2020-2021学年北京市西城区七年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年北京市西城区七年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个

1.（2分）（2006•泰州）一号的相反数是（）

2233

A.一5B.-C.—D.一弓

3322

2.（2分）（2020秋•西城区期末）国家统计局公布的数据显示，经初步核算，2020年尽管

受到新冠疫情的影响，前三个季度国内生产总值仍然达到近697800亿元，按可比价格计

算，同比增长了6.2%.将数据697800用科学记数法表示为（）

A.697.8X103B.69.78X104C.6.978X105D.0.6978X106

3.（2分）（2021秋•沂水县期末）下列计算正确的是（）

A.-2（a-b）=-2a+bB.2c2-c2=2

C.3a+2b—5abD.

4.（2分）（2021秋•启东市期末）如图是某个几何体的平面展开图，则这个儿何体是（）

A.长方体B.三棱柱C.四棱锥D.三棱锥

5.（2分）（2021秋•江津区期末）下列方程变形中，正确的是（）

X-1X

A.方程——--=1,去分母得5（尤-1）-2x=IO

25

B.方程3-尤=2-5（x-1）,去括号得3-犬=2-5工-1

C.方程|­|，系数化为1得，=1

D.方程3x-2=2x+l,移项得3x-2x=-1+2

6.（2分）（2021秋•江津区期末）如图，04表示北偏东20°方向的一条射线，08表示南

偏西50°方向的一条射线，则NAOB的度数是（）

C.140°D.150°

7.（2分）（2020秋♦永嘉县校级期末）若/-3x=4,则37-9x+8的值是（）

A.20B.16C.4D.-4

8.（2分）（2021秋•赵县期末）如图，数轴上的点A表示的数为有理数”，下列各数中在0,

1之间的是（）

a-101

A.\a\B.-aC.\a\-1D.a+1

9.（2分）（2021秋•舞阳县期末）下列说法正确的是（）

（1）如果互余的两个角的度数之比为1：3,那么这两个角分别为45°和135°

（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等

（3）如果两个角的度数分别是73°47和16°1&,那么这两个角互余

（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.（2分）（2021秋•济源期末）如图表示3X3的数表，数表每个位置所对应的数都是1,

2或3.定义a*b为数表中第a行第b列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2,

所以3*1=2.若2*3=（2x+l）*2,则x的值为（）

第例第2列第3列

r\

第1行232

第2行313

第3行232

X.J

A.0,2B.1,2C.1,0D.1,3

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

11.（2分）（2021秋•天津期末）用四舍五入法取近似数：2.7682%.（精确至U0.01）

12.（2分）（2021秋•舞阳县期末）若x=-1是关于x的方程2xrw=5的解，则m的值

是.

13.（2分）（2021秋•舞阳县期末）若一甘心卜与法勺/是同类项，则（,„+„）21=.

14.（2分）（2020秋•西城区期末）如图所示的网格是正方形网格，则NAOBZ

MPN.（填”或“V”）

15.（2分）（2020秋•西城区期末）用符号表示〃，。两数中的较大者，用符号（a,b）

表示“，6两数中的较小者，则L1,-1]+（0,-|）的值为.

16.（2分）（2020•平谷区一模）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的

数学问题“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加三颗，问五人各得几何？”题目大意

是：诸侯5人，共同分60个橘子，若后面的人总比前一个人多分3个，问每个人各分得

多少个橘子？若设中间的那个人分得x个，依题意可列方程得.

17.（2分）（2020秋•西城区期末）如图，C,D,E为线段AB上三点，

（1）若QE=%B=2,则AB的长为；

（2）在（1）的条件下，若点E是。B的中点，AC=1CD,则CD的长为.

IIIII

ACDEB

18.（2分）（2020秋•西城区期末）有四个大小完全相同的小长方形和两个大小完全相同的

大长方形按如图所示的位置摆放，按照图中所示尺寸，小长方形的长与宽的差是

（用含〃及的式子表示）.

三、解答题(本题共45分，第20题20分，第22题10分，其余每题5分)

19.(5分)(2021秋•舞阳县期末)如图，己知平面内有四个点A,B,C,D.

根据下列语句按要求画图.

(1)连接A8；

(2)作射线40,并在线段AZ)的延长线上用圆规截取OE=AB；

(3)作直线8c与射线交于点凡

观察图形发现，线段8G>48,得出这个结论的依据是：.

