河北省石家庄市鹿泉区2022年高考适应性考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥外接球的表面积为（）

x-yNO

2.已知x,J满足约束条件x+y42,则z=2x+y的最大值为

”0

A.1B.2C.3D.4

3.如图，在AABC中，AD1AB,BD^xAB+yAC(x,e/?),|A©]=2,且而.而=12，则2x+y=()

A

213

A.1B.一一C.—D.——

334

4.已知。>0,b>0,a+b=1,若a=Q+—,0=b+—,则a+月的最小值是()

ab

A.3B.4C.5D.6

5.等比数列｛4｝的前〃项和为5“，若。“〉0,q>l,%+%=20,a2a6=64,则其二()

A.48B.36C.42D.31

x+y-l>0

6.已知实数X，）'满足不等式组,2x-y+4>0,贝中x+4yl的最小值为（）

4x+y-4<0

A.2B.3C.4D.5

7.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆（X-2了+/=1都相切，则双曲线C的离心率是（）

A.2或域B.2或6C.百或如D.2V5或亚

3232

8.已知i为虚数单位，实数X，）'满足（x+2i）i=y-i,贝！||x—y"=（）

A.1B.y/2C.73D.V5

9.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图.则下列结论中表述不正确的是（）

200020012002200320M200520062007200620092010201120122013201420152016年份

A.从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；

B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；

C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；

D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2,…，7）

建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型夕=99+17件,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为

256.5亿元.

10.已知点6是抛物线C：f=2py的焦点，点工为抛物线。的对称轴与其准线的交点，过F?作抛物线。的切线,

切点为A,若点A恰好在以耳，尸2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A.近也B.V2-1C.如卫D.丘+1

22

11.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示

为两个素数（即质数）的和“，如16=5+11,30=7+23.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等

于20的概率是（）

113

A.—B.—C.—D.以上都不对

141228

12.设团，〃是两条不同的直线，a,〃是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若a工。，mua,nu0,则机_L〃

B.若a///?,mua,nu0,则加〃“

C.若加_L〃，mua，〃u，，则a_L,

D.若m_La,mlln,nllfi,则aJ■广

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2-k|,x<2,

13.已知函数〃x)={/\2函数g(x)=8-,其中人eR,若函数y=/(x)—g(x)恰

(x-2),x>2,

有4个零点，贝必的取值范围是.

14.设函数〃力=<?：4一""<IMI/(-2)+/(log23)=

15.已知函数/(x)=Acos2(6>x+^)+l(A>0,<y>0,0<^<yj的最大值为3,/(x)的图象与y轴的交点坐标为

(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,贝!|/(1)+/(2)+…+/(2015)=

16.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为

778

824468

934

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记

X表示学生的考核成绩，并规定X285为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了

30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：

S0II6

60133458

7I236777K

8I12459

900123'

(I)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率;

(D)从图中考核成绩满足Xe［80,89］的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；

x—85

(UI)记P(aVXKb)表示学生的考核成绩在区间［a,句的概率，根据以往培训数据，规定当<120.5时

10

培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.

18.(12分)为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民

提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米

的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.

(1)求出易倒伏玉米茎高的中位数加；

(2)根据茎叶图的数据，完成下面的列联表:

抗倒伏易倒伏

矮茎

高茎

(3)根据(2)中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K-K)0.0500.0100.001

K3.8416.63510.828

3

19.(12分)在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2C=一-.

4

(1)求sin。的值；

(2)当c=2a,且时，求AABC的面积.

20.(12分)已知函数/(x)=xlnx-tzx2+l,a&R.

(1)若曲线y=〃x)在点(1,7(1))处的切线方程为y=?+〃，求a,b；

(2)当xNl时，f'(x)<ax2-3ax+i,求实数。的取值范围.

21.(12分)如图所示，四棱柱A8CD-A与中，底面ABCD为梯形，AD//BC,NADC=90。，

AB=BC=BB]=2,AD=1,CD=6NAB与=60°.

(D求证：AB1B.C.

(2)若平面ABC。，平面ABgA，求二面角。一片。一8的余弦值.

22.(10分)已知函数/(x)=|x-l|.

