中考数学高频考点二轮专题拔高训练-+圆的综合题及解析

2023年中考数学高频考点二轮专题拔高训练--圆的综合题一、综合题1．已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E（1）如图1，若点B在OP上，则①ACOE(填“＜”，“＝”或“＞”)；②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是；（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转a(0°<α<45°)，如图2，那么(1)中的结论（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转a()，请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式；2．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴正半轴交于点C，已知A（2，0）（1）当B（﹣4，0）时，求抛物线的解析式；（2）O为坐标原点，抛物线的顶点为P，当tan∠OAP=3时，求此抛物线的解析式；（3）O为坐标原点，以A为圆心OA长为半径画⊙A，以C为圆心，12OC长为半径画圆⊙C，当⊙A与⊙C外切时，求此抛物线的解析式．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且AC=CF，连接FB，FD，FD交AB于点N（1）若AE=1，CD=6，求⊙O的半径长；（2）求证：△BNF是等腰三角形；（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BP于点M。求证：ON·OP=OE·OM。4．我们认为，顺次连接公共斜边的两个直角三角形的四个顶点所得的四边形叫做“规正四边形”.如图1，△ABC和△DBC都是直角三角形，且∠BAC=∠BDC=90°，则四边形ABCD是规正四边形.在△ABC中，高线CE和（1）连接DE，如图2.①写出图中所有的规正四边形有；②求证：∠CAD=∠（2）连接BH并延长交AC于点F，如图3.求证：四边形AEHF是规正四边形.5．已知抛物线F1：y=x2－4与抛物线F2：y=ax2－4a(a≠1)．（1）直接写出抛物线F1与抛物线F2有关图象的两条相同性质；（2）抛物线F1与x轴交于A、B两点(点B在点A的右边)，直线BC交抛物线F1于点C(点C与点B不重合)，点D是抛物线F2的顶点．①若点C为抛物线F1的顶点，且点C为△ABD的外心，求a②设直线BC的解析式为y=kx+b，若k+2a=4，则直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．6．如图1，直线l：y=-34x+b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点(0<AC<165).以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO（2）如图2，连结CE，当CE=EF①求证：△OCE∽△OEA②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE⋅EF7．如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O,动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动，设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示：（1）AD边的长为.（2）如图③，动点P到达点D后从D点出发，沿着DB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点P为圆心，PD长为半径的⊙P与DB、DC的另一个交点分别为M、N，与此同时，点Q从点C出发，沿着CD方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点Q为圆心、2为半径作⊙Q.设运动时间为t秒（0＜t≤5）.①当t为何值时，点Q与点N重合？②当⊙P与BC相切时，求点Q到BD的距离.8．如图1，已知⊙O是ΔADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点C，连接AC，BC.（1）求证：AC=BC；（2）如图2，在图1的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A作⊙O的切线AH，若AH//BC，求∠ACF的度数；（3）在（2）的条件下，若ΔABD的面积为63，ΔABD与ΔABC的面积比为2：9，求CD的长9．在正方形ABCD中，点E是CD边上的一个动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交AD（1）如图1，求证：△ABH≌△DAE（2）当点E运动到CD的中点时，连接DF.①求证：FD平分∠HFE②若正方形边长为2，求DF的长.10．如图，点E为正方形ABCD边BC上一点，⊙O是△ABE的外接圆，与AD交于点F.（1）尺规作图，在CD上求作点G，使△ABE～△FDG；（保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下①证明：直线FG与⊙O相切②若AB＝4，DG＝1，求半径OA的长.11．已知：AB与⊙O相切于点B，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BC，BD．（1）如图1，求证：∠ABC＝∠ADB；（2）如图2，BE是⊙O的直径，EF是⊙O的弦，EF交OD于点G，并且∠A＝∠E，求证：DE=DF（3）如图3，在（2）的条件下，点H在CE上，连接EH，FH，DF，若DF＝19，EH＝33，FH＝53，求AB的长．12．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.13．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，CD⊥AB于D，P为AB延长线上一点，∠BCP=∠BCD.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点E是⊙O上一点，∠ACE=2∠BCP，延长CD交BE于F，CF=10.①求CP的长；②若BE=9，求⊙O的半径.14．【阅读学习】刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα=13，求sin2α（1）小娟是这样解决的：如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα=BCAC=13易得∠BOC=2α．设BC=x，则AC=3x，则AB=10x．作CD⊥AB于D，求出CD=（用含x的式子表示），可求得sin2α=CDOC=（2）【问题解决】已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P=β，tanβ=12，求sin2β15．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=10，CH=52．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；（3）在（2）的条件下，求EF的长．16．已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．（1）如图1，当PD∥AB时，求PD的长；（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．

