2023年高三复习专项练习：第78练　圆锥曲线小题易错练

第78练圆锥曲线小题易错练

1.已知椭圆行三十S=1，长轴在y轴上，若焦距为4,则加等于（）

A.4B.5C.7D.8

答案D

/??—2>10-/7?>0,

解析由题意得卜（丁2）_（所间4解得I

2.抛物线>=一»的焦点坐标为（）

A.（一0）B.（-4,0）

C.（0,-£）D.（0,-2）

答案D

解析将抛物线方程y=-g2转化为标准方程炉=一8〃可得p=4,号=2,焦点在y轴上,

且开口向下，所以其焦点坐标为（0，-2）.

3.若ab于0,则ox-y+6=0和凉+-2=4，所表示的曲线只可能是下图中的（）

答案C

解析方程可化为y=or+Z>和亍+力=1.从选项B,D中的两椭圆可知“，/?£（0,+°°）,但

由选项B中直线的位置可得a<0,b<0,矛盾，应排除；由选项D中直线的位置可得a<0,

b>0,矛盾，应排除；再由选项A中双曲线的位置可得a<0,b>0,但由直线的位置可得

6>0,矛盾，应排除；由选项C中双曲线的位置可得a>0,X0,和直线中a,b的符号一致.

4.设抛物线C：V=4x的焦点为凡直线/过点F且与C交于A,8两点.若|AF|=3|8F|,

则/的方程为（）

A.y=x—1或y=-x+]

B.尸乎(x-1)或y=-孚x-l)

C.产小(x—l)或y~小(x—1)

啦一啦

D.y=2(x~1)8*4y=—2(x-1)

答案c

解析由抛物线方程V=4x知焦点尸(1,0),准线X=-1,由题意可设直线/：x=my+1,代

入y=4x中消去x,得y2—4/ny—4=0.

设4(xi,yi),8a2,丁2).

由根与系数的关系得，>|+弊=4"?,4.

设yi>0>j2,

U：\AF\=3\BF\,

・•・yi=-3”,

>1"=-4,

解得>2=一6

»=-3口,

：.yi=2事.

yi+丫2亚

',m~4-3

‘直线’的方程为x=3)+1.

由对称性知，这样的直线有两条，即、=±\8(》一1).

5.已知双曲线点一方=1(〃>0,〃>0)的左、右焦点分别为F”Fi，以FiB为直径的圆与双曲

线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为()

答案C

解析以FiB为直径的圆的方程为/+产=落又因为点(3,4)在圆上，所以32+42=/,所

以c=5,双曲线的一条渐近线方程为y=，，且点(3,4)在这条渐近线上，所以q=今又〃+

比2v2

〃=/=25,解得。=3,匕=4,所以双曲线的方程为§•一金=1.

6.阿基米德(公元前287年一公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他

利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆

C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为乎，面积为12兀，则椭圆C的方程为()

A-f+4=1B9+^=1

y2_y2y2

=4丁31十91

答案D

cilm—12兀，

解析由题意可得《2=乎，

、*=•+一,

解得4=4,b=3,

因为椭圆的焦点在无轴上，所以椭圆方程为得+看=1.

7.(2022•唐山模拟)已知点P(in,〃)是抛物线y=一1炉上一动点，则:加2+(〃+1)2+

、(小一4p+(〃+5)2的最小值为()

A.4B.5C.V30D.6

答案D

解析由y=—*,得/=—4y,则/=-4.y的焦点为广(0,-1),准线为hy=\.-\/w2+(n+I)2

+人(,"-4)2+(〃+5)2的几何意义是点P(m,〃)到F(0,-1)与到点A(4,-5)的距离之和，如

图所示.

过点尸作PPi，/,垂足为尸1,过点A作AQi，/,垂足为Q,且与抛物线交于点Q.根据抛物

线的定义知，点P(〃?，")到尸(0,-1)的距离等于点尸(加，〃)到准线/的距离，则|PR+|BM=

\PP}\+\PA\,所以当尸运动到。时，能够取得最小值，最小值为|AQi|=l—(-5)=6.

