河北省邢台市2021-2022学年高三冲刺模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在平面直角坐标系光0y中，锐角。顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点P1亭,〃？，则

sin(26+?)=()

五M7723710

A.B.c

10101010

2.已知集合A=二{1,3,后},B=若AuB=A,则加=()

A.0或6B.0或3C.1或百D.1或3

22

3.已知点A（2技3啊在双曲线获-2=1e>0）上，则该双曲线的离心率为（

A.B.典C.MD.2V10

亍2

X>1

,则z=V+),2的最大值等于(

4.已知实数X,y满足，x-y<0)

x+2y-6<0

A.2B.2V2c.4D.8

5.已知集合4={划,一l|w3,xeZ},B={xeZ|2、€A},则集合3=()

A.{-1,0,1)B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2)

6.若acbcO,则下列不等式不能成立的是（）

11-^―>-C.|。|>|加D.

A.—>-B.a2>b2

aha-ba

gx-g］的部分图象如图所示，则（砺+砺）•福

7.函数y=tan=()

2）

A.6B.5C.4D.3

8.AABC是边长为2道的等边三角形，E、尸分别为A3、AC的中点，沿EF把AAEE折起，使点A翻折到点P

的位置，连接心、PC,当四棱锥P-BCEE的外接球的表面积最小时，四棱锥P-3CFE的体积为()

A56n3G„V6n3指

A.------B.C・D.------

4444

%—«y+3>0

9.已知丁=依+人与函数/(x)=21nx+5和g(x)=/+4都相切，则不等式组*X+勿，一22。所确定的平面区域在

/+/+2%一2｝；-22=0内的面积为()

A.2乃B.3兀C.6兀D.12乃

10.阿基米德(公元前287年一公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被

称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，

并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了

一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54%的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为

()

一“、sin----------,1<x<3

11.已知函数/(x)=J2,若函数/(x)的极大值点从小到大依次记为%，并记相应的

2/(x-2),3<x<100

极大值为知4，?b„,则Z(q+e)的值为()

Z=l

A.2‘°+2449B.2‘°+2549C.249+2449D.249+2549

12.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎，个

位数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则%+>=()

甲C

R

2y9

I37

B.10C.172D.12

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.集合A={(x,y)|W+3=a,a>0},3={(羽刈网+1=凶+恻，若4口8是平面上正八边形的顶点所构成的

集合，则下列说法正确的为

①”的值可以为2；

②”的值可以为0;

③”的值可以为2+0;

X2,x>Q

14.已知〃x)=1-/»<0,若“3a—2)>4/(a),则a的取值范围是.

UUUUUUU

15.在AABC中，已知M是的中点，且AM=1,点P满足B4=2PM,MPA-(PB+PC)的取值范围是.

16.已知数列{a,,}满足q+2a2+3%+…+〃a“=2",则.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，内角A,8,C的边长分别为a,b,c,且c=2.

(1)若A」,b=3,求sin。的值；

3

(2)若sinAcos2'+sinBcos24=3sinC,且AWC的面积S="sinC,求。和。的值.

222

18.(12分)设aeR,函数/。)=//*一。。-1).

3

(1)当”=1时，求/⑶在(二,2)内的极值；

(2)设函数g(x)=/(x)+a(x-l-ei),当g(x)有两个极值点石,々(％＜/)时，总有/g®”Af(%)，求实数

力的值.

19.(12分)已知离心率为;的椭圆用：与+点＞=19＞。＞0)经过点

⑴求椭圆M的方程；

⑵荐椭圆M的右焦点为尸，过点尸的直线AC与椭圆M分别交于A,8,若直线D4、DC、的斜率成等差数

列，请问ADCE的面积SgcF是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

20.(12分)随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁

金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽

取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：

分组频数(单位：名)

使用“余额宝”X

使用“财富通”y

使用“京东小金库”30

使用其他理财产品50

合计1200

已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.

(1)求频数分布表中x,y的值；

(2)已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为2.8%,“财富通”的平均年化收益率为4.2%.若在1200名使用理财产

品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取

2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为X,求X的分布列及数学

期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为3%”即将100元钱存入某理财产

品，一年可以获得3元利息.

21.(12分)如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为边长为2的菱形，24_L平面ABC。，ZABC=60°,E

是8C的中点，PA=AB.

p

(I)证明：AELPDx

(D)若尸为PD上的动点，求EF与平面PAO所成最大角的正切值.