答案解析部分1．【答案】（1）=；AC2+CO2=CD2（2）解：如图2，（1）中的结论②不成立，理由是：连接AD，延长CD交OP于F，连接EF，∵AB=AO，D为OB的中点，∴AD⊥OB，∴∠ADO=90°，∵∠CDE=90°，∴∠ADO=∠CDE，∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，即∠ADC=∠EDO，∵∠ADO=∠ACO=90°，∴∠ADO+∠ACO=180°，∴A、D、O、C四点共圆，∴∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，∴∠EFO=∠AOC，∵△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠DCO=45°，∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，∴OC=OF，∵∠ACO=∠EOF=90°，∴△ACO≌△EOF，∴OE=AC，AO=EF，∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，Rt△DEF中，EF＞DE=DC，∴AC2+OC2＞DC2，所以（1）中的结论②不成立（3）OC-CA=CD2．【答案】（1）解：把点A（2，0）、B（﹣4，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，-4+4b+c=0-16-8b+c=0，∴b=﹣1．c=8，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8（2）解：如图1，设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，把点A（2，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，﹣4+4b+c=0①，∵抛物线的顶点为P，∴y=﹣x2+2bx+c=﹣（x﹣b）2+b2+c，∴P（b，b2+c），∴PH=b2+c，AH=2﹣b，在Rt△PHA中，tan∠OAP=PHAH=3∴b2+c2-b联立①②得，-4+4b+c=0b2∴b=2c=-4（不符合题意，舍）或b=-1c=2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+8（3）解：∵如图2，抛物线y=﹣x2+2bx+c与y轴正半轴交于点C，∴C（0，c）（c＞0），∴12OC=12∵A（2，0），∴OA=2，∴AC=c2+4∵⊙A与⊙C外切，∴AC=12c+2=c2∴c=0（舍）或c=83把点A（2，0）的坐标代入y=﹣x2+2bx+c得，﹣4+4b+c=0，∴b=13∴抛物线的解析式为y=﹣x2+23x+833．【答案】（1）解：解法1：如图1，连接OC，不妨设OC=r，则OE=OA-AE=r-1∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=12CD=12×6=3在Rt△COE中∵OC2=CE2+OE2∴r2=32+（r-1）2∴r=5∴⊙O的半径为5解法2：如图2，连接BC，AC，AD，∵CD⊥AB，AB是直径∴AC=AD，CE=DE=12CD=3∴∠ACD=∠ABC，且∠AEC=∠CEB∴△ACE∽△CBE∴AECE=CEBE∴13（2）解：∵AC=CF∴∠ADC=∠CDF，又∵DE=DE，∠AED=∠NED=90°∴△ADE≌△NDE∴∠DAN=∠DNA，∴∠DAB=∠DFB，∠AND=∠FNB∴∠FNB=∠DFB∴BN=BF，∴（3）解：如图3，连接AC，CN，CO，DO，AD，BC∵MD是切线，∴MD⊥DO，∴∠MDO=90°又∵∠DEO=90°，∠DOE=∠DOM∴△MDO∽△DEO∴OEOD=ODOM∴OD=OE·OM由（2）可知△ADE≌△NDE∴AE=EN，∠DEA=∠DEN=90°即CD垂直平分线段AN∴CA=CN∴∠CAN=∠CNA∴∠CAP=∠CNO∵AC=CF∴∠FBO=∠CBO又∵∠COA=2∠CBO∴∠AOC=∠ABF∴CO∥BF∴∠PCO=∠PFB∵四边形ACFB是圆内接四边形∴∠PAC=∠PFB∴∠PCO=∠CNO，又∵∠POC=∠CON∴△CNO∽△PCO∴NOCO4．【答案】（1）解：①四边形AEDC、四边形BEHD；