(1)解不等式/(x)+/(x+4”8；

⑵若时<1,网<1,"0,求证：f^ab)>\a\f[-}.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

作出三棱锥的实物图P-ACD,然后补成直四棱锥尸-ABCD,且底面为矩形，可得知三棱锥AC。的外接球和

直四棱锥尸-ABC。的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCZ)的外接圆直径AC,利用公式2H=廊口匚花7

可计算出外接球的直径27?,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.

【详解】

三棱锥P-ACP的实物图如下图所示：

将其补成直四棱锥P—ABC。，PS,底面ABCD,

可知四边形ABC。为矩形，且A3=3,BC=4.

矩形ABC。的外接圆直径AC="82+8C）=5,且PB=2.

所以，三棱锥三一ACD外接球的直径为2R=JPG+AC?=屈,

因此，该三棱锥的外接球的表面积为4%R2=»x（2R）2=29%.

故选：C.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型

进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

2.D

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论.

【详解】

作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，

2=2%+），等价于丁=-2工+2,作直线y=-2x,向上平移,

易知当直线经过点（2,0）时z最大，所以Zmax=2x2+0=4,故选D.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.

3.C

【解析】

由题可而•通=0,衣•而=12斯以将已知式子中的向量用反前;表示，可得到的x，y关系，再由B,£),c三

点共线，又得到一个关于x,y的关系，从而可求得答案

【详解】

由8方=》前+丁恁，贝！1

AD=(x+l)AB+yAC,ADAD=AD[(X+AB+yAC]^(x+1)ADAB+yADAC,即4=12y,所以y=g,

又B,£),C共线，则x+l+y=l,x=-g,2x+y=-g.

故选：C

【点睛】

此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.

4.C

【解析】

根据题意，将a、b代入a+£,利用基本不等式求出最小值即可.

【详解】

*.'a>0,b>0,a+b=l,

1,1,1,1u

a+/n?=a+—+8+-=1+—>1+------7=5

/.abab(a+/?Y,

当且仅当a=b=L时取"=”号.

2

答案：C

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”

的内涵：一正是首先要判断参数是否为正：二定是其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是

最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.

5.D

【解析】

试题分析：由于在等比数列｛““｝中，由a2a6=64可得：01a5=44=64,

又因为%+为=20,

所以有：％，“5是方程/一201+64=0的二实根，又。“>0,q>i,所以％<%，

故解得：%=4,%=16,从而公比〃=J四■=2,6=1；

丫生

25-1

那么S5=----=31,

52-1

故选D.

考点：等比数列.

6.B

【解析】

3

作出约束条件的可行域，在可行域内求z=3x+4y的最小值即为|3x+4），|的最小值，作y=-1X,平移直线即可求解.

【详解】

x+y-l>0

作出实数X，）‘满足不等式组，2x-y+4N0的可行域，如图（阴影部分）

4x+_y-4<0

故Zmin=3xl+0=3,

即|3x+4y|的最小值为3.

故选：B

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.

7.A

【解析】

根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率.

【详解】

设双曲线C的渐近线方程为y=kx,是圆的切线得:

得双曲线的一条渐近线的方程为y=—焦点在x、y轴上两种情况讨论:

3

①当焦点在x轴上时有：2=虫,c"+32也

a3a3--亍

②当焦点在y轴上时有：@=走7F+3

2；

b3

...求得双曲线的离心率2或2叵.

3

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想.解题

的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的

值.此题易忽视两解得出错误答案.

8.D

【解析】

,、x=—1

,：(x+2i)i=y-i,-2+xi=y—i,:.s,

[y=-2

则\x-yi\=|-1+2z|=y/5.

故选D.

9.D

【解析】

根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.

【详解】

对于A选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B选项，2000-2004投资总额为

11+19+25+35+37=127亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到

37x4=148,故描述正确.对于O选项，令，=1()代入回归直线方程得99+17.5x10=274亿元，故。选项描述不正

确.所以本题选D.

【点睛】

本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.

10.D

【解析】

根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得A的值，设出双曲线方程，求得2a=||-|AFt

I=(V2-1)P，利用双曲线的离心率公式求得e.

