人教A版数学必修1学案

1.1.1集合的含义

学习目标：

知识与技能：（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法初步了解“G”关系的意义.

过程与方法：学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）.

3、如果用A表示高一（3）班全体学生组成的集合，用a表示高一（3）班的一位同学，b是高一

情感与态度：培养实事求是、扎实严谨的科学态度.（4）班的一位同学，那么a,b与集合A有什么关系？由此可见元素与集合间有什么关系？

学习重点：

集合概念的形成。

学习难点：

4、请你指出下列集合中的元素。

理解集合的元素的确定性和互异性.（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x?=x的所有实数根组成的集合；

学习过程•）

（3）由1〜20以内的所有素数组成的集合；（4）方程x--2=0的所有实数根组成的集合;

（-）自主学习（5）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

阅读课本，完成下列问题：

1、例（3）到例（8）和例（1）（2）是否具有相同的特点，它们能否构成集合，如果能，他们

的元素是什么？结合现实生活，请你举出一些有关集合的例子。

（三）巩固练习

完成课本P5页练习1

2、一般地，我们把研究对象称为„把一些元素组成的总体叫做o（四）当堂检测

3、集合的元素必须是不能确定的对象不能构成集合。

4、集合的元素一定是的，相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素。1、用“w”或“住”符号填空：

5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如o元素通常用小写的拉丁字母表示，如（1）3--.Q（2铲—N;（3）万Q（4）72—R;（5）囱—Z（6）（否）?

6、如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作，读作“7

如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作,读作“N

7、非负整数集（或自然数集J,正整数集,整数集，有理数集,2、集合A：比3的倍数小1的所有的数

有理数集，实数集o（1）5____A,（2）7____A,（3）-10____A.

（二）合作探讨

1、下列元素全体是否构成集合，并说明理由

（1）世界上最高的山（2）世界上的高山。（3）、历的近似值（4）爱好唱歌的人

（5）本届奥运会我国取得优秀成绩的运动员。（6）本届奥运会我国参加的所有运动项目。

2、结合具体例子，请你说明你对集合中元素具有的互异性和确定性的理解。

（五）反思质疑2、试用描述法表示下列集合：

1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；2）所有的奇数；所有偶数；比3的倍数多一的整

1.1-1集合表示法数

学习目标：3）不等式x-10>0的解集4）一次函数y=2x+1图象上的所有的点。

知识与技能：掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）

描述不同的具体问题

过程与方法：发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用。

情感与天都：通过合作学习培养合作精神.

学习重点：集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合思考？请你结合具体例子，试比较用自然语言、列举法、描述法表示集合时，各自的特点和适用对象。

自己举几个集合的例子，并分别用自然语言，列举法和描述法表示出来。

学习难点：难点是集合特征性质的概念，以及运用特征性质描述法表示集合

学习过程

（-）自主学习

阅读课本，完成下列问题

集合的表示方法

1.（三）巩固练习

（1）列举法：把一一列举出来，写在内,用逗号隔开。完成课本P5练习2,3

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内，具体方法在大括号内（四）当堂检测

1、已知A=｛xIx=3k-l,k£Z｝,用“£”或“走”符号填空：

先写上表示这个集合元素的及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖

（1）5A,（2）7A,（3）-10A.

线后写出这个集合中元素所具有的

o2、试选择适当的方法表示下列集合：

｛xellp（x））其中：1）壬是集合中元素的代表形式,211是工—的范围,3）*3）是集合1）由小于8的所有素数组成的集合2）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集

中元素的共同特征,4）竖线不可省略。合；

思考？1、（xlx=3）与｛yly=3｝是否是同一集合？2、｛）"丫=乂2｝与｛（x,y）Iy=x?｝是否是同一3）不等式4x-5v3的解集4）二次函数y=x2-4的函数值组成的集合；

集合？

5）反比例函数y=2*的自变量的值组成的集合；

x

（二）合作探讨

1、用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程X2=X的所有实数根组成的集合：

->

（3）由1〜20以内的所有素数组成的集合;（4）方程x、2H）的所有实数根组成的集合;3、已知-3w｛m-l,3m,m~+1｝,求m的值.

（5）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

我的问题：

(五)反思质疑

例2写出集合{a,b)的所有子集，并指出哪些是它的真子集?

