2021-2022学年陕西省西安市新城区八年级（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年陕西省西安市新城区爱知中学八年级（下）

期末数学试卷

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

AB.幽）C（^）旺

2.下列等式不成立的是（）

Dg=aY+i)

中软田）.黑屋⑺.）.户*

B0C*bd(c2+l)

3.如图，在RtAABC中，44cB=90。，44=33°,将

△ABC沿AB方向向右平移得到△DE尸.则“FE的度

数是（）N

A二

DBE

A.90°B.113°C.123°D.143°

4.如图，在□ABC。中，DB=DC,zC=72",AE1BD口Dy-------------,C

A.16°B.18°C.20°D.28°

5.如图，在A/IBC中，/.ABC=90",AB=4,BC=3,若

£>E是△ABC的中位线，延长。E,交△ABC的外角乙4cM

的平分线于点尸，则线段的长为（）

A.4

B.-

2

c17

C.2

2

D.5

6.若关于'的分式方程氏+岩=2有增根，则〃的值是（）)

A.3B.0或3C.0D.-1

7.如图，在A4BC中，ABAC=90°,ZC=30°.AD1BCTD,BE是的平分线，

且交40于P,如果4P=6,则A。的长为（）

A

A.9B.8C.7D.6

8.如图，在AABC中，乙4cB=90。，将△ABC绕点4顺时针

旋转90。，得到△ADE,连接BD,若AC=4&，DE=2,

则线段8。的长为（）口乙

A.6B.4V7C.4V10）

9.如图，菱形ABC。的边长为6,/.ABC=60",对角线

4c与5。相交于点。，点E在。8上，且DE=4V3,则/

线段CE的长度为（）/E

B.3B

C.2>/3

D.3V3

10.如图，直线y1=kx+b与直线旷2=6刀交于点尸，点P的横坐标为1，且直线y1=

卜工+。过点4（0,2）,下列说法：①对于函数yi=kx+b来说，y随x的增大而减小：

（2）函数y=mx+b（不经过第三象限:③m=k+2；④不等式组7nx-2<kx+b<

?nx的解集是1<x<2.其中正确的是（）

A.①②B.①③C.①③④D.①©©④

11.因式分解：a/-4ab2+4ab=.

12.一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是边形.

13.如图，平行四边形ABC。的对角线AC与8。相交于

点O,4E1BC,垂足为E,AB=4MC=6,BD=10,

则AE的长为.

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14.如图，在口ABC。中，AB=5,点七、尸是直线C。上的

E

两个动点(不与点C、。重合)，EF=CD,连接BE、BF,A

若S四边形ABCD=3。，则△8EF周长的最小值为.

(2x+3>5(%—3)

15.解一元一次不等式组：\x-54x-3.

—r-1

16.计算：

_____

I%-4%2_16'

(2)化简求值：(*—R)+/等，其中血=应.

'''m-2m2-4zm+2

17.解分式方程：

小4_2X+6

⑴口一户

18.尺规作图：如图，请在△48C的边4B上找一点P,使SMCP：S&BCP=AC：BC(保

留作图痕迹，不写作法).

19.如图，已知E、尸是nABCD对角线AC上的两点，并且4F=CE.

求证：四边形E8FO是平行四边形.

20.为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少

年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品.张老师去商店购买甲、乙两种

笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本30个，共用190元，且买10

个甲种笔记本比买20个乙种笔记本少花10元.

(1)求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？

(2)张老师准备购买甲乙两种笔记本共100个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔

记本数量的3倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款.为了使

所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？

21.疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染,

某药店用4750元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进

第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%,每包口罩的进价比第一批每包口罩

的进价多0.5元，求购进的第二批医用口罩有多少包？

22.如图，在四边形ABCQ中，AB//DC,AB=AD,对角线AC、8。交于点O,AC

平分NBAD,过点C作CEJ.4B交AB延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形ABC。是菱形；

(2)若CE=3百，乙40c=120。，求四边形ABC£)的面积.

