高考数学二轮复习专题14数列求和综合必刷100题（教师版）

/112/112/专题14数列求和综合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，利用累加法得出.【详解】由题意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.故选：B.2．已知数列的前项和为，且，，则数列的前2020项的和为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据已知条件求得，然后求得，利用裂项求和法求得正确答案.【详解】数列的前项和为，且，，则.所以，两式相减得：，且，，当为奇数时，，当为偶数时，，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列.所以，故，所以，则.故选：B3．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为（）A．2100－101 B．299－101 C．2100－99 D．299－99【答案】A【分析】由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，结合分组求和法即可求解．【详解】由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101．故选：A4．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，.则使得的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.【详解】数列的前项和满足，当时，；当时，，当时，适合上式，所以，则，所以.故选：B.5．已知数列{an}满足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】根据递推关系式得出数列是周期为6的周期数列，利用周期性即可求解.【详解】∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1.故选：C.6．正项数列满足，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】对化简可得，从而可得数列是等差数列，首项为1，公差为3，求出通项，则可得，然后利用裂项求和法计算【详解】，，，，数列是等差数列，首项为1，公差为3，.，.故选：B.7．化简的结果是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】用错位相减法求和．【详解】，（1），（2）（2）－（1）得：．故选：D．8．已知数列中，，求数列的前项和为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意化简得到，得到数列构成首项为，公比为的等比数列，求得，结合等比数列和等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，数列中，，可得，即，且，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以，即，则数列的前项和.故选：C.9．等比数列中，，，数列，的前项和为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求出【详解】由题意得，所以，所以.故选：B10．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，．则使得成立的的最大值为（）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C【分析】根据求通项公式，注意讨论、并判断是否可合并，再应用裂项法求，最后根据不等式求的最大值即可.【详解】当时，；当时，；而也符合，∴，.又，∴，要使，即，得且，则的最大值为19.故选：C.第II卷（非选择题）二、填空题11．数列是首项和公差都为1的等差数列，其前n项和为，若是数列的前n项和，则______【答案】/.【分析】首先写出等差数列前n项和，则有，再应用裂项相消法求.【详解】由题意：，故，于是，∴.故答案为：.12．已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小的自然为__________.【答案】14【分析】先利用其通项公式以及对数函数的运算公式求出．再利用对数的运算性质解不等式即可求出对应的自然数．【详解】解：因为，所以．．故答案为：14．13．已知数列满足，则的前20项和________．【答案】95【分析】利用分组求和法以及等差数列的前n项和公式即可求出结果.【详解】因为，则，所以所以，故答案为：95.14．已知正项数列满足，，则___________.【答案】【分析】化简数列的递推关系式，得到，结合等差数列的通项公式，求得，可得，利用裂项法，即可求解.【详解】由题意，正项数列满足，，可得，因为，可得，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以，则所以故答案为：.15．设数列满足，，，则数列的前50项和是________．【答案】1300【分析】利用累加法可求得数列的通项公式，再并项求和求解前50项和即可.【详解】因为，，且，故时，，，…，，累加可得，，满足上式，即，故的前50项和，即．故答案为：1300.16．设，则__________.【答案】【分析】根据题意求出，然后结合倒序相加即可求出结果.【详解】因为，所以，设…………（1），则…………（2），（1）+（2）得，即，故，故答案为：.17．数列的前项和为，且，且，则___________.【答案】【分析】由求得，又可得，根据，求出，又因为，代入数据求解即可．【详解】由，又，得故答案为：18．在数列中，，且，则数列的前项和为__________.【答案】【分析】将已知数列的递推关系式化简可得，通过累加法和等差数列的求和公式得出数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可．【详解】，，即，，，…，将以上各式累加，可得，将代入，可得，，则，数列的前项和为.故答案为：.19．已知数列，……，则该数列的前10项和为__________．【答案】【分析】由题意得出此数列的通项公式，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n项和，进一步就可以求前10项的和.【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n项和，由公式可得：，求和得：.所以前10项的和为：.故答案为：.20．已知数列满足且，数列的前项为，则不等式最小整数解为________.【答案】5【分析】先由题意可得，，然后验证当n＝1时也成立，从而求得an与2nan，再利用错位相减法求得Sn，代入不等式Sn≥30an中，求得满足题意的n即可．【详解】由可得：两式相减得：，即又a1＝1，可得：1＝a2﹣1，解得：a2＝2，∴∴∴an＝n，2nan＝n?2n，又Sn＝1×21+2×22+3×23+…+n?2n，2Sn＝1×22+2×23+…+（n﹣1）?2n+n?2n+1，两式相减得：﹣Sn＝2+22+23+…+2n﹣n?2n+1＝整理得：Sn＝（n﹣1）?2n+1+2，由Sn≥30an可得：（n﹣1）?2n+1+2≥30n，即∵当n＝1，2，3，4时，；当n＝5时，，∴满足不等式Sn≥30an最小整数解为5，故答案为：5．三、解答题21．数列的前n项和为，若，点在直线上.（1）求证：数列是等差数列；（2）若数列满足，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）将点代入整理可得，由等差数列的定义即可得出答案.（2）根据与的关系求出，进而得出，再由错位相减法即可求解.（1）∵点在直线上，∴同除以，则有：数列是以3为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）可知，，∴当时，，当时，经检验，当时也成立，∴.∵，∵∴即22．