22.(10分)已知椭圆。的短轴的两个端点分别为4(0,1)、8(0,-1),焦距为26.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线丁=根与椭圆C有两个不同的交点M、N,设。为直线AN上一点，且直线的斜率的积

为-2.证明：点。在x轴上.

4

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据单位圆以及角度范围，可得〃?，然后根据三角函数定义，可得sindcos。，最后根据两角和的正弦公式，二倍角

公式，简单计算，可得结果.

【详解】

(E

由题可知：、+m2=l,又。为锐角

、5)

所以m>0,m=会已

5

根据三角函数的定义：sin^=—,cos6>=—

55

4

所以sin2。=2sin8cos^=—

3

cos20=cos2。一sin2。=——

5

I7T\TTTT

由sin26+—=sin20cos—+cos20sin—

I4J44

所以sin126+工4V23V272

=-x---------x-----=-----

I4J525210

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式,

简单计算，属基础题.

2.B

【解析】

因为=A,所以B=A,所以〃2=3或m=标.

若网=3,则4={1,3,百},8={1,3},满足4<>3=4.

若加=>//，解得，〃=0或，〃=1.若加=0,则4={1,3,0},5={1,3,0},满足AD3=A.若加=1,

A={1,3,1},8={1,1}显然不成立，综上加=0或〃?=3,选B.

3.C

【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.

【详解】

22__________

将x=2氏y=3«j代入方程m-方=1e>0）得人=3函，而双曲线的半实轴a=，所以2“7/=10,

得离心率e=£=布,故选C.

a

【点睛】

此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.

4.D

【解析】

画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z的最大值.

【详解】

画出可行域如下图所示，其中A（1,|）,C（2,2）,由于侬=卜+图一=学,凶=2亚所以|0。>网,

所以原点到可行域上的点的最大距离为2近.

所以z的最大值为（2&『=8.

本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

5.D

【解析】

弄清集合8的含义，它的元素x来自于集合A,且2"也是集合A的元素.

【详解】

因|x—1区3,所以—2Wx<4,故4={-2,-1,0,1,2,3,4},又xwZ,TeA，则x=0』,2,

故集合8={0』,2}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.

6.B

【解析】

根据不等式的性质对选项逐一判断即可.

【详解】

选项A：由于。</?<0,即ah>0,b—ci>0>所以-----=—■->0,所以一>；,所以成立；

ababab

11〃，、I1

选项B：由于a<匕<0,即a—b<0,所以一-一一=—―-<0,所以一所以不成立;

a-baa(a-b)a-ba

选项C：由于。<匕<0,所以—a>—8>0,所以|a|>|勿，所以成立；

选项D：由于a<8<0,所以—。>一8>0,所以|。|〉附|,所以/>/,所以成立.

故选：B.

【点睛】

本题考查不等关系和不等式，属于基础题.

7.A

【解析】

根据正切函数的图象求出4、8两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果.

【详解】

(7t71

由图象得，令y=tan[ix-7=0,即一x----=kn,kwZ

42

k=0时解得x=2,

.(n7i\„nnn

☆y=tan[1^一,J=1,即一x——解得m3.

42

-,.A(2,0),B(3,l),

.,.函=(2,0),丽=(3,1),通=(1,1),

.,.(OA+OB)-AB=(5,1)-(1,1)=5+1=6.

故选：4

【点睛】

本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图

象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.

8.D

【解析】

首先由题意得，当梯形3CEE的外接圆圆心为四棱锥P-BCEE的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现,

3c的中点即为梯形BCEE的外接圆圆心，也即四棱锥P—3CEE的外接球球心，则可得到PO=OC=&，进而可

根据四棱锥的体积公式求出体积.

【详解】

如图，四边形BCEE为等腰梯形，则其必有外接圆，设。为梯形3CFE的外接圆圆心，

当。也为四棱锥P-3CEE的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A作8c的垂线

交BC于息M,交EE于点N,连接点。必在AM上，

E、尸分别为A3、AC的中点，则必有AN=PN=MN,

：.ZAPM=90»即为直角三角形.

对于等腰梯形BCFE,如图：

因为AAHC是等边三角形，E、F、M分别为AB、AC.8c的中点,

必有MB=MC=MF=ME,

所以点M为等腰梯形8CEE的外接圆圆心，即点。与点“重合，如图

AM3

113131/-/—3\/6

=xxx

VP-BCFE=耳SBCFEH=§"WSSB5~~~213x3x,2=4•

故选：D.

【点睛】

本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力

和分析能力，是一道难度较大的题目.