【详解】

直线尸2A的直线方程为：y=kx——F\(0,—)>F2(0,――)»

2t22

22

代入抛物线C：炉=2叫方程，整理得：x-2pkx+p=09

A=4fc2p2-4p2=0,解得：k=±l,

22

：.A(p,勺，设双曲线方程为：与-二=1,

2a2h-

IAFiI=p,IAFiI=个p?+p。=6p,

2a=IAF2I-IAFiI=(V2-DP，

2c=p,

C\

离心率e=—=—j=—=72+1,

aV2-1

故选：D.

【点睛】

本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题.

11.A

【解析】

首先确定不超过2()的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.

【详解】

不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个，

从这8个素数中任选2个，有*=28种可能；

其中选取的两个数，其和等于20的有(3,17),(7,13),共2种情况,

21

故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率尸=-=

2814

故选：A.

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.

12.D

【解析】

试题分析：加"2二制_1&/;川|£,二。，/?,故选口.

考点：点线面的位置关系.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.9

【解析】

2-|x|,x<2,

,••小)=(

x-2)',x>2,

“(2—力产W-4"。

x,x<0

■:函数yMx)-g(x)恰好有四个零点，

工方程於)-g(*)=0有四个解，

即f(x)+f(2-x)-b=o有四个解，

即函数/由好42-幻与y=b的图象有四个交点,

x2+x+2,尤<0

y=/(x)+/(2—x)={2,0叫2,

x2-5x+8,x>2

作函数y=/(x)tA2-x)与y=b的图象如下,

结合图象可知，

7,

一<b<2

49

故答案为

点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求

值，当出现加S))的形式时，应从内到外依次求值.

⑵当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量

的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

9

14.

2

【解析】

由自变量所在定义域范围，代入对应解析式，再由对数加减法运算法则与对数恒等式关系分别求值再相加，即为答案.

【详解】

l+log(2-x),x<l

2，贝！]/(-

因为函数/(x)=2)=1+log?[2-(-2)]=1+log24=3

2r-1,x>l

因为噫

log23>log22=l,U!)/(log23)=2=2,*5=2

39

故2)+/(晦3)=3+5=]

9

故答案为：—

2

【点睛】

本题考查分段函数求值，属于简单题.

15.4030

A+l=3

AAAA

【解析】/(X)=ACOS2(6U¥+^)+1=yCOS(26JtX+2^9)+—+1,由题意，得,/(0)=yCOS2^+y+l=0,

口

——T=—=9z

、22co

A=2

77

解得=~则的…餐+>2=2-喙的周期为4,且/(。)=2"⑴⑵=2"⑶=3,所

4

4

a)=—

乃

以/(1)+/(2)+/(3)+…+/(2015)=503x8+/(1)+/(2)+/(3)=4030.

考点：三角函数的图像与性质.

16.1

【解析】

写出茎叶图对应的所有的数，去掉最高分，最低分，再求平均分.

【详解】

解：所有的数为：77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9个数，

去掉最高分，最低分，剩下78,82,84,84,86,88,93,共7个数，

EXZ■.八d78+82+84+84+86+88+93

平均分为-------------------------=85,

故答案为L

【点睛】

本题考查茎叶图及平均数的计算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

73

17.(I)—di)-(ni)见解析

305

【解析】

(I)根据茎叶图求出满足条件的概率即可；

(II)结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可;

X—85

(ni)求出满足一^―wi的成绩有16个，求出满足条件的概率即可.

【详解】

解：(I)设这名学生考核优秀为事件A，

由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，

7

所以所求概率P(A)约为北

(H)设从图中考核成绩满足Xe［80,89］的学生中任取2人，

至少有一人考核成绩优秀为事件B,

因为表中成绩在［80,89］的6人中有2个人考核为优，

所以基本事件空间。包含15个基本事件，事件8包含9个基本事件，

93

所以/8)=百=,

龙一85

(ni)根据表格中的数据，满足一/41的成绩有16个，

X—853>。.5

所以P<1

10/3015

所以可以认为此次冰雪培训活动有效.

【点睛】

本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题.

18.(1)190(2)见解析(3)可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.

