2019年数学复习单元评估检测4第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE6学必求其心得，业必贵于专精单元评估检测（四）第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入（120分钟150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z＝eq\f（1＋2i，2－i）(i为虚数单位）,则z的虚部为(）A．－1B．0C．1D．i[答案]C2．若z＝4＋3i,则eq\f（\x\to(z）,|z｜）＝()A．1B．－1C。eq\f(4，5)＋eq\f（3，5）ID．eq\f(4，5）－eq\f（3，5)i[答案]D3．若复数z满足(1＋i）z＝2，则z的虚部为（)A．－1B．－iC．ID．1[答案]A4．复数z＝eq\f(－3＋i,2＋i）的共扼复数是（）【导学号：79140414】A．2＋IB．2－iC．－1＋ID．－1－i［答案]D5．已知向量a＝（2，4），b＝（－1,1)，则2a＋bA．(5，7)B．（5,9）C．（3,7）D．（3，9）[答案]D6．复数z1＝3＋i,z2＝1－i,则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]D7．设向量a，b满足｜a＋b｜＝eq\r(10），｜a－b｜＝eq\r(6),则a·b＝（）A．1B．2C．3D．5［答案］A8．设复数z1＝2sinθ＋icosθeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，4）＜θ＜\f（π,2））)在复平面上对应向量eq\o(OZ1，\s\up7(→）)，将eq\o（OZ1，\s\up7（→）)按顺时针方向旋转eq\f（3，4)π后得到向量eq\o（OZ2,\s\up7(→)),eq\o（OZ2,\s\up7(→))对应的复数为z2＝x＋yi(x,y∈R），则eq\f(y，x)＝()A.eq\f(2tanθ＋1，2tanθ－1） B．eq\f(2tanθ－1,2tanθ＋1)C。eq\f(1,2tanθ＋1） D．eq\f(1，2tanθ－1）[答案]A9．与向量a＝(3,4)同方向的单位向量为b，又向量c＝(－5，5），则b·c＝()A．（－3，4) B．(3，－4）C．1 D．－1[答案]C10．如图4­1，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是(）图4。1A。eq\o(AC，\s\up7(→）)＝eq\o（AB，\s\up7（→）)＋eq\o(AD,\s\up7(→）)B。eq\o(BD，\s\up7（→））＝eq\o(AD，\s\up7(→)）－eq\o(AB，\s\up7(→）)C。eq\o（AO，\s\up7(→)）＝eq\f(1,2）eq\o(AB，\s\up7(→））＋eq\f(1，2)eq\o(AD，\s\up7(→）)D。eq\o(AE，\s\up7(→））＝eq\f（5,3）eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o（AD,\s\up7（→))［答案］D11．复数z1,z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z2＝()A．3－2i B．2－3iC．－3－2i D．2＋3i［答案]D12．已知向量a＝（1，m)，b＝(3，－2),且（a＋b)⊥b,则m＝（）A．－8B．－6C．6［答案]D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13．已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点，则eq\o(AE,\s\up7（→))·eq\o（BD，\s\up7（→））＝________。[答案]214．平面向量a＝(1,2)，b＝（4,2)，c＝ma＋b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.[答案]215．已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c＝ta＋（1－t)b,若b·c＝0，则t＝________。[答案］216．对于复数z1,z2，若（z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数eq\f（\r(3)，2)－eq\f(1，2）i的“错位共轭”复数为________.【导学号：79140415】［答案]eq\f(\r（3)，2）＋eq\f（3，2)i三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分）已知A（－1，0），B（0,2)，C(－3，1），eq\o（AB，\s\up7(→))·eq\o（AD,\s\up7（→）)＝5，|eq\o（AD，\s\up7（→））｜＝eq\r(10）.(1)求D点坐标；（2)若D点在第二象限，用eq\o（AB,\s\up7（→))，eq\o(AD,\s\up7(→））表示eq\o(AC,\s\up7（→)）；(3)eq\o(AE,\s\up7（→))＝（m,2),若3eq\o(AB,\s\up7(→））＋eq\o（AC,\s\up7（→）)与eq\o（AE，\s\up7(→）)垂直，求eq\o(AE,\s\up7(→))的坐标．［解](1）D(2，1）或D(－2，3)．（2）eq\o（AC,\s\up7(→))＝－eq\o（AB，\s\up7(→))＋eq\o（AD，\s\up7(→)）.(3）eq\o（AE,\s\up7（→）)＝(－14，2）．18．(本小题满分12分）如图4.2，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上两个三等分点，eq\o（BA,\s\up7(→)）·eq\o（CA，\s\up7（→)）＝4，eq\o（BF,\s\up7(→）)·eq\o(CF，\s\up7(→))＝－1，求eq\o（BE,\s\up7(→))·eq\o(CE,\s\up7(→)）的值。【导学号:79140416】图4。2［解]eq\f(7,8）。19．（本小题满分12分)已知复数z＝1＋i，ω＝eq\f(z2－3z＋6,z＋1)。