2023年高考一轮复习精练必备第7讲 函数与方程（解析）

2023年高考一轮复习精讲精练必备

第7讲函数与方程

一、知识梳理

1.函数的零点

(1)概念：一般地，如果函数y=/U)在实数a处的函数值等于零，即贝a)=0,则称竺为函数

y=/(x)的零点.

⑵函数的零点、函数的图像与x轴的交点、对应方程的根的关系：

有零

R--入

陶瑟=/&)而於一

公簪，•实数也J

2.函数零点存在定理

如果函数y=*x)在区间[。，切上的图像是连续不断的，并且式。)次公幺)(即在区间两个端点处

的函数值异号)，则函数y=/(x)在区间(a,份中至少有一个零点，即mxoG(a,。)，於o)=O.

二、考点和典型例题

1、函数零点所在区间的判断

【典例1-1](2022♦天津红桥•一模)函数/(x)=e'+2x-6的零点所在的区间是()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

【答案】C

【详解】

函数.f(x)=e，+2x-6是R上的连续增函数,

/(l)=e-4<0,/(2)=e2-2>0.

可得f。〃2)<0,

所以函数/(x)的零点所在的区间是(1,2).

故选：C

【典例1-2】(2021•山西・太原五中高三阶段练习(文))利用二分法求方程log3X=3-x的近似解，可以取

的一个区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【详解】

解：设/(x)=log3X-3+x,

•••当连续函数/(X)满足/(a)•/(b)<0时，"X)在区间(。,切上有零点，

即方程log,x=3-x在区间(0向上有解，

又(2)=log32-l<0,f(3)=log,3-3+3=l>0,

故/(2)•/(3)<0,

故方程log,x=3-x在区间(2,3)上有解，

即利用二分法求方程log3x=3-x的近似解，可以取的一个区间是(2,3).

故选：C.

【典例1-3](2019•全国•高三专题练习)若〃耳=丁+/-2》-2的一个正数零点附近的函数值用二分法

逐次计算，数据如下表：

川广2/(1.5)=0.625

/(1.25)=-0.984/(1.375)=-0.260

/(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程》3+*2-2*-2=0的一个近似根(精确到0.1)为()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

【答案】C

【详解】

根据二分法，结合表中数据，

由于/0.438)=0.165>0J(14)65)=-0.052<0

所以方程X3+f-2x-2=0的个近似根所在区间为(14065,1.438)

所以符合条件的解为L4

故选:C.

【典例1一4】(2022•天津•静海一中高三阶段练习)已知函数y=/(x)是周期为2的周期函数，且当时

时,〃x)=/-l,则函数尸(x)=/(x)—|lgX的零点个数是()

A.9B.10C.11D.18

【答案】B

【详解】

F(x)=/(x)-|lgR零点个数就是y=/(x),y=|lgX图象交点个数，

作出y=/(x),y=|igR图象，如图:

由图可得有10个交点，

故尸(x)=/(x)-|lgH有10个零点.

故选：B.

A.0B.2C.4D.6

【答案】B

【详解】

令〃x)=e--ei---=0,得e*T_e1=—,

v7x-1x-1

g(x)=仑图象关于(1,0)对称，在(3,1),。,y)上递减.

Zi(x)=ei—,令H(x)=/z(x+l)=e*—e-,，(—x)=e-—ev=—H(x),

所以"(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以〃(力图象关于(1,0)对称，

/i(l)=0,/1(力=。1-3在R上递增，

所以人(力与g(x)有两个交点，

两个交点关于(1,0)对称，所以函数f(x)=ei-ei-3的所有零点之和为2.

故选：B

2、图像零点个数的判定

【典例2-1】（2022•北京•模拟预测）已知函数f（x）=cos2x+cosx,且xe[0,2?t],则/（x）的零点个数为

（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】

由cos2x+cosx=2cos2x+cosx-l=（cosx+l）（2cosx-l）=0

可得cosx=-l或COSX=J,又XE[0,2TI],则尤=兀，或工4,或%=决

233

则/（X）的零点个数为3

故选：C

【典例2-2】（2022.安徽•巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数f则函数

Inx,x>0

g（x）=/[〃x）+2]+2的零点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】

令f=/（x）+2,

当XV-1时，/（犬）=工+，£（-8,-2）且递增，此时，£（-8,0）,

X

当-l<x<0时，/(x)=x+-e(-oo,-2)且递减，此时，©(-<»,0),

x

当0cxe4时，f(x)=lnxe(-oo,-2)且递增，此时/©(-<»,0),

e"

当时，f(x)=lnxe(—2,+oo)且递增，止匕时，e(0,+8),

e-

所以，g(x)的零点等价于⑺与y=-2交点横坐标f对应的X值，如下图示:

由图知：/⑺与y=-2有两个交点，横坐标4=-1、0<r2<i:

当§=一1,即〃x)=-3时，在X€(—T)、(7,0)、(0,J上各有一个解：当即

-2</(x)v—1时，在xe(1,+«?)有.个解.

综上，g(x)的零点共有4个.

