高考第一轮复习不等式的综合应用

年级学科版本课程标编稿老一二审一、考点扫会解一不等式与无能利用重要不等式求特定函数的最值，能利用线性规划求目标函数的常作为数的单调性等综合，选综合出现在解答题利用线性规划求最值是热点，几乎必考，多出现在重要不等式求最值也是热点，三种题105－1010－1710－17二、重难点提一、知识脉络二、知识点线性规z＝f（x，y（f（x，y）＝t（t为参数f（x，y）＝tt取得欲求最值的位置，以确定随堂练习：等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形 解：共有（1，1，1（1，2，2（1，3，3（1，4，4（2，2，2（2，2，3（2，3，3（2，4，4（3，3，3（3，3，4）10C．不等式恒成立、恰成立与有解f(x)0f(x)0D上恒成立DAf(x)0D上恰成立DAf(x)0D上有解DAx的不等式f(xk)0,xa,b，yf(xkg(kg(k)0kf(xk)0h(x)v(k)k

yf(xkg(kg(k)0kf(xk)0分离变量，转化为h(x)v(k)，再由h(x)maxk的取值范围。

直接一元函数y

f(xkxx轴上方的部分。f(xk)0h(x)v(k)yv(kx

yh(xyv(kf(xk)0

f(xk0改造为gx)

hxk)通过观察yg(x)的图（定yg(x)yh(xk)yg(x)的图像有恒在yh(xk)的图像的上方的部分。例如：x2ax10在x0,2时恒成立，则a的取值范围为 答案：a2夯实基例题

所表示的平面区域的面积为（22 B.22

C.3

D.22解答过程在平面直角坐标系中作出不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分可求得 B－1，－C（0，（0，－1（2，－2，

＝1|CD|·|x

1|CD|·|x B

B A＝2例题 劳动力（个煤（吨电（千瓦A394B45已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且只能供电200千瓦，试问该企业如何解答过程：A，Bx吨，yz7x＋12y＝0M（20，24）zA，B2024x例题 x

恒成立，则a的最小值 yx（2）x的不等式：2－x2>|x－a|yx（1）x x(x yx1x解答过程（函x x(x yx1x

，所以a 2222y2x由yx

x2x2Δ＝1＋4（a＋2）＝0a＝－49由图形易得：a<2∴a∈（－4例题4 变量x、y满足3x＋5y－25≤0，设 （2）（2）距离。

由

A15由由

C（1，1B（5，2

55

z＝x2＋y2O的距离的平方。结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29∴2≤z≤29。厚积薄

x2y3例题 已知变量x,y满足约束条件x3y30，若目标函数zaxy（其 y1a0）仅在点(3,0处取得最大值，则a的取值范围为＿＿＿＿＿＿解答过程：依据约束条件，作出可行域，如zaxy（a0）仅在点(3,0x2y30k1>直线axy0k又

1，

12故答案为a2

a2点评本题为含参数的线性规划问题此类问题有时平面区域不定有时目标函数不定k1k2注意是仅在点(3,0处取得最大值，所以等号不可取，若去掉“仅”字，则等号可取。要注意ABC211123例题2 要将两种不同的钢板截成A、B、C三ABC211123思路导航：先列出不等式组，画出平面区域，但要注意寻找整数的最优解解答过程：xy2xyx2yx3yAx3y

2xy15A（5，5）此时，z＝5

xy解方程组2xy15B（3，9xy

，解方程组x3y27C（223≤x≤2，（3，9（4，8，例题 f（x）（－x2ax·e－x（x∈Ra＝－2f（x）f（x）在（－1，1）a思路导航求导后解具体的不等式即可（2）结合导数可转化为不等式恒成立问题（1）f′（x）＝（－2x－2）·e－x－（－x2－2x）·e－x2（x－f′（x）<0，得－2<x<f（x）的单调减区间是（－2，（2）x2－（a＋2）x＋a≤0x∈（－1，1）上恒成立，（1－x）a≤2x－x2，x∈（－1，1，1－1－x 1 1所以 （1－xx（－11x

3故 （3）f（x）Rf′（x）＝0至多有一个实数根，x2－（a＋2）x＋a＝0无实根或有两相等实根，Δ＝（a＋2）2－4a≤0a4＋4≤0不成立。f（x）R上不可能为单调函数。点评：本题为导数、函数、不等式的综合题，属常规题型，为中高档（1）中也f(x)0f(x不恒为零，对于本问来讲，两者没有差别，因为f(x0a的取值范围中，区间端点的开闭就一定要区分开了。第（3）问＝（a＋2）2－4a≤0例题 已知fxa2x1x3,x2,2,a为正常数2可以证明：定理“a、bRab2

（ab时取等号推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明若fx0在0,2上恒成立，且函数fx的最大值大于1a的取值Dxx2,且x4k2kNgxx2,2时，gxfx，xDgxx1为首项的等差数列。（1）（2）解答过程（1）a、b、cRabc3abc（abc3号（2）fxa2x1x3xa21x20在0,2上恒成立，即a21x2在

