2022年6月湖北省普通高中学业水平合格性模拟考试数学试题（解析版）

2022年6月湖北省普通高中学业水平合格性模拟考试数学试

题

一、单选题

1.已知复数z满足z(l-i)=3-i,则|z|=()

A.73B.y/5C.25/2D.回

【答案】B

【分析】根据复数代数形式的除法法则化简复数z,再根据复数模的计算公式计算可得;

【详解】解：因为z(l—i)=3—i,所以z=乎==3+♦；L」=2+i,

l-i+2

所以忖=+12=\[5；

故选：B

2.设集合人={即082(%+1)>2},集合8={也2-3%-10<0},则AcB=()

A.|x|-2<x<3}B,{x|x>3}C.{乂-2<%<5}D.{x[3<x<5}

【答案】D

【分析】先解出集合A,B,再求交集即可.

【详解】解：因为A={x|log«+1)>2},

由合log2(x+l)>2,解得X>3,

所以A={x|x>3},

又因为B={#-3尤-10<0},

由解得-2<X<5,

所以8={》|-2<*<5},

所以Ac8={小>3}C{刘-2a<5}={R3a<5}.

故选：D.

3.己知平面向量)=(—2,1),囚=(3x,x+l),若£1.人则x的值为()

1132

A.——B.-C.-D.-

3525

【答案】B

【分析】依题意可得7B=o,根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；

【详解】解：因为。=(-2,1),b=(3x,x+1)S.a±b,

所以£，B=-2X（3X）+1X（X+1）=0,解得X=g；

故选：B

4.某校高一（6）班有男生30人，女生20人，现采用分层随机抽样的方法从该班级抽

取10人参加“楚天杯”有奖知识竞答，且这10人中要选取2人担任领队，则2名领队中

至少有1名男生的概率为（）

7c4〃13

A.—B.-C.—D.—

1551510

【答案】c

【分析】先按照分层抽样的原理求出男生和女生的人数，再计算领队全为女生的概率，

再根据对立事件求解即可.

【详解】根据分层抽样原理，男生人数为2x10=6,女生人数为4,

领队全为女生的概率尸=寻=祗，”至少有1名男生”与“全为女生”是对立事件,

至少有1名男生的概率为q=1"=1，

故选：C.

5.下列函数的图象关于y轴对称的是（）

v

Arzxe'+e'...e'—e

A./（%）=---2-BD.f（x）=---

x2

C./（x）=ln（f+2x）D.=

【答案】A

【分析】根据偶函数的定义判断即可；

【详解】解：对于A：/（幻=士匚定义域为{》|刀片0},所以

厂

e-*+e*ev+e-t

（-X）X

故/（*）==二为偶函数，函数图象关于y轴对称，故A正确；

厂

对于B：/。）=与£定义域为区，目./（一》）=三£二=一£萨=-/（》），

故/（幻=匚”为奇函数，函数图象关于原点对称，故B错误；

对于C：/。）=1!1■2+2%）定义域为（3,-2）口（0,y）,定义域不关于原点对称,

故函数/（幻=1113+2%）是非奇非偶函数，故C错误;

I1

对于D：/(x)=一r定义域为{xlxwl},定义域不关于原点对称，

X—1

Y4-1

故函数/(%)==是非奇非偶函数，故D错误；

故选：A

6.已知正实数x、y满足x+2y=2,则2的取值可能为()

xy

A.1B.HC.3

235

【答案】D

【分析】利用基本不等式求得，+2的最小值判断.

【详解】解：因为正实数x、y满足x+2y=2,

12if12\.、lf2y2x}

所以一+_=二|_+_(x+2y)=-\5c+-^+一

xV21xy)2^xy)

2%9

5+2,

x匕

2v2xo

当且仅当“=一，即x=丫=;时，等号成立,

xy3

故选：D

7.在正三棱柱48C—ABC中,AA=2AB=2,点M为棱CG的中点，则异面直线AB

与A”所成角的余弦值为()

A.—B.—C.—D

534T

【答案】C

【分析】作出异面直线AB与AM所成角，利用余弦定理求得该角的余弦值.