②如图4，取AC的中点O，连接OE、OD，

∴在Rt△ADC中，AO=DO=CO，

∴在Rt△AEC中，AO=CO=EO，

∴AO=CO=DO=EO，

∴点A、E、D、C在以O为圆心AO为半径的圆上，

∵∠CAD（2）连接DE，取BH的中点G，连接DG，EG，∴在Rt△BEH中，BG∴在Rt△BDH中，BG∴DG=BG∴点B，E，H，D在以G为圆心EG为半径的圆上，∵∠DBH和∠DEH为圆G中DH∴∠DBH=∠∴∠DBH=∠∵∠DAC+∠∴∠DBH+∠∴∠BFC=∠∵∠AEC=90°又∵Rt△AEH和Rt△AFH有共同的斜边∴四边形AEHF是规正四边形.5．【答案】（1）解：两个抛物线的b都为0，∴抛物线的对称轴都是y轴，顶点横坐标都是0；（2）解：①点C，D分别为抛物线F1，F2的顶点，故C(0，-4)，D(0，-4a)，抛物线F1与x轴交于A，B两点，则A(-2，0)，B(2，0)，故AC=25当a>0时，如图1，依题意得，CD=AC=25则OD=OC+CD=4+25即4a=4+25解得：a=2+52当a<0时，如图2，依题意得：CD=AC=25则OD=CD-OC=25-4即-4a=25-4解得a=2-52故a的值为：2+52或2-②设C(x1，y1)，依题意得，直线BC的解析式为y=kx+b，过点B（2，0），则b=-2k，故BC的解析式为y=kx-2k，由y=kx-2ky=x得x2-kx+2k-4=0，则x1=k-2，y=x2-4=（k-2）2-4=k2-4k，即C的坐标是（k-2，k2-4k），直线CD的解析式为y=mx+n过点D(0，-4a)，则n=-4am(k-2)+n=k则m(k-2)-4a=k2-4k，又k+2a=4，则a=4-k2解得m=k-4n=2k-8又点C异于点B，故k-4≠0，故CD的解析式为y=(k-4)x+2k-8，即y=(k-4)(x+2)，故直线CD恒过点(-2，0)．6．【答案】（1）解：∵直线l：y=-34x+b与x∴-34×4+b=0∴直线l的函数表达式y=-34x+3，∴B(0,3)，在Rt△AOB中，（2）解：①如图2，连接DF，∵CE=EF，∴∠CDE=∠FDE∵∠OAE=2∠CDE，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC=∠ODF，∵∠COE=∠EOA，∴△COE②过点EM⊥OA于M，由①知，tan∠OAB设EM=3m，则AM=4m，∴OM=4-4m，AE=5mOC=4-5m，由①知，△COE∽△EOA，∴OE2∵E(4-4∴(4-4m)2∴25m2∴m=0(舍)或m∴4-4m=4825，∴(（3）解：如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB∵A(4,0)，B∴OA=4，OB∴AB=5∴12∴OG=∴AG=∴EG=连接FH，∵EH是⊙O∴EH=2r，∵∠OEG=∠∴△OEG∽△HEF∴OEHE∴OE⋅∴r=85时，OE⋅EF7．【答案】（1）8（2）解：①过P作PH⊥CD于H，连接PN∵PH⊥DN，BC∴DH=HN，∴△DPH∼△∴PDDB=在Rt△BCD中，BD=B∴t10=∴DH=3∴DN=2DH∵CQ=t∴当Q点与N点重合时，CN=CQ∴CD=CN解得t=30∴当t=3011时，Q故答案是t=②设⊙P与BC相切与点G，连接PG，过Q作QK⊥BD∴PG⊥BC，PG∵PG∥CD，∴△BGP∼△∴BPBD=∴BP10=∴BP=5∴BD=BP∴53t解得t=15∴PD=CQ∴DQ=CD∵QK⊥BD∴∠DKQ=∠∵∠KDQ=∠∴△DKQ∼△∴KQBC=∴KQ8=∴KQ=9∴点Q到BD的距离为95故答案是958．【答案】（1）解：∵DC平分∠ADB∴∠ADC=∠BDC∴AC=BC（2）解：连接AO并延长交BC于I交⊙O于J∵AH是⊙O的切线且AH∥BC∴AI⊥BC∴BI=IC∵AC=BC∴IC=12∴∠IAC=30°∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB∵FC是直径∴∠FAC=90°∴∠ACF=180°-90°-60°=30°（3）解：过点D作DG⊥AB由（1）（2）知ABC为等边三角形∵∠ACF=30°∴AB∴AE=BE∴S∴AB=6∴AE在RtΔAEO中，设EO=x，则AO=2x∴A∴(2x)∴x=6，⊙O的半径为6∴CF=12∵S∴DG=2过点D作DG⊥CF∵AB⊥CF，∴CF//DG∴四边形G’DGE为矩形∴GC在RtΔOG'O∴D∴CD9．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=DA，∠BAD∴∠DAE+∠∵BF⊥∴∠AFB=90°∴∠ABH+∠∴∠ABH=∠在ΔABH和ΔDAE中，∠BAH=∠DAB=DA∠ABH=∠DAE∴ΔABH≅（2）解：①当点E运动到CD的中点时，DE连接EH，作ΔDEH的外接圆⊙O∵∠ADC=90°∴EH是⊙O∵BF⊥AE∴∠EFH=∠AFH∴点F在⊙O上∵ΔABH≅∴AH=而正方形ABCD中AD=CD∴DH=1∴DH=DE∴∠DFH=∠DFE∴FD平分∠HFE②若正方形的边长为2，则AD=CD=2，在RtΔADE中，AE=A∴sin∠DAE在RtΔAFH中，FH=AH⋅过D作DG⊥AE于点G，如图，则∠DGF=90°，∴ΔADG∼ΔAHF∴DGHF∴DG=2HF在RtΔDFG中，∠DFG=45°∴DF10．