D.

*C

A*

B

20.(20分)(2020秋•西城区期末)计算：

(1)13+(-24)-25-(-20)；

(2)25+5X(-i)4-(一］)；

34

(3)(-67+*5田3)X(-36)；

(4)-I4-(1-0.5)Xjx|l-(-5)2|.

21.(5分)(2020秋•西城区期末)先化简，再求值：(3〃序-〃2小)--2(2af-/b),

其中a=l,b—~2.

22.(10分)(2021秋•舞阳县期末)解下列方程:

(1)3(x+1)=5x7；

2%—12%4~1

(2)=------1

36

23.(5分)(2020秋•西城区期末)解方程组：=

(4%+5y=—7

四、解答题（本题共19分，第24题5分，第5题6分，第26题8分）

24.（5分）（2021秋•舞阳县期末）请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）

已知：如图，点A,O,B在同一条直线上，。。平分NAOE,ZCOD=9Q°.

求证：OC是NBOE的平分线.

证明：因为。。是NAOE的平分线，

所以/AO£）=N£）OE.（理由：）

因为NCOZ）=90°.

所以/DOE+Z=90°,

NAOD+/BOC=180°-ZCOD=°.

因为/AOC=/OOE,

所以/=乙_（理由：）

所以OC是/BOE的平分线.

25.（6分）（2020秋•西城区期末）某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批4,B两

种型号的新能源汽车.据了解，2辆4型汽车和3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆

4型汽车和2辆8型汽车的进价共计95万元.

（1）求A,B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；

（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购

买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请直接

写出该公司的采购方案.

26.（8分）（2020秋•西城区期末）数轴上有A,8两个点，点A在点8的左侧，已知点3

表示的数是2,点A表示的数是a.

（1）若。=-3,则线段AB的长为；（直接写出结果）

（2）若点C在线段AB之间，且AC-8C=2,求点C表示的数；（用含a的式子表示）

（3）在（2）的条件下，点。在数轴上C点左侧，AC=2A£>,BD=4BC,求a的值.

一、填空题（本题6分）

27.（6分）（2020秋•西城区期末）观察下列等式，探究其中的规律并回答问题:

1+8=32,

1+8+16=52,

1+8+16+24=72,

1+8+16+24+32=^,

•••,

（1）第4个等式中正整数左的值是；

（2）第5个等式是：；

（3）第〃个等式是：.（其中”是正整数）

二、解答题（本题共14分，第28题6分，第29题8分）

28.（6分）（2020秋•西城区期末）如图所示的三种拼块A,B,C,每个拼块都是由一些大

小相同、面积为1个单位的小正方形组成，如编号为A的拼块的面积为3个单位.

现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平

移、旋转，或翻转.

（1）若用1个A种拼块,2个B种拼块,4个C种拼块，则拼出的正方形的面积为个

单位.

（2）在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个A种拼块和1个B种拼块，请分

别用不同的拼法将图1和图2中的正方形拼图补充完整.要求：所用的A,B,C三种拼

块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠.

29.（8分）（2020秋•西城区期末）对于数轴上的点A,B,C,。，点M,N分别是线段AB,

C。的中点，若MN=*(AB+CD),则将e的值称为线段A8,CD的相对离散度.特别地，

当点M,N重合时，规定e=0.设数轴上点。表示的数为0,点7表示的数为2.

(1)若数轴上点E,F,G,"表示的数分别是-3,-1,3,5,则线段EF,OT的相对

离散度是,线段FG,E4的相对离散度是；

(2)设数轴上点。右侧的点S表示的数是s,若线段OS,07的相对离散度为e=±,求

3的值；

(3)数轴上点P,。都在点。的右侧(其中点P,。不重合)，点R是线段PQ的中点，

设线段OP,的相对离散度为ei,线段O。，0T的相对离散度为e2,当ei=e2时，直

接写出点R所表示的数，•的取值范围.

2020-2021学年北京市西城区七年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共20分，每小题2分）第L10题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个

1.（2分）（2006•泰州）一|的相反数是（）

2233

A.—□B.-C.—D.一5

3322

【考点】相反数.

【分析】一个非0数的相反数就是只有符号不同的两个数.

【解答】解：号的相反数为右

故选：B.

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：

一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.