1.2.1集合间的关系

学习目标：

知识与技能：能识别给定集合的子集.集合之间的包含与相等关系

过程与方法：初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，

运用数学语言进行交流的能力0：

例3已知集合人={x|x>b},B={x\x>3}，若则求实数b的范围？

情感与态度：r解集合的包含，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义。

学习重点：子集的概念

学习难点：元素与子集、属于与包含之间的区别

学习过程

(一)自主学习

(1)一般的，对于两个集合A、B,如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素那么集合A

叫做集合B的,记作_或____.当集合A不包含于集合B时，记作

B,用Venn图表示两个集合间的“包含”关系(三)巩固练习

完成课本P7练习

(2)集合与集合之间的“相等”关系，若,则A=B(四)当堂检测

1.用适当的符号填空：

A=8中的元素是一样的-------2，

(1)a__{a,b,c}(2)0____{xI/=0}(3)C____{x^RIx~+l=O),

(3)真子集的概念jo

(4){0,1)__N(5)p)____{xIx2=x](6){2,1)____{xI%2-3x+2=0)

(4)任何一集合都是它自身的:

(5)空集的概念jo记作(7)已知集合A={xI2x-3<34},B={XIxN2},则有:

空集是任何集合的，是任何非空集合的0-4____B-3A{2}BBA

思考？包含关系{a}qA与属于关系。wA有什么区别？试结合实例作出解释。(8)已知集合A=(x|J-1=0},则有：

1____A,{-1}____A,。—A,{-1,1}____A

(9){x|x是菱形}—{x|x是平行四边形}:卜Ix是等腰三角形}—{xIx是等边三角

形}

(二)合作探究2.写出集合{a,b,c)的所有子集，并指出哪些是它的真子集？

例1.观察实例，写出下列集合间的关系。

(1)A={1,3),B={1,3,5,71(2)A={高一全体女生},B={高一全体学

生}

(3)A={x|x是矩形},B={x|x是平行四边形}(4)A=N,B=Q

(5)A={x|x>3),B={xI.x>5),C={xIA>7)(6)A={xI(x+2)(x+l)=O)>B={-1<2)

4、补集:

叫做A在U中的补集，记作..用Venn图表达如图(3)

(五)反思质疑

1.1.3集合的运算

学习目标：

(1)理解两个集合的交集、并集、补集的含义.

(2)会求两个集合的交集、并集、补集.

(3)能使用Venn图表达集合间的运算.

(4)通过复习集合与集合间的关系，对照数或式的算术运算和代数运算，探究集合之间的运算.(二)合作探讨⑶

(5)使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交

1、求下列集合A与B的交集、并集

流的能力

(6)通过直观图的运用培养学生的探索精神.(1)A={4,5,6,8}B={3,5,7,8}(3)

学习重点：集合的交、并、补运算(2)A={x|-Kx<2}B={x|l<x<3)

学习难点：补集的运算.

学习过程

自主学习：2、新华中学开运动会，设A={xx是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}

1、试用Venn图表示集合A,B可能的关系。B={x|x是新华中学高•年级参加跳高比赛的同学},求AAB.

3、设平面内直线J上点的集合为J,直线L2上点的集合为L2,试用集合的运算表示

L1,L2的位置关系.

2、___________________叫做A.B的并集，记作.(读作"A并B").即

AuB=,用Venn图表达如图(1)

4、设1；={xx是小于9的正整数},A={l,2,3},B={3,4,5,6}或CuA,CuB,AnU,

un(AuB)

交集:.,叫做A.B的交集.

记作.(读作"A交B")，BPAnB=.

用Venn图表达如图(2)

5、设全集U={x|x是三角形},A={xx是锐角三角形},B={xX是钝角三角形},求AOB,

3、全集：那么称这个给定的集合

为全密Cu(AkJB)

U

C°A

1.设集合A={xl(x-3)(x-a)=O},B=(xI(x-4)(x-l)=0),求ACB.AuB

（三）巩固练习

2.已知全集U=Ak>B={xGN0<x<10),API((\出)={1,3,5,7},试求集合B.

(四)当堂检测

I、设A={3,5,6,8},B=|4,5,7.8}，求AClB,AUB

2、设A={X|X2-4X-5=0},B={x|x2=l},求AC1B,AUB

3、已知A={xx是等腰三角形),B={x|x是直角三角形),求APIB,ADB.

