,

•••0。的半径为3,

3

：•OM=

2

BM=y/OB2-BM2=①一(|)2=竽

•••BD=2BM=3V3,

故答案为3班；

(2)证明：连接AC,

.•.点8为AE的中点，

•.•尸是EC的中点，

•••BF为△E4C的中位线,

BF=-AC,

2

-AD=CB,

*e•AD4-AB=BC+AB,

:.DAB=CBA,

.・.BD—AC，

■■■BF=-BD；

2

(3)解：过点B作AE的垂线，与。。的交点即为所求的点P,

・•.BF//AC,

:.zJFBE=Z-CAE,

"AD=BC,

:.Z.CAB=乙DBA,