2∵1x20,2，∴a22，即a 22

3x2a2

x2a2

x2 2

12

12

2a2 f

x

x2

x2

x2a21x2x2

6a3fmax

a31a3

36 36

a 226 2226x6a0,2a3

6 综上，得a

6（3）依题意，只需构造以4x4k2,4k2kNx4k2,2gxgx4kfx即gxa2x4k1x4k3x4k2,4k2kN2（2）a讨论，比较麻烦，用（）3为开放性题，当然答案并不唯一。（江苏已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，clnbaclnc，b的取值a围 解答过程：条件5c3ab4ca，clnbacln

cc

ec3xyyxy ，

yx（x，y（如图y=ex的切线的斜率ePx0，y0y=exmm0y0ex0m=emm=0 yPx，y处，为ePx

y=exAB 当（x，y）对应点Cy=4

5y=20

y=7xy=7y=5 4y=20 y的最大值在C7xy的取值范围为e，7，即b的取值范围是e，7 高考第一轮复习——统计与统计案一、预习新如何阅读、制作频率分布直方图与茎线性回归分析的步骤是什么？涉及哪些二、双基自为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进量，下列说法正确的 总体是 B.是每一个学样本是40名学 D.样本容量是答案 ①总体中的数不多时宜用简单随机抽样法④整个抽样过程中，每个被抽取的概率相等(有剔除时例外B. C. D.某商品销售量y(件)与x(元/件)负相关，则其回归方程可能是 B. C. D.解析：x，y不能为负数，CA.答案2×2ab则表中a，b的值分别为 A. B. C. D.解析：∵a＋21＝73，∴a＝52，又答案在一项打鼾与患心脏病的中共了1671人经过计算K2的观测值k＝27.63， 解析：k＝27.6399%的把握说打鼾与患心脏病有关．

（答题时间：60分钟下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的点是 A. B.（－1，1）C.（－1，3）D.22

表示的平面区域的面积是（242

C.

D.x2yxy满足约束条件2xy4xy

则目标函数z3xy的取值范围是 3,2

2xy3*4.若直线y＝2x上存在点（x，y）满足约束条件x2y30m A. B. C.2

xD.年产量/年种植成本/41.20.5560.90.3*5.某农户计划种植黄瓜和，种植面积不超过50亩，投入不超过54万元，假设年产量/年种植成本/41.20.5560.90.3 （）A. B. C. D.*6.若实数a(02时，不等式(a2)x22(a1)x40x A.

B.

,21,

**7.若a0b0，且当

xy

axby1abP(axy所成的平面区域的面积

2**8.P(a,b)与点Q（1，0）在直线2x3y10（1）2a3b1a0baa2Ma2

Ma0a1，b0时

的取值范围为（－,1

确命题的个数有 ）A. B. C. D.

(a ( 若不等式x2kxk10对x(1,2)恒成立，则实数k的取值范围 **11.已知0x1，0y2，3yz2xyz1，则函数F2x6y的最大值 *12.已知

（1）z＝x＋2y－4（2）z＝x2＋y2－10y＋25z＝x＋12**13.P＝{x|1≤x≤2}，y＝log2（ax2－2x＋2）Q2P∩Q≠∅a2若方程log2（ax2－2x＋2）＝2在[1，2]a2**14.有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每1. 2. 3.4.Ay＝2xxmy＝2x能m的取值范围。 解析：设黄瓜和的种植面积分别为x，y亩，总利润为z万元，则目标函数z(0.554x1.2x)(0.36y0.9y)x0.9xy1.2x0.9y线性约束条件为xy

xy4x3y即xy

xy4x3y作出不等式组xyA0,50B3020,C045zx0.9y，可知当zx0.9yB3020x30y20时，zzmax48（元 (a2)x22(a1)x40改造为(x22x)a42x2x2将其看做关于 的不等式42x2x2

a(0,

上恒成立的问题，于是(x

2x)242x2x

x2 解析：作出满足条件

xy

的点(x,y的可行域，如图（1）xya0b0，且恒有axby1axby1111 a1且b（2 图 （1）错，应为2a3b10（2）b可看做直线2x3y10a2a2

视作直线2x3y10a2区域的点到原点的距离，有最小值，所以Ma2

M（4）

a2a3b1视作不等式组a0且ab(,

表示的平面区域的点到点（1，0） 解析：由xyz1z1x于是F2x6y4(1xy)2x2y同时3yz2可变为2yx0x0y2yx

2设2m2y2x，则yxm1yB(1,1时，截距m0为最小D(0,2)时，截距m取最大值m2

4A（1，3，B（3，1，C（7，9x＋2y－4＝0x＋2y－4>0C（7，9）代z＝x＋2y－4zmax＝21。过M作直线AC的垂线，易知垂足 段AC上，故z的最小值是 y

1－

x－kQA＝7，kQB＝3z的取值范围为[3，7] （1）P∩Q≠∅1，2]xax2－2x＋2>0在 [2，2]xa>x－x2 又 （x－2）当 ∈ 时 ∈2（2）log2（ax2－2x＋2）＝2在[1，2]2在，所以ax2－2x＋2＝4即 12]内有解