2022届中考数学压轴题及答案解析

2022年中考数学压轴题

1.如图，在平面直角坐标系中，已知”(-2,0),B(0,机)两点，且线段48=2花，以

AB为边在第二象限内作正方形N8CZ).

(1)求点B的坐标.

(2)在x轴上是否存在点0,使△Q/8是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写

出点。的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如果在坐标平面内有一点尸(“，3),使得△N8P的面积与正方形N8C。的面积相

；。=2,

'：AB=2yf5,

由勾股定理得：08=](2代产-22=4,

：.B(0,4)；

(2)分两种情况:

图1

①以Z8为腰，ZBAQ为顶角时，如图1,

AB=AQ=2炳,

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：.Q\(-2-2V5,0),0(2V5-2,0),

②以43为腰，N48。为顶角时，如图1,

4与03关于y轴对称，

・・・03(2,0)；

综上，点Q的坐标是(-2-2V5,0)或(2V5-2,0)或（2,0）,

(3)分两种情况：

①当P在歹轴的右边时，如图2,

作直线/：y=3,直线/交43于//,交y轴于E,

;尸（〃，3）,

・•・点。在直线/上，

过尸作尸G_Ln8于G,

•SyBP=S正方形/BCD，

1

；.iAB・PG=4B2,

2

PG=2AB=4瓜

・・•/〃x轴，

・・・/PHG=/OAB,

rPGOB

/.sinZPHG=sinZOAB,即—=—，

PHAB

4V54

••"777=丁帝，PH=10,

PH2V5

*：EH〃OA,

EHBEEH1

，----=—，即-----=一,

OAOB24

：.EH=I，

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：.PE=10-0.5=9.5,

：.P(9.5,3)即a=9.5：

②当点P在y轴的左侧时，如图3,

：.P(-10.5,3),

.'.a--10.5,

综上，。的值是9.5或-10.5.

2.已知，如图，E为8。延长线上一点，点。是线段/C上一点.

(1)如图1,DF//BC,作QG平分N8D尸交"8于G,DH平分乙GDC交BC于H,且

N8OC比//C8大20°,求的度数.

(2)如图2,连接OE,若N/8C的平分线与NROE的平分线相交于点P,BP交4c于

点、K.

①设N45K=x,NAKB=y,NADP=z,试用x,y,z表示NE；

图1图2

解：(1)设NBCZ)=a,则/8CC=a+20,

.../C8O=180°-ABCD-N8£>C=160-2a,

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FDF//BC,

；・NBDF=NCBD,

VDG平分4BDF,

：.ZBDG=^ZBDF=*/CBD=80-af

，ZGDC=NBDG+/BDC=8G-。+。+20=100,

•・・。4平分NGQC,

/.ZGDH=|ZGZ)C=50°；

(2)①・・,3P平分NZ3C,DP平分NADE,

・•・ZABC=2ZABP=2x,

ZADE=2ZADP=2z,

*/ZACB是△OCE的外角，

AZE=ZACB-/CDE,

在△48C中，N4c3=180°-ABC-ZJ=180°-2x-Z^,

/.ZE=180°-2x-ZJ-(180°-2z)

=-2x+2z-ZJ.

;在△4BK中，N4=180°-ZABK-ZAKB=\S00-x-yf

：.ZE=-2x+2z-(180°-x-j)=2z-x+y-180°；

②•・・N4KP分别是△PKO与△48K的外角，

/.AP=ZAKP-ZADPfNAKP=/4+/ABK,

：.ZP=ZA+ZABK-ZADP=lS00-y-z,

：.ZE=-2x+2z-(180°-x-j)=2z-x+y-180°,

1ii、

V-(ZJ-ZE)(180°-x-j/)(2z-x-by-180°)=180°-y-z,

AZP=1(ZA-ZE).

3.如图，在RtZX/BC中，ZACB=90Q,以斜边45上的中线CZ)为直径作。。，与BC交

于点与Z8的另一个交点为E,过M作MML/8,垂足为M

(1)求证：MN是。。的切线：

(2)若。。的直径为5,sin8=|,求皮＞的长.