故选：B

【典例2-3】(2016•天津市红桥区教师发展中心高三学业考试)函数/(x)=2〃a+4.若在[-2』内恰有一

个零点，则加的取值范围是()

A.[-1,2]B.C.(―oo,—2]U[L+°°)D.[—2,1]

【答案】C

【详解】

解：当”=0时，函数为常函数，没有零点，不满足题意，

所以/(x)=2〃zr+4为一次函数，

因为/(%)=2mt+4在[-2,1]内恰有一个零点，

所以/(-2)〃1)40,即(5+4)(21+4)40,解得/4-2或小27.

故”?的取值范围是(9，―2]U[Lk).

故选：C

当-[<攵■时，有4个零点.

当丁=米+;经过点（6,0）时，k=-f此时在（T,6）上只有3个零点.

318

当1时，有4个零点.

1518

函数（）（）-丘在（，）上有个或个零点.

所以当无时，gx=/x-g-1645

\13loJ

故选：D

【典例2-5】（2022•宁夏银川•一模（理））设函数〃x）=sin"+£|w>0）,己知/（x）在上单

调递增，则〃x）在（0,2乃）上的零点最多有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【详解】

」1c,1n1兀,...,rt2K2k兀11n2kn,„

由---\-2k7vcox-i——W——卜2k兀，kGZ,得-----1-------WxW------1-------,kwZ,

2623。。3。。

Inn

-------W-----

可得-34x4在.若/⑺在上单词递增，则3<y6

取&=0,

。。'’

3364-7-i>—n

[3co~4

解得.若％£（0,2万），则s+工工,23r+工

设I=（OXH,贝。1£一,2,（071H,因为1（071H---€

6\66）6

所以函数…皿在信2初r+2）上的零点最多有2个.

所以“X）在（0,2句上的零点最多有2个.

故选：A

3、图像零点的综合应用

【典例3-1】（2022•安徽•模拟预测（文））已知函数〃x）=[若g（x）=/（x）-a有4个零

-X—2x,xS0

点，则实数”的取值范围是（）

A.（0,1）B.（0,1]C.[0,1]D.[1,同

【答案】A

【详解】

解：令g(x)=/(x)-4=0,得〃x)=a,

在同一坐标系中作出y=/(x),y=a的图象，如图所示:

由图象知：若g(x)=f(x)-a有4个零点,

则实数〃的取值范围是(0,1)，

故选：A

【典例3-2】(2022•黑龙江・哈师大附中三模(文))已知有且只有一个实数无满足/—如7=(),则实数〃

的取值范围是()

A.(-w,2)B.F,――—C.(-oo,2]D.—

【答案】D

【详解】

x=0显然不是x3-ov-1=0的根.所以xw0

因此只有一个实数x满足*3-改_1=0等价于方程。=》2一2只有一个实数根.

X

令/(x)=%2F(X)=2X+4,令/(%0)=2工0+[=()="0=-^7,故可知：

xx%o-y/2

当8,—-y=]H'J',f'(x)<0,此时/(x)单调递减

当xeF=,0时，/(x)>(),此时Ax)单调递增，当xe(0,+8)时，f'(x)>0，此时，(x)单调递增,

且当杵100时，/(x)=K)ooo+上，4100时，/«=i(xx)0--L,当产一工时，/«=-1—+100,当

1UU100]()01CXJOU

户士时，f(X尸^^7°°，故/(X)图像如图:

1()01()(X)0

【典例3-3】(2022・河南安阳•模拟预测(理))已知函数小)=加小工&，>。且的)，若函数

y=/(『(x))-a的零点有5个，则实数。的取值范围为()

A.a=2B.In2<avl或1<。<2

C.0<〃Wln2或lvav2或。=2D.In24avl或。=2

【答案】D

【详解】

解：依题意函数y=/(/(x))-。的零点即为方程/•(〃x))=a的根，

①当0<〃<1时函数的函数图象如下所示:

所以有两个根々，t2(0<z,<l,f2>l),

④当1<。<2时函数/(x)的函数图象如卜所示:

4#'

-1

-2

所以/(，)=4有三个根％，G，G，(0<4<1,々>1,z3<0),

而4=f(x),芍=/卜)，？3=/(可分别对应2、2、0个根，即共四个根，

所以不满足题意；

综上可得实数。的取值范围为ln24a<l或a=2：

故选：D

【典例3-4】(2022•福建三明•模拟预测)已知函数/(》)=加-axlnx-e'有两个零点，则实数。的取值范

围为()

A.(°，()B.(0,e)C.15+8)D.(e,+a>)

【答案】D

【详解】

函数/(力=以2一⑪皿了一/有.两个零点，即-xlnx)-e*=0有两根，X.x2-xlnx=x(x-lnx)>0,

故可转换为a=-^旦一有两根，令g(x)=r~^----则

V-xlnx''x2-x\nx

，/、ex(x2-x\nx-2x+\nx+i}er(x-l)fx-l-lnx),、y-1,、

W=—_7T------3------L='八_令Mx)=x—l-lnx,则/(x)=U,故可力

(尤-xlnx)(x-xlnxjx

在(o,l)上单调递减，在(I,”)上单调递增，<A(x)>A(l)=J当且仅当x=l时等号成立，故在(o,l)I-.

g<x)<0,g(x)单调递减；在(1,+°0)上g〈x)>0,g(x)单调递增，所以gmin(x)=g6=e'又当X—0*

与X-+8