【答案】（1）解：在AE上以点A为圆心，以任意长为半径画圆，交AE于H，交AB于K，再以点F为圆心，以同样长为半径画弧，交FD于I，再以点I为圆心，以KH为半径画弧，交前弧于L，过点L作射线FL交CD与G，则∠DFG=∠BAE，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE=∠FDG=90°，∴△ABE～△FDG；（2）解：①连结OF，∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，根据四边形ABCD为正方形，∴∠BAF=90°，∴∠BAE+∠EAF=90°，∴∠BAE+∠OFA=90°，由作法可得∠BAE=∠DFG，∴∠DFG+∠OFA=90°，∴∠OFG=180°-∠OFA-∠DFG=180°-（∠OFA+∠DFG）=90°，根据切线定义可得FG为⊙O的切线.②连结EF，∵AE为直径，∴∠AFE＝90°又∵∠ABE=∠BAF=90°∴∠ABE=∠BAF=∠AFE=90°，∴四边形ABEF为矩形，∴AF=BE设BE为x∴FD=AD-AF=AD-BE=4-x，∵△ABE～△FDG，∴ABFD=BEDG解得x经检验x=2在Rt△ABE中，由勾股定理AE=AB2∴OA=12AE=511．【答案】（1）证明：连接OB，如图1所示：∵AB与⊙O相切于点B，∴AB⊥OB，∴∠OBA＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠CBD＝∠OBA，∴∠CBD﹣∠OBC＝∠OBA﹣∠OBC，即∠OBD＝∠ABC，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ADB；（2）证明：∵∠A＋∠AOB＝90°，∠A＝∠E，∠EOG＝∠AOB，∴∠E＋∠EOG＝90°，∴∠EGO＝90°，∴OD⊥EF，∴DE=DF（3）解：连接DH、DE，过点D作DM⊥FH于M，DN⊥HE交HE的延长线于N，如图3所示：∵DE=DF∴DE＝DF＝19，∠DHE＝∠DHF，∴DN＝DM，∴Rt△DEN≌Rt△DFM（HL），∴EN＝FM，∵∠N＝∠DMH＝90°，∠DHE＝∠DHF，DH＝DH，∴△DHN≌△DHM（AAS），∴HN＝HM，设EN＝t，则FM＝t，∴33＋t＝53﹣t，解得：t＝3，∴EN＝3，∴HN＝43，在Rt△DEN中，DN＝DE2在Rt△DHN中，tan∠DHN＝DNHN=∴∠DHN＝30°，∴∠DBE＝30°，∴∠ADB＝∠ABC＝∠DBE＝30°，∴∠BCD＝90°﹣∠ADB＝60°，∴∠A＝∠BCD﹣∠ABC＝30°＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝DEBD∴BD＝DEtan∠DBE∴AB＝BD＝57．12．【答案】（1）解：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线（2）解：∵PC=AC∴∠A=∠P∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB∴∠CBO=∠COB∴BC=OC∴BC=AB（3）解：连接MA，MB∵点M是弧AB的中点∴弧AM=弧BM∴∠ACM=∠BCM∵∠ACM=∠ABM∴∠BCM=∠ABM∵∠BMC=∠BMN∴△MBN∽△MCB∴∴BM2=MC·MN∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM∴∠AMB=90°，AM=BM∵AB=4∴BM=∴MC·MN=BM2=813．【答案】（1）证明：连接OC，

∵CD⊥AB

∴∠CDB=90°，

∴∠BCD+∠CDB=90°

∵OC=OB，∠BCP=∠BCD

∴∠OCB=∠CDB

∴∠BCP+∠OCB=90°即∠OCP=90°

∴OC⊥CP，OC是半径，

∴PC是圆O的切线.（2）解：①∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，∠ABC+∠BCF=90°

∴∠A=∠BCF=∠BCP=x，

∵BC⏜=BC⏜

∴∠A=∠E=x，

∵AE⏜=AE⏜

∴∠ACE=∠ABE=2x

∵CD⊥AB，

∴∠BDF=∠CDB=90°

∴∠P=90°-∠DCP=90°-2x，∠CFB=90°-∠ABE=90°-2x,

∴∠P=∠CFB

在△PCB和△FCB中

∠BCF=∠BCP∠CFB=∠PBC=BC

∴△PCB≌△FCB（AAS）

∴CP=CF=10.

②连接A