【详解】根据正三棱柱的性质可知AB//A4，

所以是异面直线AB与A”所成角，设N4AM=a,

在三角形AgM中，44=1，4"=4"=血，

由余弦定理得cosa=.

2xlxV24

故选：C

8.设。、Z?eR,记P：a-b<0,4：Ina<InZ?,则。是4的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：当。<0/<0时，ln〃』n〃无意义，故不充分；

当lna<ln/>时，因为y=lnx在（0,+ao）上递增，则a</>,即。一6<0,故必要,

故选：B

9.已知函数/（x-l）的定义域为[-2,1],则函数〃2x+l）的定义域为（）

11「31

A.-2,——B.[-3,0]C.--,0D.[—2,1]

【答案】A

【分析】根据抽象函数定义域计算规则计算可得；

【详解】解：因为函数/（x-l）的定义域为[-2,1],

即一24x41,所以一34X—140,令一342X+140,解得一24x4—g,

所以函数〃2x+l）的定义域为-2,-1；

故选：A

10.方程e*-2x-3=0的正实数根所在的区间为（）

A.（小）B.何C.（|,2）D,（2,3）

【答案】C

【分析】根据零点存在定理判断即可.

【详解】解：令f(x)=e，—2x-3(x>0),

/(l)=e-5<0,/(2)=e2-7»2.72-7=7.29-7=0.29>0,

所以函数的零点在(1,2)内，

又因为心=”一6=后-底〈后一底=后-底<0,

所以函数的零点在(T，2)内.

故选：C.

11.已知tan8=—2,贝!Jsin凶一cos2。的值为()

A.--B.-C.-

435

【答案】D

【分析】利用同角关系计算即可.

【详解】tan0=S'n=-2,/.sin0=-2cos^,sin20+cos20=l,cos20=—

cos，5

sin2〃一cos2〃=2sin，cos，一（2COS?=-6cos20+1=-1；

故选：D.

12.在矩形ABCD中，点E为边A。的中点，点加为对角线AC上一点，且AM=2MC,

记AE=p,CD=q,则AM=()

4一2—4—2—4—2—4—2―

A.——p——qB.—p+—qC.—p——qD.——p+-q

33333333

【答案】c

【分析】作图，根据图中的几何关系，将通，而作为基底即可.

【详解】如图：

故选：c.

13.某高校数学与应用数学专业计划招收190名本科新生，现有1000名考生达到该校

最低录取分数线且均填报了该校数学与应用数学专业，该高校对这1000名考生组织了

一次数学学科能力测试（满分100分），按成绩由高到低择优录取，并绘制了考试成绩

的频率分布直方图，据此可以估计该校数学与应用数学专业的最低录取分数线为（）

频率

A.86分B.87分C.88分D.90分

【答案】B

【分析】根据录取率为0.19,利用频率分布直方图求解.

【详解】解：设该校数学与应用数学专业的最低录取分数线为X,

由题意得（90-X）X0.03+0.01X10=0.19,

解得x=87,

故选：B

14.现有甲、乙两个不透明的盒子，里面均装有大小、质地一样的红球和白球各1个，

从两个盒子各取出1个球，记事件A为“从甲盒子中取出红球”，记事件B为“从乙盒子

中取出红球“，记事件C为“从两个盒子中取出的球颜色相同”.下列说法正确的是（）

A.A与B,A与C均相互独立B.A与5相互独立，A与C互斥

C.A与5,A与C均互斥D.A与B互斥,A与C相互独立

【答案】A

【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概念判断即可；

【详解】解：因为事件A为“从甲盒子中取出红球”，事件8为“从乙盒子中取出红球”，

所以事件A与5相互独立，且P（A）=g,P（B）=g,

事件A与事件B可以同时发生，故事件A与事件8不互斥，

又P（C）=H+1期刊今

所以P(AC)=；x；=；，即尸(AC)=P(A).P(C),

所以事件A与事件C相互独立，

故选：A

15.将函数/(x)=sin(2x+9)(M|<]]的图像向右平移?个单位长度后得到的函数图像

关于y轴对称，则实数夕的值为()

兀c乃C\冗r兀

A.-B.-C.—D.-

34126

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出平移后的解析式，再利用正余弦函数的性质列式作答即可.