9.B

【解析】

根据直线y=6+力与“X)和g(x)都相切，求得4,。的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆

x2+y2+2x-2y-22=0,由此求得正确选项.

【详解】

22

f(x)=—，g'(x)=2x.设直线>=女+匕与“X)相切于点A(%,21nXo+5),斜率为一,所以切线方程为

X/

2221,1、1

y-(21nx0+5)=—(x-x0),化简得y=—x+21nx()+3①.令g(x)=2x=—,解得x=—，g—=—+4,

玉)工0*0%0I玉)J玉)

'、2(1、211

所以切线方程为y-—+4=—X-一，化简得y=—x--r+4②.由①②对比系数得21nxo+3=--y+4,

\xoJxoIxoJx0x0X。

化简得21n%+十—1=0③.构造函数Mx)=21nx+=—l(x>0),"⑴=2—j=也芈二Q,所以力(可在

'oJCXX

(0,1)上递减，在。,内)上递增，所以M%)在x=l处取得极小值也即是最小值，而〃(1)=0,所以〃(x)=o有唯一

x-ay+3>Qx-2y+3>0

解.也即方程③有唯一解,%=1.所以切线方程为y=2X+3.即a=2,b=3.不等式组，

x+by-2>Qx+3y-2>0

画出其对应的区域如下图所示.圆f+y2+2x-2y-22=0nT»(%+1)2+(y-l)2=24,圆心为A(-1,1).而方程

x-2y+3=0

x=-l.画出图像如下图所示，不等式组｛[x-2'y+c3>八0所确定的平面区域在

的解也是t

x+3y—2=0[y=i%+3y-2>0

/+y2+2x-2y-22=0内的部分如下图阴影部分所示.直线x-2y+3=0的斜率为；，直线x+3y-2=0的斜率

11

—I—

为—3.所以tanNB4C=tan(NAED+NAr>£)=3-3p=l,所以N84C=?,而圆A的半径为旧=26，所

1X一

23

以阴影部分的面积是gx(x仅码2=37.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考

查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.

10.C

【解析】

设球的半径为R,根据组合体的关系，圆柱的表面积为S=2冗即+2TIRx2R=54万，解得球的半径H=3,再

代入球的体积公式求解.

【详解】

设球的半径为R,

根据题意圆柱的表面积为S=2兀R2+2nRx2R=54万，

解得R=3,

所以该球的体积为【/=-=-xx33=36万.

33

故选：C

【点睛】

本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

11.C

【解析】

对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当x=2时有极大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定义域的循环,

而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点4的通项公式％=2〃，且相应极大值

分组求和即得

【详解】

当1WXW3时，尸(©《cos

显然当x=2时有，/'(%)=0,

...经单调性分析知

x=2为f(x)的第一个极值点

XV3<x<100Bt,f(x)=2f(x-2)

，x=4,x=6fx=8,…，均为其极值点

••,函数不能在端点处取得极值

；•a”=2n,1<n<499neZ

...对应极值"=2"T,l<n<49,neZ

f(«,.+哈=(2+98)x49+lx(l-2-)=2%2449

,=i21-2

故选：C

【点睛】

本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列

和函数的熟悉程度高，为中档题

12.D

【解析】

中位数指一串数据按从小(大)到大(小)排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.

【详解】

由茎叶图知，甲的中位数为80+x=86,故x=6；

乙的平均数为78+82+8。+蓉89+91+93+97=88

解得y=6,所以x+y=12.

故选：D.

【点睛】

本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.②③

【解析】

根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算AC：y=（V2-l）x,得到A（1,、历-1）,C（V2+1,1）,得到答案.

【详解】

如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，

集合3：xy+\=x+y,故（％-1）（>一1）=0,即x=l或y=l,

集合A：x+y=a,ACIB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，

故AC所在的直线的倾斜角为22.5°,须c=tan22.5°=0-l,故AC：y=（g-l）x,

解得A（l,0-1）,此时“=也，C（V2+1,1）,此时a=0+2.

本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.

14.（2,+<»）

【解析】

函数/（X）等价为/（x）=x|x|,由二次函数的单调性可得/（x）在R上递增，“3a—2）>4/（。）即为

,f（3a—2）>,f（2a）,可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围.

【详解】

x2,x>0

/（x）==<-X2,JC<0,等价为/（x）=x|x|,

且x<0时，/（X）=T2递增，x>0时，/（x）=x2递增，

且/（0）=0,在x=（）处函数连续，

可得“X）在R上递增，

/（3a—2）>4〃a）即为/（3a—2）>“2）/（a）=/（2a）,可得3a—2>2a,解得a>2,

即a的取值范围是（2,+8）.