8.下列三个图中的多边形均为正多边形，图①，②中M,N是所在边上的中点，双曲线均以

图中的尸”巳为焦点，设图①，②，③中的双曲线的离心率分别为幻，C2,03,则()

A.ei>e2>e3B.ei<e2<e3

C.ei=63<e2D.ei=es>C2

答案D

解析在图①中，连接MB,

图①

设国3|=2|"Q|=2c.

n

ZMF\F2=y

，|M&|=V5C,

/.\MF^—\MF\|=2a="73c—c=(y[3—1)c,

：'e，=a=q^\=^+i-

在图②中，连接MB,F1F2,

设|「国|=2°.

(2|MB1)2+(2IA/F11)2=1尸1同2=4c2,

解得|MFI|=¥C.

TT

又；/MFIF2=4.

.•.|MB|2=|MFI/+|FIF2|2—2IMRUQ尸2|COSNMF尸2,解得

一,i~"\/T0/y[10-\[2

.t?4V10+V2

ST®'=2'

在图③中，连接仞f2,F\F1,

F,

图③

设国&|=2|MQ|=2c.

ZMFIF2=X,

A\MF^—\MF\\=2a=y[3c—c=(y[3—l)c,

c2

产产西=小+>

•\e\=e3>e2.

9.(多选)(2022.大连模拟)椭圆C：点+g=l(a>b>0)的左、右焦点分别为尸।和尸2，P为椭圆

C上的动点，则下列说法正确的是（）

A.若a=®则满足NQPF2=90。的点P有两个

B.若a<pb,则满足/QPF2=90。的点尸有四个

a2

C.△PQF2的面积的最大值为彳

D.△PFiB的周长小于4〃

答案ACD

解析记椭圆C的上、下顶点分别为Bi,B2,易知NQPFZWNF山正2=/下出222.选项A中，

/F山尸2=/尸出2月=90。，正确；选项B中，NF向F2=NFIBF2<90：不存在90。的/尸砂巳,

22

错误；选项C中，面积W/I2c"6c<下廿+一c=左a，正确；选项D中，周长金他=

2c+2a<4。，正确.

10.（多选）（2022・济南质检）已知抛物线C：炉=4x的焦点为F,准线为/,过点F的直线与抛

物线交于点P（»,yi）,Q（X2,”），点P在/上的射影为P，则（）

A.若M+X2=6,则|PQ=8

B.以PQ为直径的圆与准线/相切

C.设M（0，1）,则|PM+|PP|N娘

D.过点"（0,1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

答案ABC

解析对于A,因为p=2,所以汨+及+2=/。|,则|PQ|=8,故A正确；对于B,设N为

PQ的中点，点N在/上的射影为Ni,点。在/上的射影为彷，则由梯形性质可得|NM|=

1勿"1。如=|丝|苧丝1=号1,故B正确；对于C,因为F（l,0）,所以IPM+IP尸||=FM+

\PF\^\MF\=y[2,故C正确；对于D,显然直线x=0,y=1与抛物线只有一个公共点.设过

M的直线为>=丘+1,由<,'可得以2+（2左一4）冗+1=0.令/=（2%—4）2—4d=0,

匕2=4心

解得&=1,所以直线y=x+l与抛物线也只有一个公共点，所以有三条直线符合题意，故D

错误.

11.（多选）设抛物线）2=2*（0>0）的焦点为凡点M在y轴上，若线段的中点8在抛物

线上，且点8到抛物线准线的距离为平，则点”的坐标为（）

A.(0,1)B.(0.—2)

C.(O,2)D.(O，-1)

答案BC

解析在尸中，点8为边MF的中点，故点8的横坐标为M因此乎=£+冬解得p

=也，故抛物线的方程为炉=2g,可得点B的坐标为（半，±1）,

故点M的坐标为（0,-2）,（0,2）.

12.已知点尸是抛物线E：y2=2px（p>0）的焦点，O为坐标原点，A,B是抛物线E上的两点，

满足I阿+|FB|=10,FA+FB+Fb=O,则p等于（）

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析设A（M,yi）,8（X2,yi）,由|础+尸8|=10,可得照|+|FB|=xi+?+x2+?=xi+x2+p

=10.©

由成+西+历=0,可得说+西+历=（%1+X2—咨，>[+»）=0,

所以加+及=当.②

联立①②，可得p=4.

13.已知抛物线产=