【详解】依题意，平移后所得图象对应的函数解析式是：

TT24

/(x)=sin[2(x-y)+^]=sin[2x+(夕---)],

因函数/(x)的图象关于y轴对称，即函数/(x)是偶函数，

因止匕，(P——=kjr——,keZ,即9=+工■，&eZ,而|夕|<彳，所以8=

32626

故选：D.

二、多选题

16.下列函数，在区间(g,+8)上单调递增的是()

A./(x)=|ln(x+l)|B./(x)=1

C./(x)=p-2|D./(x)=2'j2

【答案】ABD

【分析】根据基本初等函数和其复合函数的性质，逐项分析即可.

/、।/xi/、「ln(x+l),x>01

【详解】对于A,/(x>lnx+1,x=,/,八，当时是增

、,।、717I-ln(x+l),-l<x<02

函数;

对于B,/(*)=早2—?5=1+总-4，由反比例函数的性质可知，当时是1增函数;

对于c,7(x)=|er-2|,由于1<2，当时，〃x)=2-e*是减函数;

对于口，〃耳=231,二次函数y=/-x-2的对称轴是:，当时，y=/_x_2

/2

是增函数，所以“X)也是增函数;

故选：ABD.

17.设。、6是两条不同的直线，a、夕是两个不同的平面，下列说法错误的是()

A.若bua,则a_LaB.若a〃夕,bu。,则/?〃a

C.若aua,bu)3,a-L£,则。_L。D.若a_La,a//P,则

【答案】AC

【分析】根据线面、面面关系的性质定理与判定定理一一判断即可：

【详解】解：对于A：若。1，，bua,则a_La或a〃a或aua或。与a相交不垂直,

故A错误；

对于B：若a/啰，bu夕，根据面面平行的性质可得6〃。，故B正确；

对于C：若aua,bu/3,al/3,则。_L:或或。与人相交或。与匕异面，故C错

误；

对于D：若。_1夕，allp,根据面面垂直的判定定理可得a故D正确；

故选：AC

18.己知函数八》)=1°8](-苫+2)-1。8式》+4),下列说法正确的是()

2

A.函数的定义域为(T2]

B.函数/(x-l)为偶函数

C.函数〃x)的单调递增区间为(-1,2]

D.函数〃x)的图像关于直线x=-l对称

【答案】BD

【分析】先求出/(X)的定义域，再对/(X)化简，根据对数函数和其复合函数的性质

逐项分析即可.

/\[-x+2>0/v

【详解】“X的定义域为：“八，.•“€<2,

/[x+4>0\/

〃x)=log,(-x+2)-log2(x+4)=-log2(-x+2)-log2(x+4)

2

=-log2(-x?-2x+8)；

对于A,错误；

对于B,/(x-l)=-log2(-x+3)-log2(x+3),

/(-x-l)=-log2(x+3)-log2(-x+3)=/(x-l)是偶函数，正确；

对于C,x=2不在定义域内，错误;

对于D,二次函数y=-V-2尤+8的对称轴是广-1,Af(x)是关于广-1对称的，正

确；

故选：BD.

三、填空题

19.函数y=2sin(2x-W)的单调递减区间为.

【答案】k?iA---,kjrT----,ksZ

L1212J

【分析】由题意利用正弦函数的单调性，求得该函数的单调减区间.

TT

【详解】对于函数y=2sin(2x-[),

令2k乃+5弱2k万+：,kwZ、

求得幺乃+包领k+

1212

可得它的单调递减区间为枕兀+普，加+答]，keZ,

故答案为k兀+五，左兀k&Z.

【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，

属于基础题.

20.在三棱锥P-A3C中，侧棱巴、PB、PC两两垂直，24=2,PB=6PC=3,

则该三棱锥的外接球的表面积为.