4.已知全集U={1,2,3,4,5,6,71.人=(2,4,5},8=".3,5,7),求八1'^1，8,((：(/人)。((：08)

5、设集合A={x|2<x<4},B={x|3x-7>8-2x},求ACB.AuB

6、设5={xlx是平行四边形或梯形}.A={xx是平行四边形}.B={xlx是菱形},

C={x|x是矩形}，求CDB,C“B,CSA.

(五)反思质疑

（六）拓展能力

4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域:

{x|a<x<b}{x|a<x<b}{x|a<x<b}{x|a<x<b}

区间类型

1.2.1函数的概念

区间表示

数轴表示

学习目标：

(1)通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上

学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

(2)了解构成函数的要素；

(3)会求一些简单函数的定义域和值域；

(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域{x|2<x<4}{x1<x<2.5}{xx>3}{x|x<4}

学习重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；

区间表示

学习难点：符号"y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；

学习过程数轴表示

(一)自主学习：

1.函数的概念：一般的，我们有：

设A,B是，如果按照某种确定的6使对于集合A中的,

在集合B中都有和它对应，那么就称为从集合A到集合B的

一个函数，记作_______________5.区间的概念

读课本完成下面两个表格。

其中叫做自变量，x的取值范围A叫做,与x的值相对应的y值叫

做_______」函数值的集合叫做函数的o显然，值域是集合B的子

集。将下列集合用区间表示并在数轴上表示

注意：

y=ax+b(aW0)y=ax2+bx+c(aH0)

y=—(kW0)僦以皿泼函骐必(二)合作探讨

X

可以用任意的字母表示,如例1.已知函数f(x)=JTT5+」一

定义域

“y=g(x)”；x+2

0函数符号"Y=f(X)”中2

值域⑴求函数的定义域；(2)求f(-3),f(—)；(3)当a>0时,求f(a),f(a・l)的值。

的f(x)表示与X对应的函数值，3

一个数，而不是f乘x.

2.构成函数的三要素：_______,_________,_________.

3.函数相等:若两个函数的相同，且在本质上也是相同的，则称两个函数相等。

(3)当f(x)=2时,求x的值.

例2.卜,列函数中哪个与函数y=x相等?

(l)y=(Vx)2;(2)y=Vx^；(3)y=;(4)y=—

x

(五)反思质疑

(三)巩固练习

完成课本19页

(四)当堂检测(六)拓展能力

1.已知函数f(x)的定义域[-2,4],求函数f(2x-3)的定义域.

I.求下列函数的定义域：

(l)f(x)=-1—:(2)f(x)=Jl-x+Jx+3-1;(3)f(x)=6

;(4)f(x)="-j

4x+7x~—3x+2x-1

2.已知函数f(x-4)的定义域⑵4],求函数f(x)的定义域.

2.已知函数f(x)=3x2-5x+2,求f(-Ji),f(-a),f(a+3),f(a)+f(3)

3.若函数f(x)=x2+bx+c,且f(l)=0,f(3)=0,求f(-l)的值

4.已知函数f(x)=^——

x-6

(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗？

(2)当x=4时，求f(x)的值；

例1.某种笔记本的单价是5元，买x(x£{l,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用三种表示法表

示函数y=4x).

例2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度儿次数学测试的成绩及班级及班级平均分表:

函数的表示法

1.2.2第一次第二次第三次第四次第五次第六次

■伟988791928895

张城907688758680

赵磊686573727582

学习目标：班平均分88.278.385.480.375.782.6

(1)明确函数的三种表示方法；函数的三种不同表示的相互间转化。请你对这三们同学在高•学年度的数学学习情况做•个分析

(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；

(4)纠正认为“yR(x)”就是函数的解析式的片面错误认识.

学习重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.

学习难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其

图象.

学习过程例3.画出函数y=1x1.

(一)自主学习：

(1)阅读课本15页，三个函数问题在表示方法上有什么区别？

(2)你能说出几种函数表示法的各白优缺点吗？

例4.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里t脖).

已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽

(二)合作探讨

车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.