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•：OC=OM,

：・/OCM=/OMC,

在RtZVfAC中，CO是斜边45上的中线,

:・CD=%B=BD,

:./DCB=/DBC,

：,/OMC=/DBC,

：・OM〃BD,

♦：MN工BD,

J.OMLMN,

TOM过O,

・・・MN是。。的切线；

(2)解：连接。M,CE,图2

:CO是。。的直径，

：.ZCED=90°,NDMC=90°,

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即£m_8C,CELAB,

由(1)知：BD=CD=5f

・・・M为8C的中点，

3

Vsin^=1,

4

cosB=引

在中，8例=80・cos8=4,

:・BC=2BM=8,

Q9

在Rt/XCEB中，BE=BCsB=等，

：.ED=BE-BD=^32-5=g7.

4.已知NMPN的两边分别与。0相切于点/,B,。0的半径为八

(1)如图1,点C在点4B之间的优弧上，NMPN=80°,求//C8的度数；

(2)如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形/P8C为菱形，N/P8的度

数应为多少？请说明理由；

(3)若PC交。。于点。，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含，•的式子表示).

图1

,：PA,P8为。。的切线，

：.ZPAO=ZPBO=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,

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AZAPB+ZAOB=\SO°,

VZAPB=SO0,

AZAOB=\00°,

/.ZACB=50°；

(2)如图2,当N4PB=60°时，四边形ZP8C是菱形,

连接。4OB,

由(1)可知，N4OB+N4PB=180°,

VZAPB=60°,

AZAOB=120°,

AZACB=60°=NAPB,

•・•点C运动到PC距离最大，

：.PC经过圆心，

9：PA,尸8为O。的切线，

:.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30°,

又♦:PC=PC,

:•△APgXBPC(SAS),

：.ZACP=ZBCP=30°,AC=BC,

：.ZAPC=ZACP=30°,

:・AP=AC,

：.AP=AC=PB=BC,

・・・四边形ZP8C是菱形；

(3)・・・。。的半径为小

.'.OA=rfOP=2r,

：.AP=V3r,PD=r,

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VZAOP=90Q-ZAPO=60a,

二厢的长度==^r,

,阴影部分的周长=以+即+前=V^廿+*=（V3+1+J）r.

5.如图，必为。。的切线，P8C为。。的割线，于点。，△/Z）C的外接圆与8c

的另一个交点为E.证明：ZBAE=NACB.

【解答】证明：连接ON,OB,OC,BD.

'JOA1.AP,ADI.OP,

,由射影定理可得：PA2=PD-PO,AD2=PD'OD.…（5分）

又由切割线定理可得P*=PB*PC,

:.PB・PC=PD,PO,

；.D、B、C、。四点共圆，…（点分）

ZPDB=ZPCO=N（）BC=NODC,NPBD=ZCOD,

JAPBDs^COD,

PDBD八

:.—=—,…（15分）

CD0D

:.BD，CD=PD*OD=AN,

.BDAD

・・布二CD'

又NBDA=NBDP+900=NOZ）C+90°=AADC,

:•△BDAsAADC,

:./BAD=NACD,

：.AB是△4。。的外接圆的切线，

：・NBAE=/ACB.

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6.如图，点/为夕轴正半轴上一点,48两点关于x轴对称，过点/任作直线交抛物线y=#

于P,0两点.

（1）求证：NABP=2ABQ；

（2）若点4的坐标为（0,1）,且NP80=6O°,试求所有满足条件的直线尸。的函数

解析式.

【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.

设点/的坐标为（0,/）,则点8的坐标为（0,-Z）.

设直线P0的函数解析式为歹=h十八并设尸，0的坐标分别为（xp,yp）,（x。，J0）.由

'y=kx+t

y=lx2

x2—kx—t=0,

PQ

于是%%=_|t,即t=—^xPxQ.

|xp2+£|xp2一|%p%Q|xp(xp-%Q)

BCyP+tXp

于是一二

BD%+t|XQ2+C^XQ2-XpXQ^XQ(XQ-Xp)XQ

PCx”,BCPC

又因为而=一五P’所以访=