(1)求复数ω;（2)设复数ω在复平面内对应的向量为eq\o(OA，\s\up7（→）），把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量eq\o（OA，\s\up7(→））的位置，求θ的最小值．[解］（1）1－i.(2）eq\f(5,4）π.20．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2cos\f（A，2)，sin\f(A,2））)，n＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f(A，2)，－2sin\f(A，2)）)，m·n＝－1.（1)求cosA的值；(2)若a＝2eq\r（3),b＝2，求c的值．［解］（1）－eq\f(1,2）.(2)2。21．（本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知向量m＝（cosA，cosB),n＝(a，2c－b），且m∥n【导学号:79140417】（1）求角A的大小;(2)若a＝4,求△ABC面积的最大值．[解］（1)因为m∥n，所以acosB－（2c－b)cosA由正弦定理得sinAcosB－(2sinC－sinB）cosA＝0，所以sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，所以sin（A＋B)＝2sinCcosA,因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinCcosA,因为0＜C＜π，所以sinC＞0，所以cosA＝eq\f(1,2)，因为0＜A＜π,所以A＝eq\f（π,3）。（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以16＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，因此bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，等号成立；因此△ABC的面积S＝eq\f(1,2）bcsinA≤4eq\r(3），因此△ABC面积的最大值为4eq\r(3)。22．（本小题满分12分）已知平面上的两个向量eq\o（OA，\s\up7（→)),eq\o（OB,\s\up7（→)）满足|eq\o（OA，\s\up7(→）)|＝a,|eq\o（OB,\s\up7(→）)｜＝b，且eq\o（OA,\s\up7(→)）⊥eq\o(OB,\s\up7（→))，a2＋b2＝4。向量eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o（OA，\s\up7（→）)＋yeq\o（OB，\s\up7(→））（x，y∈R），且a2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(1，2）)）2＋b2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2）))2＝1.(1）如果点M为线段AB的中点,求证：eq\o（MP,\s\up7（→))＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（1,2）)）eq\o(OA，\s\up7（→））＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（y－\f(1，2）)）eq\o(OB,\s\up7(→))；(2）求|eq\o（OP,\s\up7(→））｜的最大值，并求出此时四边形OAPB面积的最大值．［解](1)因为点M为线段AB的中点,所以eq\o(OM，\s\up7（→)）＝eq\f(1,2）(eq\o(OA,\s\up7（→))＋eq\o(OB,\s\up7（→）））．所以eq\o（MP，\s\up7(→))＝eq\o（OP，\s\up7（→）)－eq\o（OM，\s\up7(→））＝（xeq\o(OA，\s\up7（→）)＋yeq\o（OB，\s\up7（→)）)－eq\f(1,2）(eq\o（OA，\s\up7（→)）＋eq\o(OB,\s\up7(→)）)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2)））eq\o（OA,\s\up7（→）)＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（y－\f（1,2）))eq\o(OB,\s\up7(→）)。(2）设点M为线段AB的中点，则由eq\o（OA，\s\up7(→))⊥eq\o（OB，\s\up7(→)),知｜eq\o（MA,\s\up7(→))|＝|eq\o(MB,\s\up7（→）)｜＝|eq\o(MO,\s\up7(→))｜＝eq\f（1,2)｜eq\o（AB，\s\up7(→））｜＝1。又由(1）及a2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（1,2））)eq\s\up7(2)＋b2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(y－\f（1，2))）eq\s\up7(2)＝1，得｜eq\o(MP，\s\up7(→)）|2＝｜eq\o(OP,\s\up7(→)）－eq\o（OM,\s\up7（→））|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f（1,2)））eq\s\up7(2）eq\o（OA,\s\up7（→)）2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（y－\f（1，2））)eq\s\up7(2)eq\o(OB，\s\up7(→)）2＝a2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up7(2）＋b2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（y－\f（1,2)))eq\s\up7（2)＝1。所以｜eq\o(MP,\s\up7（→）)｜＝｜eq\o(MA,\s\up7（→))|＝|eq\o（MB,\s\up7（→））｜＝|eq\o（MO,\s\up7(→))｜＝eq\f（1，2)|eq\o（AB,\s\up7（→))｜＝1，所以P，O，