23.如图，在平面直角坐标系中，直线k：y=|x+1与x轴交于点B,直线%与直线k、

x轴分别交于点4(1,|)、点C(4,0).

(1)求直线L的解析式；

(2)若点。和点E分别是直线。和y轴上的动点，是否存在点。、E,使得以点A、

B、£＞、E为顶点、为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点。的坐标；

若不存在，请说明理由.

24.［问题初探］

⑴如图1,点E,尸分别在正方形ABCC的功BC,CC上，Z.EAF=45°,试判断

EF、BE、OF之间的数量关系.

聪明的小明是这样做的：把AABE绕点A逆时针旋转90°至使得与AO

重合，由44DG=NB=90。，得NFDG=180。，即点尸、。、G共线，易证△

AFG^故£尸、BE、。户之间的数量关系为.

［类比探究］

(2)如图2,点E、f分别在正方形ABCC的边C8、OC的延长线上，AEAF=45",

连接EF,请根据小明的发现给你的启示写出ERBE、。尸之间的数量关系，并证

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明.

［联想拓展］

(3)如图3,在AABC中，ABAC=90",AB=4C=3四.点E、尸均在边BC上，且

4£;4尸=45°,若BE=2,求C尸的长.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

D是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图

形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

2.【答案】C

【解析】解：A、原变形正确，故此选项不符合题意；

8、原变形正确，故此选项不符合题意；

C、必须规定CK0,原变形错误，故此选项符合题意；

D,原变形正确，故此选项不符合题意；

故选：C.

直接利用分式的基本性质分别化简，进而判断得出答案.

此题主要考查了分式的基本性质，能够正确化简分式是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：在中，/.ACB=90°,=33°,

则乙4BC=90。-33。=57。，

由平移的性质可知：CF//AE,BC//EF,

：.4BCF=^ABC=57",Z.BCF+4CFE=180°,

•••Z.CFE=180°-57°=123°,

故选：C.

根据直角三角形的性质求出乙4BC,再根据平移的性质和平行线的性质计算即可.

本题考查的是直角三角形的性质、平移的性质以及平行线的性质，熟记直角三角形的两

锐角互余是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：丫DB=DC,

：.ZC=乙DBC=72°,

•••四边形ABC。是平行四边形，

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ADIIBC,

4DBC=Z.ADE=72°,

vAE1BD,

：.AAED=90°,

•••Z.DAE=90°-/LADE=90°-72°=18°,

故选：B.

由等腰三角形的性质得出NC=NDBC=72。，由平行四边形的性质得出4D〃BC,证出

乙DBC=LADE=72。，由直角三角形的性质可求出答案.

本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行

四边形的性质是解题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：在Rt△ABC中，AC=y/AB2+BC2=V42+32=5,

•••DE是AABC的中位线，

11

DE=^BC=1.5,DE//BC,EC=^AC=2.5,

:.乙EFC=zFCM,

・・・CF是〃CM的平分线，

:.乙ECF=乙FCM,

:.(EFC=乙ECF,

•・・"=EC=2.5,

ADF=DE^EF=1.5+2.5=4,

故选：A.

根据勾股定理求出AC,根据三角形中位线定理得到DE=：BC=1.5,DE//BC,根据

角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到EF=EC=2.5,结合图

形计算，得到答案.

本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，

掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：分式方程去分母得：3-x—n=2x—8,

•••分式方程有增根，

•••%-4=0,即x—4,

把x=4代入整式方程得：一1—n=0,

解得：n——1.

故选：D.

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即

可求出〃的值.

此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行:①化分式方程为整式方程;

②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

7.【答案】A

【解析】解：NB4C=90。，ZC=30°.

Z.ABC=60°,

•­•AD1BC于D,

：.4BAD=30°,

*：BE是乙4BC的平分线，

•••Z.ABE=乙DBP=30°,

•••Z.ABP=Z.PAB,

PB-PA=6,

在RtZkPBD中，PD=^PB=3,

・•・40=4P+PD=6+3=9.