故答案为：（2,+8）.

【点睛】

本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

-4/

15.卜4

【解析】

由中点公式的向量形式可得方+定=2而，即有西•（而+前）=2序•两，

设PM=x,/APM=。,有⑸.（而+定）=2雨・两'=4/cos，，再分别讨论三点A共线和不共线时的情况,

找到X,。的关系，即可根据函数知识求出范围.

【详解】

M是8C的中点，，方+定=2而，即万•（而+无）=2百•两

设PM=x,<PA,PM>=0,于是中豆+定）=2⑸・丽=4X2COS<9

⑴当A,P,M共线时，因为40=1,

i——-.—.—.4

①若点P在AM之间，则PM=[,<PA,PM>=%,此时，PA（PB+PC）=--

39;

②若点P在AM的延长线上，则PM=1,<阳，而>=(),此时，PA(PB+PC)=4.

⑵当A,P,M不共线时，根据余弦定理可得，X2+4X2-2%X2XXCOS^=1

S丫2_11

解得cos。=卫―，由-1<COS0<1,解得一<x2<l

4x29

(方+P。)=4dcos6>=5/-1,41.

uiruuruunr4-

综上，PA(PB+PC)£--,4

'4'

故答案为：一§,4.

【点睛】

本题主要考查学中点公式的向量形式和数量积的定义的应用，以及余弦定理的应用，涉及到函数思想和分类讨论思想

的应用，解题关键是建立函数关系式，属于中档题.

2,〃=1

16.a2"-1

n-----,n>2

、n

【解析】

项和转化可得=2〃-2'i=2〃一(n>2),讨论〃=1是否满足，分段表示即得解

【详解】

当〃=1时，由已知，可得用=2i=2,

***a1+2%+3%+...+=2",①

故%+2a2+34+...+(〃-1)=2"1(〃22),②

由①•②得％=2"-2〃7=2〃7,

n

显然当〃=1时不满足上式,

2,n=l

・・・a〃=<2〃T「

-----,/?>2

、n

2,〃=1

故答案为：

----,n>2

.n

【点睛】

本题考查了利用S“求?,考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

历

17.(1)sinC=----；(2)a=b=5.

7

【解析】

(1)先由余弦定理求得再由正弦定理计算即可得到所求值；

(2)运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC,运用正弦定理和三角形的面积公式可

得a,b的方程组，解方程即可得到所求值.

【详解】

解：(1)由余弦定理

a1=b2+c2-2&CCOSA=9+4-2x3x2x—=7,«=V7

C

由正弦定理「,^,WsinC=

sirt4sinC7

加.“1+cosB1+cosA

(2)由已知得：sinAx-------+sinBx=3sinC

2

sinA+sinAcosB+sinB+sinBcos/4=6sinC

sinA+siaB+sin(A+5)=6sinC,sinA+sird?=5sinC

所以a+b=5c=l()——①

I?5

又S=—"sinC=—sinC,所以访=25--②

22

由①@解得a=b=5

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

18-⑴极大值是/⑴4无极小值；⑵八万

【解析】

(2x-x2)-eJ-|

(1)当4=1时,可求得r(X)=^hM=(2x-x2)-e'-',利用导数可判断〃(x)的单调性并得其零点,

.X-I

从而可得原函数的极值点及极大值;

（2）表示出g（x）,并求得g'（x）=（7?+2x+a）ei,由题意，得方程+2x+a=0有两个不同的实根玉，为（芭＜x?）,

从而可得△=4+4a＞0及再+W=2,由口＜邸,得玉＜1.则々gQi）,,2广（不）可化为+1）1,0对任意

的玉《（一刃,1）恒成立，按照玉=0、玉6（0,1）、%6（-8,0）三种情况分类讨论，分离参数4后转化为求函数的最值

可解决；

【详解】

（1）当。=1时，r（x）=（2x-?一叫.

e

3

令〃（x）=2无一/一gi,贝（J/（X）=2-2X-/T,显然/（x）在上（一,2）单调递减，

4

又因为/?’（1）=g—J＜0,故xwg,2）时，总有〃'（幻＜0,所以〃（幻在（：,2）上单调递减.

由于〃⑴=。，所以当皿打时，心）〉。；当一1⑵时，«＜0,

当X变化时，/'（X）、/（X）的变化情况如下表:

G）

X1(1,2)

/'(x)+-

fM增极大减

3

所以,在丁）上的极大值是/⑴=1,无极小值.