（五）反思质疑

(三)巩固练习

(六)拓展能力

完成P23页练习

-x2+2x,x>0

(四)当堂检测i.已知m)={i,x=o

—x—1,x<0

1.画出下列函数的图象

(1)求人-1),加1))//6-1)]}

0(x<0)

(l)y=lx-2l.(2)F(x)={(3)G(n)=3n+l,RG{1,2,3)(2)画出函数的图象

1(x>0)

2.如图，矩形的面积为10,如果矩形的长为x,宽为y,对角线为d,周长为1,那么你能获得关于这

些量的哪些函数？

3.一个圆柱形的底部直径是dem,高是hem,现在以vcm3/s的速度向容器内注入某种溶液求容器内溶

液的高度与xcm关于注入溶液的时间ts的函数解析式，并写出函数的定义域和值域。

(4)

(1)请观察上面五个对应各有什么特征

⑵这五个对应中，是否存在儿组对应有共同特征？

1.2.3映射

学习目标：

理解映射的概念；

用映射的观点建立函数的概念2.映射的概念

重点、难点：映射的概念.

学习过程：

(一)自主学习：3.映射观点下的函数概念

1.函数的概念：

(二)合作探讨

例1.下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？

(1)A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系£数轴上的点与它所代表的实数对应；

(2)A={PP是平面直角体系中的点},B={(x,y)|x£R,y£R},对应关系£平面直角体系中

的点与它的坐标对应；

(3)A={三角形},B={x：x是圆},对应关系/.:每一个三角形都对应它的内切圆；

(4)A={xx是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生)，对应关系ft每一个班级都时应班里

的学生.

(5)A=N*,B={O,1}对应法则：B中的元素x除以2得的余数

例2.下列对应中，哪些是A到B的映射？

2.已知集合人={1,2,3,1<},13={4,7,24,22+3。},且2€瓦14€?^€4昨15,映射，认fB,使B中元

素y=3x+l和A中元素x对应,求a及k的值.

(五)反思质疑

例3.设f:AfB是A到B的一个映射，其中A=B={(x,y)Ix,yeR),(x,y)-*(x-y,x+y),求:

(DA中元素(-1,2)在B中对应的元素.(六)拓展能力

(2)在A中什么元素与B中元素(-1,2)对应？

例4.设集合A={a,b,c},B={0,1},试问从A到B的映射共有多少个？

(三)巩固练习：

完成P23页练习

(四)当堂检测

1.已知卜,列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射，并说明理由.

(1)A=N,B=Z,对应法则/为“取相反数”；

(2)A={-1,0,2},B={-1,0,0.5)对应法则“取倒数”；

(3)A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则：“求平方根”；

(4)A={0,1,2,4),8={0,1,4,9,64}对应法则f:a->b=(a-l)2

1.观察函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y二’的图象.

思考：

1）上述图象有什么变化规律？对于白变量的变化，相应的函数值有哪些变化规律？

1.3.1函数的基本性质

学习目标：2）对于y=x2,列出x,y的对应值表，并体会图象在y轴右侧的上升

1,初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，

X.........-3-2-10123.........

2,掌握判断•些简单函数单调性的方法.

3,学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单y=x2

调性概念解决简单的问题；领会数形结合的数学思想方法，培养发现问题、分析问题、解决问题的

能力.

3）在数学上规定：），=/在区间（o,+oo）是增函数，请给出增函数的定义。

4,在函数单调性的学习过程中，学生体验数学的科学价值和应用价值，培养善于观察、勇于探索

的良好习惯和严谨的科学态度.

重点、难点

1,函数单调性的有关概念的理解和证明；

2,利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性.

学习过程：4）增函数定义中“当王时，都有反映了函数值有什么变化？函数的图象有什

（一）、自主学习么特点？

5）增函数的几何意义是什么？［-5,5］上是增函数或是减函数？

6）类比增函数的定义，请给出减函数的定义，并说明其几何意义。结合上面丫=’的图象，完成下面两个问题：1）这个函数的定义域I是什么？2）这个函数在定义域

X

I上的单调区间是什么？

（7）函数的单调性和单调区间的定义是什么？例2物理学中的波利尔定律p=*（A是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积歹减小,

压强。将增大.试用函数的单调性证明之.

（二）合作探究注：归纳按定义证明函数单调性的步骤：

例1、如图，定义在闭区间［-5,5］上的函数y=f（x）的图象，根据图象说出y=f（x）的单调区间,

以及在每一单调区间上，函数y=f（x）是增函数