2.（2分）（2020秋•西城区期末）国家统计局公布的数据显示，经初步核算，2020年尽管

受到新冠疫情的影响，前三个季度国内生产总值仍然达到近697800亿元，按可比价格计

算，同比增长了6.2%.将数据697800用科学记数法表示为（）

A.697.8X103B.69.78X104C.6.978X105D.0.6978X106

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.

【解答】解：697800用科学记数法表示为6.978X1（）5,

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其

中1W间＜10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.（2分）（2021秋•沂水县期末）下列计算正确的是（）

A.-2Ca-b）-2a+bB.2c2-c2=2

C.3a+2b—5abD.fy-4yx2=-3/y

【考点】整式的加减.

【分析】直接利用合并同类项分别计算得出答案

【解答】解：A、-2（a-b）=-2a+2b,故此选项错误：

B、2c2-c2=c2,故此选项错误；

C、3a+2b,无法合并，故此选项错误；

D、x^y-Ayx1--3/y,正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键.

4.（2分）（2021秋•启东市期末）如图是某个几何体的平面展开图，则这个几何体是（）

A.长方体B.三棱柱C.四棱锥D.三棱锥

【考点】几何体的展开图.

【分析】由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥，再由底面为四边形，则可得

此几何体.

【解答】解：由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥，再由底面为四边形，则

可得此几何体为四棱锥.

故选：C.

【点评】此题主要考查的是几何体的展开图，熟记几何体的侧面、底面图形特征即可求

解.

5.（2分）（2021秋•江津区期末）下列方程变形中，正确的是（）

X—1x

A.方程---——=1,去分母得5（x-l）-2x=10

25

B.方程3-x=2-5（x-1）,去括号得3-x=2-5x-1

C.方程|r=|,系数化为1得r=l

D.方程3x-2=2x+l,移项得3x-2x=-1+2

【考点】解一元一次方程；等式的性质.

【分析】根据等式的性质，逐项判断即可.

X-1X

【解答】解：•••方程———一=1,去分母得5（x7）-2x=10,

25

二选项A符合题意；

:方程3-x=2-5（x-1）,去括号得3-x=2-5x+5,

.••选项8不符合题意；

•.•方程|/=|,系数化为1得占小

选项C不符合题意；

:方程3x-2=2x+l,移项得3x-2%=1+2,

•••选项。不符合题意.

故选：A.

【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用.

6.（2分）（2021秋•江津区期末）如图，OA表示北偏东20°方向的一条射线，。8表示南

偏西50°方向的一条射线，则N4OB的度数是（）

【考点】方向角.

【分析】根据方向角的定义可直接确定NA08的度数.

【解答】解：因为OA表示北偏东20°方向的一条射线，OB表示南偏西50°方向的一

条射线，

所以NAOB=20°+90°+（90°-50°）=150°.

故选：D.

【点评】本题考查了方向角及其计算.掌握方向角的概念是解题的关键.

7.（2分）（2020秋•永嘉县校级期末）若/-3x=4,则-9x+8的值是（）

A.20B.16C.4D.-4

【考点】代数式求值.

【分析】先把37-9x+8变形为3（？-3x）+8,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：•••X2-3X=4,

.•.37-9x-15=3（/-3x）+8=3X4+8=20,

故选：A.

【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想进行解答是解题关键.

8.（2分）（2021秋•赵县期末）如图，数轴上的点A表示的数为有理数a,下列各数中在0,

1之间的是（）

A

1t.iIII»

a-101

A.\a\B.-aC.\a\-1D.a+1

【考点】数轴；绝对值.

【分析】根据数轴上。的位置可得。得范围，从而得到答案.

【解答】解：由图可知-2<a<-1,

A、同>1,故4不符合题意，

B、-a>],故B不符合题意，

C、1<间<2,则0<间-1<1,故C符合题意，

D、-2<a<-1,则-IVa+lVO,故。不符合题意，

故选：C.

【点评】本题考查数轴、绝对值及有理数的运算，题目较容易，关键是根据数轴上点的

位置判断a得范围.

9.（2分）（2021秋•舞阳县期末）下列说法正确的是（）

（1）如果互余的两个角的度数之比为1：3,那么这两个角分别为45°和135°

（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等

（3）如果两个角的度数分别是73°42'和16°18',那么这两个角互余

（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】余角和补角；角的概念；度分秒的换算.

【分析】根据余角和补角的定义，结合度分秒的换算逐项计算可判断求解.