2

(2)由于g(x)=(f-a)ei,贝ljg<x)=(-d+2x+a)ei.由题意，方程一%+2x+a=0有两个不等实根人吃,贝I]

—X：+2玉+a=0

A=4+4a>(),解得a>-l,且<一/2+2々+a=0,又所以西<1.

X]+工2=2

r21-x

由々<?(%)<4/'(不)，/(x)=(2x-X)e-a,可得々(工1一。)3f<4(2为一九一々]

x22

又％=2-/a="一.将其代入上式得：2$(2—斗)e'-'<2((2%)-x,)^'+(2%-x,)].

整理得XJ2/F-+1)]<0,即理2e——A(el-x'+1)]<0,%e(-oo,l)

当3=0时,不等式玉[2/为一〃/-2+1)]<0恒成立，即;IwR.

当为e(0,l)时，2/f—〃*为+1)40恒成立，即22-....令f------易证-x)是R上的减函数.因

e'+1e'+1

此，当xw(0,l)时，网》)＜%(0)=上，故几之2-

e+1e+1

2e'-x'

当玉w(-oo,0)时，2e'-x'-A(e'-Xl+1)20恒成立，即24

el-x'+1

因此，当XG(—8,0)时，女(处＞左(0)=一幺所以/14，~

e+1e+1

综上所述，*

【点睛】

本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分

析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高.

v.229

19.(D—+2-=1；(2)是，-

434

【解析】

(1)根据6=5=；及42=62+02可得4〃=34,再将点。(1,3

代入椭圆的方程与4y=3/联立解出即可

求出椭圆的方程;

(2)可设AC所在直线的方程为y=A(x-D,Aa，y),B(x2,y2),将直线AC的方程与椭圆的方

程联立，用根与系数的关系求出%+%2，%%2,然后将直线。A、DB、0c的斜率左、与、&分别用占,々，/表示，

利用匕+&=2%可求出「=4,从而可确定点C恒在一条直线x=4上，结合图形即可求出AOCF的面积SA。”.

【详解】

1C11

(1)因为椭圆的离心率为一，所以6=-=一，即c=-a,

2a22

Xa2=b2+c2>所以4b2=3。2,①

19

因为点在椭圆上，所以—？+〃7=1，②

a2=4x2v2

由①②解得,2,所以椭圆C的方程为土+匕=1

b2=343

(1)可知c=l,尸(L0),可设AC所在直线的方程为y=1),

y-Z(x—1)

由＜尤2y2,得(3+4/)龙2-弘、+4(左2-3)=0,

——+—=1

143

4伏2—3)

设A(XI,y),B(x2,y2),CQ,-r-l)),则为+巧=著6

JI^TK

设直线D4、DB、DC的斜率分别为占、&、%,

因为AB,尸三点共线，所以1^=1^=匕即」7=上彳=&,

X1—1X-y—1

_3_3

所以/人口+三=上+上3f11]=2攵-3―%|+%2-2—=21,

Z—-F+-2xx-(%1+x)+l

X1_1/_1Xj—1X?-1}22

3

乂公二----------2.，

因为直线D4、DC、03的斜率成等差数列，所以6+&=2《,

即(2左一1)Q-1)=2左(，一1)-3,化简得f=4,即点C恒在一条直线x=4上，

3

又因为直线。尸方程为％=1,且

139

所以Sg是定值5板「=5乂5、3=7.

【点睛】

本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题，属于中档题.

x=640

20.(1)\；(2)680元.

y=480

【解析】

[%-y=160

(1)根据题意，列方程'然后求解即可

[x+y=1200-80

(2)根据题意，计算出10000元使用“余额宝”的利息为l(XXX)x2.8%=28()(元)和

10000元使用“财富通”的利息为10000X4.2%=420(元)，

得到X所有可能的取值为560(元)，700(元)，840(元)，

然后根据X所有可能的取值，计算出相应的概率，并列出X的分布列表，然后求解数学期望即可

【详解】

x-^=160

(1)据题意，得＜

x+y=1200-80

x=640

所以

y=480

（2）据640:480=4:3,得这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人，使用“财富通”的有3人.

10000元使用“余额宝”的利息为l（XXX）x2.8%=28（）（元）.

10000元使用“财富通”的利息为10000x4.2%=420（元）.

X所有可能的取值为560（元），700（元），840（元）.

22

P(X=560)=^rpc-0=~2,P(X=700)^^c'pc-'=-4,P(X=84O)=^C^C0=-1

X的分布列为

X560700840