故选：A.

先计算出乙4BP=4P/B,则PB=P4=6,在RC4PBD中利用含30度角的直角三角形

三边的关系得到PD=1PB=3,然后计算ZP+PD即可.

本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了含

30度角的直角三角形三边的关系.

8.【答案】D

【解析】解：•••将AABC绕点4顺时针旋转90°,得到△4DE,DE=2,

：.AD=AB,BC=DE=2,/.DAB=90°,

为等腰直角三角形，

在△ABC中，AACB=90°,AC=4A/2,BC=2,

AB=y/AC2+BC2=J(4V2)2+22=6,

BD=y/AD2+AB2=V62+62=6或，

故选：D.

由旋转的性质得出40=AB,BC=DE=2,^DAB=90。，进而得出^LMB为等腰直角

三角形，由勾股定理求出4B=6,再利用勾股定理即可求出BO的长度.

本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理是解决问

题的关键.

9.【答案】C

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【解析】解：•.•四边形A8C。是菱形，/.ABC=60°,

AD=DC=6,乙40c=/.ABC=60°,AC1BD,

•••OC=3,OD=3V3,

vDE=473,

:.OE=V3,

CE=VOC2+OE2=J32+(百/=2A/3,

故选：C.

根据菱形的性质得出AD=DC,进而得出△ADC是等边三角形，进而利用勾股定理解答

即可.

此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出4。=DC解答.

10.【答案】C

【解析】解：由图象可知，函数y=kx+b经过第一、二、四象限，y随x的增大而减

小，故①说法正确；

由图象可知，函数y=kx+b经过第一、二、四象限，

Ab>0,

由图象可知，直线、2=山》经过第一、三象限，

m>0,

・•・函数y=+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②说法错误；

•・•直线yi=kx+b与直线力=6不交于点P，点、P的横坐标为1,

1・k+b=m,

,••直线为=kx+b过点力(0,2),

・•・b=2,

・・.7n=k+2,故③说法正确；

vm=fc+2,b=2,

:.k=m-2,

vmx—2<fcx4-b<mxf

:，mx—2<(m—2)%4-2<mx,

解得IV%<2,

・,・不等式组一2<kx+b<m%的解集是1V%V2.故④说法正确，

故选：C.

观察图象即可判断①；由图象可知血>0,直线yi=kx+b过点4(0,2),得出b=2>0,

根据一次函数的性质即可判断②；根据交点坐标以及b=2即可判断③；不等式组变形

为mx-2<(m-2)x4-2<mx,解不等式组即可判断判断④.

本题是两条直线相交问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一

次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键.

11.【答案】ab(b-2)2

【解析】解：ab3—4ab2+4ab

=ab(b2—4b+4)

=ab(b—2)2.

故答案为：ab(b-2)2.

直接提取公因式ab,再利用公式法分解因式得出答案.

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键.

12.【答案】八

【解析】解：设这个多边形的边数为，7,

由题意得，(ri-2)x180°=360°x3,

解得n=8,

则这个多边形的边数为8.

故答案为：八.

设这个多边形的边数为"，根据多边形的内角和定理和外角和定理列出方程，解方程即

可.

本题考查的是内角与外角的计算,多边形内角和定理:(n-2)-180(n>3且n为整数)，

多边形的外角和等于360度.

13.【答案】等

【解析】解：•••四边形A8C。是平行四边形，AC=6,BD=10,

：.AO=-AC=3,BO=-BD=5,

22

•・,AB=4,

：.AB2+AO2=BO2,

・•・Z,BAC=90°,

・・•在Rt△BAC中，BC=+心=2vs^BAC=ABxAC=^xBCxAEf

.-.|x4x6=ix2V13xXE,

故答案为：争.

首先由勾股定理的逆定理判定484。是直角三角形，再利用三角形的面积公式即可求出

AE的长度.

本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△B4C是直角三角形是解此

题的关键.