【解答】解：（1）如果互余的两个角的度数之比为1：3,那么这两个角分别为22.5°和

67.5°,故原说法错误；

（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角一定相等，故原说法错误；

（3）如果两个角的度数分别是73°42,和16°18，，那么这两个角互余，故原说法正确；

（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小90°,故正确.

正确的个数有2个，

故选:B.

【点评】本题主要考查补角和余角，灵活运用余角和补角的性质及求解角的度数是解题

的关键.

10.（2分）（2021秋•济源期末）如图表示3X3的数表，数表每个位置所对应的数都是1,

2或3.定义a*b为数表中第a行第b列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2,

所以3*1=2.若2*3=（2x+l）*2,则尤的值为（）

第I列第2列第3列

第侑232

第2行313

第3行232

A.0,2B.I,2C.1,0D.1,3

【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算；规律型：数字的变化类.

【分析】首先根据题意，由2*3=（2x+l）*2,可得：（2x+l）*2=3,然后根据数表，

可得：2%+1=3或2x+l=l,据此求出x的值为多少即可.

【解答】解：；2*3=（2x+l）*2,

（2x+l）*2=3,

根据数表，可得：2x+l=3或2%+1=1,

解得：x—\或x=0.

故选：C.

【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般

步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

11.（2分）（2021秋•天津期末）用四舍五入法取近似数：2.7682P2.77.（精确到0.01）

【考点】近似数和有效数字.

【分析】把千分位上的数字8进行四舍五入即可；

【解答】解：2.7682P2.77.（精确到0.01）.

故答案为：2.77.

【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确

度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的

大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些.

12.（2分）（2021秋•舞阳县期末）若x=-1是关于x的方程2x-m=5的解，则机的值是

-7.

【考点】一元一次方程的解.

【分析】把1=-1代入方程计算即可求出m的值.

【解答】解：把x=-l代入方程得：-2-m=5,

解得：m=-7,

故答案是：-7.

【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数

的值.

13.（2分）（2021秋•舞阳县期末）若一京"+3y与2/>"+3是同类项，则（m+n）21=-1.

【考点】同类项.

【分析】根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这

样的项叫做同类项.

【解答】解：由题意得：m+3—4,n+3—l,

••fti1,n:=-2,

（m+n）21=（1-2）21=-1,

故答案为：-1.

【点评】本题考查了同类项.解题的关键是熟练掌握同类项的定义.

14.（2分）（2020秋•西城区期末）如图所示的网格是正方形网格，则（填

>“，“="或“<")

【考点】角的大小比较.

【分析】根据正方形网格的特征，以及角叉开的程度进行判断即可.

【解答】解：根据网格的特征以及角的表示可知，

NMPN=NCOD,

而NC0C=N408,

因此ZAOB,

【点评】本题考查角的大小比较，理解角的意义和正方形网格特征是正确判断的前提.

15.（2分）（2020秋•西城区期末）用符号出，力表示匕两数中的较大者，用符号（a,b）

表示a,6两数中的较小者，则L1,-1]+（0,-|）的值为-2.

【考点】有理数大小比较.

【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果.

【解答】解：根据题意得：[-1，—^]+（0,-|）=-^+（—1）=-2.

故答案为：-2.

【点评】此题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较的方法是解答本题的关

键.

16.（2分）（2020•平谷区一模）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的

数学问题“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加三颗，问五人各得几何？”题目大意

是：诸侯5人，共同分60个橘子，若后面的人总比前一个人多分3个，问每个人各分得

多少个橘子？若设中间的那个人分得x个，依题意可列方程得(x-6)+(x-3)+x+

(x+3)+(x+6)=60.

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识.

【分析】设中间的那个人分得x个，则其它四人各分得(x-6)个，(Jt-3)个，(x+3)

个，(x+6)个，根据共分橘子60颗列出方程即可.

【解答】解：设中间的那个人分得x个，由题意得：

(x-6)+(%-3)+x+(x+3)+(x+6)=60,

故答案为：(x-6)+(x-3)+x+(x+3)+(JC+6)=60.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出

题目中的等量关系，再列出方程.

17.(2分)(2020秋•西城区期末)如图，C,D,E为线段AB上三点，

(1)若DE=/A8=2,则A3的长为10；

19

(2)在⑴的条件下，若点E是。8的中点，AC=^CD,则CO的长为-.

J2

ACDEB

【考点】两点间的距离.

