2022年新高考数学二轮复习（回扣篇）第24练　圆锥曲线的方程与性质

圆锥曲线的方程与性质第24练专项典题精练高考汇编1.(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于A.2 B.3 C.6 D.912345678910111213141516√12345678910111213141516解析设A(x，y)，又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，12345678910111213141516√12345678910111213141516可得a2＋b2＝9. ②由①②可得a2＝4，b2＝5.3.(2019·全国Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆

的一个焦点，则p等于A.2 B.3 C.4 D.8√1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415165.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为12345678910111213141516√解析设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析

方法一依题意，B(0，b)，设P(acosθ，bsinθ)，θ∈[0,2π)，因为|PB|≤2b，所以对任意θ∈[0,2π)，(acosθ)2＋(bsinθ－b)2≤4b2恒成立，即(a2－b2)sin2θ＋2b2sinθ＋3b2－a2≥0对任意θ∈[0,2π)恒成立.令sinθ＝t，t∈[－1,1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，则原问题转化为对任意t∈[－1,1]，恒有f(t)≥0成立.因为f(－1)＝0，12345678910111213141516方法二依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，7.(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：

的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为___.123456789101112131415168解析根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.12345678910111213141516212345678910111213141516所以F1B⊥F2B，如图.所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.12345678910111213141516因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，9.(2021·兰州模拟)由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线

(a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为12345678910111213141516模拟精选√1234567891011121314151610.(2021·湛江模拟)已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y＝2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且|MF|＝6，则p等于A.4 B.6 C.8 D.10√12345678910111213141516解析设M(x0，y0)，11.(2021·合肥模拟)已知椭圆C：

(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于M，N两点，若△MNF2的周长为8，则△MF1F2面积的最大值为12345678910111213141516解析由椭圆的定义可得△MNF2的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8，√12.(2021·太原模拟)已知双曲线的两条渐近线夹角为α，且tanα＝

，则其离心率为12345678910111213141516√解析由题意双曲线的两条渐近线夹角为α，123456789101112131415161234567891011121314151613.(多选)(2021·南通模拟)设A，B是抛物线y＝x2上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是A.若OA⊥OB，则|OA||OB|≥2B.若OA⊥OB，直线AB过定点(1,0)C.若OA⊥OB，O到直线AB的距离不大于1D.若直线AB过抛物线的焦点F，且|AF|＝

，则|BF|＝1√12345678910111213141516√√解析设直线AB的方程为y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，B项，将直线AB的方程代入抛物线方程y＝x2，得x2－kx－b＝0，则x1＋x2＝k，x1x2＝－b，∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－b＝－1，b＝1.于是直线AB的方程为y＝kx＋1，该直线过定点(0,1)，故B不正确；1234567891011121314151612345678910111213141516∴|OA|·|OB|≥2正确；1234567891011121314151614.(多选)(2021·梅州模拟)下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是A.设A，B为两个定点，k为非零常数，

＝k，则动点P的轨迹为

双曲线B.过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若

，

则动点P的轨迹为椭圆C.方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率12345678910111213141516√√12345678910111213141516解析对于A选项，若动点P的轨迹为双曲线，所以P为线段AB的中点，如图所示.12345678910111213141516当AB为圆C的一条直径时，P与C重合；当AB不是圆C的直径时，由垂径定理可得CP⊥AB，设AC的中点为M，所以点P的轨迹为圆，B选项错误；对于C选项，解方程2x2－5x＋2＝0，所以方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确；1234567891011121314151615.(2021·九江模拟)已知离心率为2的双曲线C1：

(a>0，b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，则C1的标准方程为__________.1234567891011121314151612345678910111213141516设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，16.(2021·徐州模拟)已知椭圆C1：

(a>b>0)的右顶点为P，右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C2的顶点与C1的中心O重合.若C1与C2相交于点A，B，且四边形OAPB为菱形，则C1的离心率为____.12345678910111213141516123456789101112131415解析设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，∴8ac＝3b2＝3(a2－c2)，∴3c2＋8ac－3a2＝0，∴3e2＋8e－3＝0，∴(3e－1)(e＋3)＝0，∵0<e<1，16考情分析练后疑难精讲圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题第一问的形式命题，题目常为中档难度.一、圆锥曲线的定义与标准方程核心提炼1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：

(a>b>0)(焦点在x轴上)或

(a>b>0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：

(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或

(a>0，b>0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0).题号134711

二、椭圆、双曲线的性质核心提炼椭圆、双曲线的性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线

(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝

；焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0).②双曲线

(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝

，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).题号25689121416

三、抛物线的性质核心提炼抛物线的焦点坐标与准线方程题号101315

123456易错对点精补1.[T3补偿](2021·酒泉模拟)抛物线y2＝－2px(p>0)的准线经过椭圆＝1的右焦点，则p等于A.2 B.4 C.8 D.12√所以p＝4.2.[T10补偿](2021·宝鸡模拟)设抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线l与y轴的交点为M，P是C上一点，若|PF|＝5，则|PM|等于123456√解析如图所示，过P作PQ垂直于l，交l于Q，不妨设P(x，y)(x>0)，所以y＝4，所以x＝4，即P(4,4)，所以|QM|＝4，1234563.[T9补偿](2021·六安模拟)六安市新建的广播电视发射塔计划于2021年3月竣工，它被誉为六安的“东方明珠塔”，是一个集发射和接收信号、应急指挥、旅游休闲于一体的多功能文化景观塔.发射塔总体高度308米，主要由塔座、塔身、塔楼、桅杆四部分组成.其塔身是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图1)，它的最小口径为2r米，在最小口径上方h米处的口径为4r米，若某同学在平面直角坐标系中绘制出了该双曲线(如图2)，则其渐近线的方程为√123456由题意得a＝r，双曲线又过点(2r，h)，4.[T13补偿](多选)(2021·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点