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14.【答案】18

【解析】解：如图，过点B作1CD于点H,设FH=%.

•••四边形ABCD是平行四边形,

■1•AB=CD=5,

vS平行四边形ABCD=3Q=CD.BH,

•••BH=6,

BE+BF=J62+(5—x)2+V62+x2,

欲求BE+BF的最小值，相当于在x轴上找一点M(x,O),使得M到K(0,6),/(5,6)的距

离和最小，

如图，作点K关于x轴的对称点K',连接/K咬X轴于点连接KM,此时KM+的

值最小，最小值=线段/K'的长.

oX*"工

•；K'(0,-6),/(5,6),

•••JK'=V52+122=13,

・•.BE+8尸的最小值为13,

:BEF的周长的最小值为13+5=18,

故答案为：18.

如图，过点B作BH_LCD于点4,设尸H=x,由勾股定理可得，BE+BF=

V62+(5-x)2+V62+x2,欲求BE+8F的最小值，相当于在x轴上找一点M(x,0),

使得M到K(0,6),/(5,6)的距离和最小，如图，作点K关于x轴的对称点K',连接/K'交

X轴于点M,连接KM,此时KM+MJ的值最小，最小值=线段/K'的长.

本题考查轴对称最短问题，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思

考问题，属于中考填空题中的压轴题.

15.【答案】解：由2x+3>5(x-3),得：x<6,

I.X-54X—3/Y4日、r

由工------<1,得：%>-3,

则不等式组的解集为一3<x<6.

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取

大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

16.【答案】解：(1)原式=7元一

''(X-飞4)(三X+4)(，X-4工)(X人+4)、

_3x4-12-24

"(x-4)(x+4)

3(x-4)

(%—4)(%+4)

3

-x+4'

2

盾r(m+2)8m..m+2

X

()小八一L(m-2)0n+2)-(7n-2)(m+2)」m(m-2)

m2+4m+4—8mm+2

“x,

(m—2)(m+2)m(m—2)

2

~~.(m—2)，x，，m+2，

(m—2)(m+2)m(m—2)

]

-m+2，

当m=鱼时，

面-t一]_2一遮_2--

小V2+2-(e+2)(2-夜)-2

【解析】(1)先通分后计算即可.

(2)先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法计算，最后代入求值即可.

本题考查分式的减法和分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则.

17.【答案】解：(1)告=笔，

\/x-1x2-l

42x-6

--=--------，

x-1(x+l)(x-l)

方程两边都乘(x+l)(x-1),得4(x+1)=2x—6,

解得：x=—5,

检验：当％=—5时，(%+l)(x-1)40,

所以x=-5是原方程的解，

即原方程的解是x=-5；

(2)奇-W1,

方程两边都乘(x+2)(x-1),得2x(x-1)-%(%+2)=(x+2)(%-1),

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解得：x=l，

检验：当x=|时，(x+2)(x-1)#0,

所以久=|是原方程的解，

即原方程的解是x=|.

【解析】(1)方程两边都乘。+1)(%-1)得出4(x+l)=2x-6,求出方程的解，再进

行检验即可；

(2)方程两边都乘Q+2)(x-1)得出2x(x-1)-x(x+2)=(x+2)(x-1),求出方程

的解，再进行检验即可.

本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.

18.【答案】解：如图，点P即为所求.

【解析】作44cB的角平分线交A8于点P,点P即为所求.

本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用

所学知识解决问题.

19.【答案】证明：如图，连接8。交AC于O,

••・四边形ABCD是平行四边形，

••・0A=0C,OB=0D,

-AF=CE,

:・AF-0A=CE—0C,

BPOF=OE,

vOB=OD,

四边形EBFD是平行四边形.

【解析】连接8。交AC于O,由平行四边形的性质得04=OC,OB=0D,再证。尸=0E,

即可得出结论.