【分析】(1)由548=2计算可求解A8的长；

(2)由中点的定义可求得。8的长，结合AB的长可得AO=6,结合已知条件可求解CQ

的长.

【解答】解：⑴'：DE=^AB=2,

：.AB=\0；

(2)•点E是力8的中点，DE=2,

：.DB=2DE=4,

；AB=10,

：.AD=AB-DB=10-4=6,

'：AC=1C£>,

CD=%O=占

9

故答案为

【点评】本题主要考查线段的中点，两点间的距离，求解线段A。的长是解题的关键.

18.（2分）（2020秋•西城区期末）有四个大小完全相同的小长方形和两个大小完全相同的

m-n

大长方形按如图所示的位置摆放，按照图中所示尺寸，小长方形的长与宽的差是—

【分析】设小长方形的长为x,宽为y,根据题意由大长方形的长度相等列出方程求出x

-y的值，即为长与宽的差.

【解答】解：设小长方形的长为x,宽为》

根据题意得：m+y-x=n+x-yf即2x-2y=m-〃，

整理得：X-尸画井.

则小长方形的长与宽的差是"三.

【点评】此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系,

列出方程，注意整体思想的运用.

三、解答题（本题共45分，第20题20分，第22题10分，其余每题5分）

19.（5分）（2021秋•舞阳县期末）如图，已知平面内有四个点A,B,C,D.

根据下列语句按要求画图.

（1）连接A8；

（2）作射线AD,并在线段AO的延长线上用圆规截取。E=AB；

（3）作直线BC与射线AO交于点F.

观察图形发现，线段得出这个结论的依据是：两点之间，线段最短

D.

C

B

【考点】作图一复杂作图；直线、射线、线段；线段的性质：两点之间线段最短.

【分析】(1)根据作图语句连接AB即可；

(2)根据射线和线段的定义即可作射线AD,并在线段AO的延长线上用圆规截取。E=

48；

(3)根据直线和射线定义即可作直线BC与射线交于点F,进而可得出结论的依据.

【解答】解：(1)如图，AB即为所求；

(3)直线BC即为所求；

线段得出这个结论的依据是：两点之间，线段最短.

故答案为：两点之间，线段最短.

【点评】本题考查了作图-复杂作图，直线、射线、线段，线段的性质：两点之间，线

段最短，解决本题的关键是掌握基本作图方法.

20.(20分)(2020秋•西城区期末)计算：

(1)13+(-24)-25-(-20)；

(2)254-5X(-1).(母3；

753

(3)(-K+Z-T)X(-36);

964

(4)-I4-(1-0.5)x|x|l-(-5)2|.

【考点】有理数的混合运算.

【分析】(1)原式利用减法法则变形，计算即可求出值；

(2)原式从左到右依次计算即可求出值；

(3)原式利用乘法分配律计算即可求出值；

(4)原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值.

【解答】解：(1)原式=13-24-25+20

=-16；

(2)原式=25x耳x耳Xg

4

=3:

7qa

(3)原式=-$x(-36)+1x(-36)一年x(-36)

=28-30+27

=25；

一1

(4)原式=-1-0.5xX24

="1-4

=-5.

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

21.(5分)(2020秋•西城区期末)先化简,再求值：(3/-否)-2b-2(2/-否),

其中4=1,b--2.

【考点】整式的加减一化简求值.

【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与h的值代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=3。/-a%-4%-4“d+Za%

=-ab2,

当a=1,h=-2时，原式=-1X(-2)2=-4.

【点评】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

22.(10分)(2021秋•舞阳县期末)解下列方程：

(1)3(x+1)=5x7；

2x-l2x+l

(2)=----------1

36

【考点】解一元一次方程.

【分析】(1)去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可.

(2)去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为I,据此求出方程的解是多少即可.

【解答】解：⑴去括号，可得：3x+3=5x-1,

移项，可得：3x-5x=-l-3,

合并同类项，可得：-2x=-4,

系数化为1,可得：x=2.

（2）去分母，可得：2（2x7）=2x+l-6,

去括号，可得：4x-2=2x+l-6,

移项，可得：4x-2x=1-6+2,

合并同类项，可得：2x=-3,

系数化为1,可得：x=-/

【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般

步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

23.（5分）（2020秋•西城区期末）解方程组：片::丫=：

【考点】解二元一次方程组.

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.