【解析】

(1)排序后第10和第11两个数的平均数为中位数;

(2)由茎叶图可得列联表;

(3)由列联表计算《2可得结论・

【详解】

5,、190+190sc

解：(1)m=--------=190.

2

(2)

抗倒伏易倒伏

矮茎154

高茎1016

(3)由于女2=受曲吐1卫2匚=7.287>6.635,因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏

19x26x25x20

与玉米矮茎有关.

【点睛】

本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键.

19.(1)①⑵晅

44

【解析】

(1)利用二倍角公式cos2c=l—2sin2c求解即可，注意隐含条件sinC>0.

(2)利用(1)中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sinAcosAcosC的值，又由

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC求出sinB的值，最后由正弦定理求出a的值，根据三角形的面积公式

即可计算得出.

【详解】

,3

(1)由已知可得cos2c=1—2sin2c=-士，

4

,7

所以sh?C=—,

8

因为在锐角AABC中，sinC>0,

所以sinC=，巳

4

(2)因为。=勿，

所以sinA=—sinC=，

28

因为△ABC是锐角三角形，

所以cosC=正,cosA=

48

所以sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

J14V2572V14377

=---------X----------1----X----------=----------

84848

由正弦定理可得：巫=，—，所以。=怖，

sinBsinA

所以S少sincfEx3g用苧

AA/1BDC

【点睛】

此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识，同时考查了学生的基本运算

能力和利用三角公式进行恒等变换的技能，属于中档题.

1

Q———

4

20.⑴\；；(2)[1,+℃)

b=—

[4

【解析】

(1)对函数求导，运用/'(l)=g可求得"的值，再由(1,/。))在直线上，可求得。的值；

(2)由已知可得恒成立，构造函数g(x)=lnx-奴?+奴，对函数求导，讨论。和0的大小关系,

结合单调性求出最大值即可求得。的范围.

【详解】

(1)由题得/'(x)=lnx+l-2G:,

因为y=/(x)在点(1J。))与广氐+人相切

尸(1)=1-2&=；1

a=—

4

所以

b=L

4

(2)由r(x)Wtzx2—3奴+1得皿工一⑪2+办<0，令g(x)=lnx-奴2+以，只需g(%)皿

g'(x}=--2ax+a=~2aX+aX+i,设网力=-2加+or+l(x>l),

XX

当a=0时，g'(x)NO,g(x)在xNl时为增函数，所以g(x)2g⑴=0,舍;

当。＜0时，〃(x)开口向上，对称轴为x=；,7z(l)=l—。＞0,所以g(x)在x＞l时为增函数,

所以g(x)2g(l)=0,舍；

当a>0时，二次函数〃(X)开口向下，且〃(0)=1>0,

所以〃(x)在x>()时有一个零点七，在(0,天)时〃(力>0,在Go,”)时〃(x)<。，

①当〃(1)=1一。V。即“21时，〃(x)在(1,+向小于零，

所以g(x)在xNl时为减函数，所以g(x)<g(l)=0,符合题意；

②当旗1)=1—a>0即a<1时，/z(x)在(l,x°)大于零，

所以g(x)在(1,%)时为增函数，所以g(Xo)2g(l)=O,舍.

综上所述：实数。的取值范围为［1,+8)

【点睛】

本题考查函数的导数，利用导数求函数的单调区间及函数的最小值，属于中档题.处理函数单调性问题时，注意利用

导函数的正负，特别是已知单调性问题，转化为函数导数恒不小于零，或恒小于零，再分离参数求解，求函数最值时

分析好单调性再求极值，从而求出函数最值.

21.(1)证明见解析(2)1

【解析】

(1)取AB中点为。，连接OC,OBX,AC,A与，根据线段关系可证明AABC为等边三角形，即可得AB_LOC；

由AAB4为等边三角形，可得ABJ.OS，从而由线面垂直判断定理可证明ABL平面。4C,即可证明

(2)以。为原点，OB-OB,OC为x,y,二轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面BBC和

平面B©D的法向量，即可由法向量法求得二面角D-B.C-B的余弦值.

【详解】

(1)证明：取AB中点为。，连接OC,。耳，AC,如下图所示：

因为A£>=1,CD=日ZADC=9Q°,

所以AC=2,故A