【答案】16兀

【分析】将三棱锥P-ABC补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体

的对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积.

【详解】将三棱锥P-ABC补全为长方体，

则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R,

则4/?2=(2/?)2=PA2+PB-+PC1=22+(6产+32=16,

所以球的表面积为5=4兀/?2=16兀.

故选答案为：16兀.

B

21.已知平面内两个向量z=（2k,i）,TO,若£与B的夹角为钝角，则实数左的取

值范围是.

【答案】（e,-l）U（T,（））

【分析】当两向量的夹角是钝角时，其数量积是负数，但必须排除两向量反向（夹角为

180°）.

【详解】由题意，^=2^+|<0,.^<0,

竺」

当£花反向时，有1k<,解得人=-1,

2

的取值范围是（―,-l）U（-1,0）；

故答案为：（口,-l）U（—l,0）.

22.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数依次记为〃?、”，则使得函数

/（幻=/_,冰+〃一3在区间（2,+8）上不单调且该函数与旷轴交点的纵坐标大于1的概

率为.

【答案】|

【分析】先求出满足题意的相，”的范围，再求出在所求范围内的数对（加,力的概率即

可.

【详解】对于函数=f-m+〃-3,欲使得在（2,+8）上不单调，并且与y轴交

点的纵坐标大于1,

n-3>1

则必须|机，即"1>4,”>4,

—>2

I2

由于m/e{l,2,3,4,5,6},数对（根,〃）共有36对，即基本事件为36,

满足机>4,w>4的有（5,5）,（5,6）,（6,5）,（6,6）4种，.二〃?>4,”>4的概率为之=?；

369

故答案为：".

四、解答题

23.已知平面向量£=（2cos6,g-sin可，5=（&in®,2）,记函数/（6）=£2+加.

⑴若/图=6-1,求〃?的值；

（2）求函数/（。）的对称轴方程、单调递减区间和最小值.

【答案】⑴-1

（2）对称轴为e=,单调递减区间为（觊•，氏+2万

（AeZ）,最小值为

-2+m

【分析】（i）根据数量积坐标运算法则计算出/（。）的解析式，将。=?代入即可;

（2）用整体代入法直接对/（。）分析即可.

【详解】⑴2石=2百sinecose+2(；-sin*)=6sin2e+cos2e=2sin(2e+?),

2

/⑻=2sin(26+方+m,

71717t

将"5代入’/2sin+m=6-l,/w=-l；

26

⑵由于〃e)=2sin(2e+?+m,对称轴为26+巧=6乃+卜，6=3万+卜（左£2）,

7T37r

当261+工e2k7r+-,2k^+时，单调递减,

6I22

2"

单调递减区间为版■+7,而+（ZwZ）,最小值为・2+m；

k71（hZ）,单调递减区间为,乃+*腐+笄

综上，%-1,对称轴为6=—4+一

26

(^eZ),最小值为-2+m.

24.在四棱锥P—ABC。中，底面A3CO为矩形，PA=PB,平面平面A8CO,

点M为以>中点.

(1)证明：AB1PM;

(2)若上4=A£>=2/W,四棱锥P-MS的体积为巫，求直线PC与平面ABC。所成

3

角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

8

【分析】(1)取AB的中点。，连接OP、OM,即可得到ABLPO、OM1AB,从而

得到平面POM，即可得证；

(2)令AB=a,即可求出S.4BCO，P0,再根据面面垂直的性质得到P。J■平面ABC。，

连接0C,可得ZPC。即为直线PC与平面A3CD所成角，根据锥体的体积公式求出。，

即可求出cosNPCO,从而得解：

【详解】(1)证明：取AB的中点0,连接OP、OM,

因为PA=PB,所以

在矩形ABC。中，点〃为CO中点，

所以OM〃3C,所以。

又POnOM=。，PO,OMu平面PON,

所以他_L平面POM,尸A/u平面POM,所以ABLPM；

(2)解：令则PA=4)=2AB=2a,

2

所以S,\BCD=2a,，P0=yJpA^-OA=叵，

2

因为