【解答】解：俨+3'=-3巴

②-①X2得：-y=-l,

解得：y=l，

把y=l代入①得：x=-3,

则方程组的解为

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元

法与加减消元法.

四、解答题（本题共19分，第24题5分，第5题6分，第26题8分）

24.（5分）（2021秋•舞阳县期末）请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）

己知：如图，点A,O,B在同一条直线上，0。平分NAOE,ZCOD=90°.

求证：OC是N80E的平分线.

证明：因为。。是NAOE的平分线，

所以（理由：角平分线的定义）

因为/COQ=90°.

所以NOOE+NCOE=90°,

/AOZ）+/8OC=180°-ZCOD=90°.

因为NAOO=/DOE,

所以/COE=NBOC.（理由：等角的余角相等）

所以OC是NBOE的平分线.

【考点】角的计算；角平分线的定义.

【分析】根据角平分线的定义，以及等角的余角相等逐步推理证明NCOE=/BOC即可

求证OC是NBOE的平分线.

【解答】证明：因为0。是/AOE的平分线，

所以NAOD=N£）OE.（理由：角平分线的定义），

因为/COQ=90°.

所以/OOE+NCOE=90°,

N4OO+NBOC=180°-ZCOD=90°,

因为NAO£）=NOOE,

所以NCOE=N8OC（理由：等角的余角相等），

所以OC是/BOE的平分线.

故答案依次为：角平分线的定义，COE,90,COE,BOC,等角的余角相等.

【点评】本题考查角平分线的定义以及证明推理过程的正确书写，熟练掌握角平分线的

定义，以及等角的余角相等逐步推理证明/COE=NBOC是解题的关键.

25.（6分）（2020秋•西城区期末）某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A,B两

种型号的新能源汽车.据了解，2辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆

A型汽车和2辆8型汽车的进价共计95万元.

（1）求A,B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；

（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购

买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请直接

写出该公司的采购方案.

【考点】二元一次方程组的应用.

【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2

辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共

计95万元”，列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购进A型汽车〃?辆，购进8型汽车〃辆，根据总价=单价X数量，即可得出关

于利,〃的二元一次方程，结合〃z,〃均为正整数即可得出各购买方案.

【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，

依题意，得:鼠乳器,

（3%十Ly—yj

解得：

答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元.

（2）设购进A型汽车故辆，购进B型汽车〃辆，mV”，

依题意，得：25/M+10n=200,

m=8一耳〃.

・・・"?，"均为正整数，

A/i为5的倍数，

...产=：或产=*或产=2

5=51n=10In=15

...{:二:不合题意舍去，

.•.共2种购买方案，

方案一：购进A型车4辆，B型车10辆；

方案二：购进A型车2辆，B型车15辆.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）

找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程.

26.（8分）（2020秋•西城区期末）数轴上有A,B两个点，点A在点B的左侧，已知点B

表示的数是2,点A表示的数是a.

（1）若。=-3,则线段AB的长为5；（直接写出结果）

(2)若点C在线段A8之间，且AC-BC=2,求点C表示的数；(用含a的式子表示)

(3)在(2)的条件下，点。在数轴上C点左侧，AC=2AD,BD=4BC,求a的值.

【考点】一元一次方程的应用；数轴；列代数式.

【分析】(1)根据点A、B表示的数利用两点间的距离公式即可求出AB的长度；

(2)设点C表示的数为x,则AC=x-a,BC=2-x,根据AC-8C=2,即可得出关于

x的一元一次方程，解之即可得出结论；

⑶根据题意得至lj4C=x-4=2-多,AD=^AC=\-1,AB=2-a,BD=4BC=-2a.再

分①点。在点A的左侧时，BD=AB+AD；②点。在点4的右侧，点C的左侧时，BD

=AB-AD,分别列出方程，解之即可.

【解答】解：(1)48=2-(-3)=5.

故答案为：5；

(2)设点。表示的数为1,则AC=x-a,BC=2-x,

VAC-BC=2,

-a-(2-x)=2,

解得x=2+*

・••点。表示的数为2+今

(3)依题意AC=x-a=2+?—〃=2—号

AD=1/1C=i(2一分=1一?

AB=2-a,

BD=4BC=4(2-x)=4(2-2-1)=-2a.