本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

20.【答案】解：(1)设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元,

根据题意得:｛然瑞二罂，

甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元；

(2)设购买m个甲种笔记本，则购买(100-m)个乙种笔记本，

•••甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，

:.m>3(100—m),

解得m275,

设所需费用为w元，

•••w=5x0.9m+3X0.9(100—m)=1.8m+270.

v1.8>0,

w随m的增大而减小，

*m=75时，w最小，最小值为1.8x75+270=405(元)，

此时100-m=25,

答：购买75个甲种笔记本，购买25个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元.

【解析】(1)设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，可得：

CM：；'；二即可解得甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元；

(2)设购买机个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，可

得m275,设所需费用为卬元，w=5x0.9m+3x0.9(100-m)=1.8m+270,由

一次函数性质得购买75个甲种笔记本，购买25个乙种笔记本，所花费用最低，最低费

用是405元.

本题考查二元一次方程组,一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意,

列出方程组，不等式及函数关系式.

21.【答案】解：设购进的第一批医用口罩有x包，则

4750_7500

x-(1+50%)无一

解得：x=50.

经检验％=50是原方程的根并符合实际意义.

所以(14-50%)久=75.

答：购进的第二批医用口罩有75包.

【解析】设购进的第一批医用口罩有x包，根据“每包口罩的进价比第一批每包口罩的

进价多0.5元”列出方程并解答.

本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

22.【答案】⑴证明：

:.Z-ACD=Z.BAC,

•・・4C平分4BAD,

••・Z.BAC=Z.DAC,

••・AD=CD,

第14页，共18页

•・,AB=AD>

・•・AB=CD,

-AB//CD,

・・.四边形ABCD是平行四边形，

vAB=AD,

二平行四边形ABC。是菱形；

(2)解：•••四边形ABC。是菱形，AADC=120°,

AC1BD,OA=OC,OB=OD,/.DAB=60°,4CAB=-/.DAB=30°,

2

AC=2CE=6近,AB=2BO,

：.AO=BO=3V3,

•••AB2=AO2+BO2,

•••4BO2-BO2=27,

••.BO=3(负值舍去)，

:.BD=6,

•••菱形ABCD的面积=^xACxBD=18K.

【解析】(1)先证CD=AD=AB,则四边形ABC。是平行四边形，再由4D=4B,即可

得出结论；

(2)由菱形的性质可得AC1BD,OA=OC,OB=OD,乙DAB=60",ACAB=^ADAB=

30°,由直角三角形的性质和勾股定理可求AC,BO的长，即可求解.

本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键.

23.【答案】解：(1)设直线。的解析式为y=kx+b,

•••直线％与直线x轴分别交于点4(1,|)、点C(4,0),

二2+。=1，解得卜=心,

Uk-Fb=0lb=2

直线力的解析式为y=+2；

(2)存在,

,•,直线h：y=gx+1与x轴交于点8,

・・・8(_2,0),

设。。一3+2),F(0,m),

①当AB为平行四边形的对角线时，

-2+1=t+0

••1|+0=T+2+m，

解得

r-2+o=i+1

•••m+0=-L+2+4

I22

解得｛33，

・•・。（-3,今7；

③当AE为平行四边形的对角线时,

第16页，共18页

•••4(1,，2B(-2,0),

ro+1=-2+t

m+-=-it+2+0,

I22

解得｛篇

二。（3》

综上所述：存在，。点坐标为（一1,|）或（一3彳）或（3彳）.

【解析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可；

（2）设0（t,—“+2）,F（0,m）,再分三种情况讨论：①当A8为平行四边形的对角线时；

②当A。为平行四边形对角线时；③当4E为平行四边形的对角线时；利用平行四边形

对角线互相平分的性质求解即可.

本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平

行四边形的性质，分类讨论是解题的关键.

24.【答案】=+

【解析】解：（1）把△旗£绕点A逆时针旋转90。至△4DG,使得48与AO重合,

贝lJzL4DG=NB=90°,AE=AG,/-BAE=Z.DAG,

AZFDG=180°,即点F、D、G在同一条直线上，

v^BAD=90°,/-EA