分两种情况：

①当点。在点A的左侧时，

'：BD=AB+AD,

-2a=2-ci+1-yr,

q

解得a=-4；

②当点。在点A的右侧，点。的左侧时，

9

：BD=AB-ADf

-2。=2-a-1+彳，

解得

综上，a的值是-4或一3

【点评】本题考查了数轴和一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据

题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.

一、填空题（本题6分）

27.（6分）（2020秋•西城区期末）观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：

1+8=32,

1+8+16=52,

1+8+16+24=72,

1+8+16+24+32=居

***,

（1）第4个等式中正整数上的值是9；

（2）第5个等式是：1+8+16+24+32+40=112；

（3）第〃个等式是：1+8+16+24+32+...+8〃=（2〃+1）].（其中"是正整数）

【考点】规律型：数字的变化类.

【分析】（1）根据给出的算式计算即可；

（2）总结规律继续写出第5个算式即可；

（3）根据上面的式子可归纳第”个等式为1+8+16+24+32+...+8〃=（2n+l）2.

【解答】解：（1）1+8+16+24+32=0且■取正整数,

k=9,

故答案为：9；

（2）观察上面的规律可得：

第5个等式是：1+8+16+24+32+40=112,

故答案为：1+8+16+24+32+40=1/；

（3）根据已知等式可归纳为：

第"个等式是：1+8+16+24+32+...+8n=（2n+1）~.

故答案为：1+8+16+24+32+...+8〃=（2n+l）2.

【点评】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键.

二、解答题（本题共14分，第28题6分，第29题8分）

28.（6分）（2020秋•西城区期末）如图所示的三种拼块4,B,C,每个拼块都是由一些大

小相同、面积为1个单位的小正方形组成，如编号为A的拼块的面积为3个单位.

现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平

移、旋转，或翻转.

（1）若用1个4种拼块，2个8种拼块，4个C种拼块，则拼出的正方形的面积为25

个单位.

（2）在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个A种拼块和1个B种拼块，请分

别用不同的拼法将图1和图2中的正方形拼图补充完整.要求：所用的A,B,C三种拼

块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠.

【考点】利用旋转设计图案；利用平移设计图案.

【分析】（1）求出各个图形的面积和即可.

（2）分别用3个A,2GB,1个C或4个A,1个吧，1个C,拼面积为25的正方形即

可.

【解答】解：（1）1个A种拼块，2个8种拼块，4个C种拼块，面积=3+6+16=25,

故答案为：25.

（2）图形如图所示:

1

【点评】本题考查利用旋转，平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题.

29.（8分）（2020秋•西城区期末）对于数轴上的点4,B,C,D,点、M,N分别是线段A8,

CD的中点，若MN=W（AB+CD）,则将e的值称为线段A8,CD的相对离散度.特别地，

当点M,N重合时，规定e=0.设数轴上点O表示的数为0,点T表示的数为2.

（1）若数轴上点E,F,G,H表示的数分别是-3,-1,3,5,则线段E凡OT的相对

3

离散度是-,线段FG,四的相对离散度是0；

（2）设数轴上点。右侧的点S表示的数是s,若线段OS,。7的相对离散度为e=±,求

s的值；

（3）数轴上点P,。都在点O的右侧（其中点P,。不重合），点R是线段PQ的中点，

设线段OP,。7的相对离散度为ei,线段O。，OT的相对离散度为e2,当ei=e2时，直

接写出点R所表示的数r的取值范围.

【考点】数轴.

【分析】（1）依据相对离散度的计算公式，解答即可；

（2）利用对离散度的计算公式，列出关于s的方程，解方程即可得出结论；

（3）设尸，。对应的数为孙〃，则R对应的数片哼利用对离散度的计算公式，分

别得出ei,e2,利用0=及时，根据分类讨论的思想得到m,n的关系式，最终得出r

的取值范围.

【解答】解：（1）•••点E,F表示的数分别是-3,-1,

EF=2,EF的中点M对应的数为-2.

:数轴上点。表示的数为0,点T表示的数为2,

：.OT=2,OT的中点N所对应的数为1.

:.MN=3.

,:MN=W(EF+OT),

.,.3=1(2+2).

.3

••e=2；

:数轴上点E,F,G,4表示的数分别是-3,-1,3,5,

：.FG=4,FG的中点J对应的数为1,EH=8,E”的中点K对应的数为1,

：.JK=O,

•••6=0.

3

故答案为：-；0；

(2)设线段OS,。7'的中点为LK,

•；数轴上点O