已知数列为等差数列，公差，且，，依次成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）设公差为，根据等比中项的性质得到方程，求出，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求出，再解方程即可；（1）解：设公差为，由，，依次成等比数列，可得，即，解得，则.（2）解：由（1）可得，即有前项和为解得.23．在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用等差数列的性质及等差数列的通项公式即得；（2）由题可得，再利用裂项相消法即得.（1）法1：因为，所以，因为，所以，所以，所以公差，所以．法2：设等差数列的公差为，联立得解得所以．（2）由（1）知，所以，，所以．24．已知数列满足，.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.在（①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分）【答案】（1）证明见解析，（2）答案不唯一，见解析【分析】（1）对递推公式两边同时取倒数，结合等差数列的定义进行运算证明即可；（2）选①：运用裂项相消法进行求解即可；选②：运用分类讨论方法进行求解即可；选③：运用分组求和法，结合等差数列和等比数列前n项和公式进行求解即可.（1）显然，由，两边同时取倒数得：，即，所以数列是公差为2的等差数列.故，即.（2）选①：，由已知得，，故数列的前项和，选②：，由已知得，，故数列的前项和，当为偶数时，；当为奇数时，，故选③：，由已知得，，故数列的前项和25．已知正项数列的前项和为，且，.数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）根据与的关系以及等差数列的通项公式即可求解.（2）由，利用叠加，裂项相消法即可证明.（1）∵，，∴，∴，当时，有，∴，∴，∵，∴∴数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，，∴.（2），所以得，从而，从而可得26．已知是等比数列，，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【分析】（1）求得公比，由此求得数列的通项公式.（2）利用分组求和法求得.（1），，，，，.（2），.27．已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明．【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）根据等比中项的性质结合等差数列通项公式，可得，根据，即可求得的值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，代入可得，利用裂项相消求和法，即可得的表达式，即可得证.（1）因为成等比数列，所以，则，又，所以，又，所以，所以.（2）由（1）可得，所以，所以数列的前项和为.28．已知数列满足，，．数列满足，，其中为数列是前n项和．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前n项和，并证明：．【答案】（1）；（2）；证明见解析【分析】（1）根据递推公式，结合等比数列的定义可以求出数列的通项公式，再利用累和法可以求出数列的通项公式；（2）利用错位相减法，结合的单调性证明即可.（1）由，可得，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以数列的通项公式为．因为，所以，所以，所以数列的通项公式为．（2）由（1）可得，所以①，②，②－①得，所以．，，所以递增，所以，又当时，，所以．因此，．29．已知数列的前项和为，，数列满足，．（1）求数列、的通项公式；（2）若数列满足，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式；利用累加法可求出数列的通项公式；（2）由（1）问结论求出，然后利用裂项相消求和法，求出的和即可证明原不等式.（1）解：由，得，所以又由，得，满足，所以，而，所以，所以；（2）证明：因为，所以.30．在各项均为正数的等比数列中，成等差数列．等差数列{}满足，．（1）求数列{}，{}的通项公式;（2）设数列的前n项和为Tn，证明：【答案】（1），；（2）证明过程见解析.【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可；（2）用裂项相消法进行求解证明即可.【详解】（1）设各项均为正数的等比数列的公比为，等差数列{}的公差为，因为成等差数列，所以，因为，所以（舍去），因此，，由，所以；（2）因为，所以，于是有，因为，所以.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．已知数列满足，且，则该数列的前9项之和为（）A．32 B．43 C．34 D．35【答案】C【分析】讨论为奇数、偶数的情况数列的性质，并写出对应通项公式，进而应用分组求和的方法求数列的前9项之和.【详解】，当为奇数时，，则数列是常数列，；当为偶数时，，则数列是以为首项，公差为的等差数列，.故选：C2．数列满足，，数列的前项和为，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用递推关系，确定数列是递增数列，把递推关系变形得出，便于用裂项相消法求得和，再由计算数列的前几项，最终得出，从而估计出的范围．【详解】因为，，所以，即，是递增数列，，，，所以，，，，，所以，，．故选：B．3．设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】由已知得.再求得，从而有数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得，从而求得得答案.【详解】解：由，得，∴.又由，得，又，∴.所以，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，则，∴，∴，∴.∴.∵对任意，，∴的最小值为.故选：B.4．记数列的前项和为，若，，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题设中的递推关系可得，从而可求的通项，故可求.【详解】因为，故，而，故，故为等比数列且为等比数列，公比均为.而，故，.所以，故选：B.5．数列是正项等比数列，满足，则数列的前项和（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据递推关系求出通项公式，在代入，利用裂项相消法求和.【详解】数列是正项等比数列，公比设为，由，可得，，解得，，则．则，则前项和．故选：A.6．数列满足，且（），则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，利用累加法求得，进而得到，利用裂项相消法求解.【详解】∵，，…，，∴，即，∴，．∵符合上式，∴．∴，，，．故选：A．7．设数列满足，若，且数列的前项和为，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据的递推关系求出的通项公式，代入的表达式中，求出的通项，即可求解的前项和【详解】由可得,∵,∴,则可得数列为常数列，即,∴∴,∴.故选:D8．已知函数，数列满足，则数列的前2019项和为（）A． B．1010 C． D．1011【答案】A【分析】根据函数结构特征，得到，再将该式子用于求和.【详解】因为，所以，有.记数列的前项和，又，所以.所以.故选：A.9．已知数列的前项和为，前项积为，且，．若，则数列的前项和为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用与关系可求得，并推导得到，由此可确定为等比数列，由等比数列通项公式可求得，利用可得，进而得到，利用裂项相消法可求得结果.【详解】，，即，，又，．，，整理得：，又，，数列是首项为，公比为的等比数列，，，，.故选：A.10．数列满足﹐若，则的前项和为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，所以可得数列是等差数列，得数列的通项公式，再利用错位相减法求和.【详解】因为，所以，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，所以，设的前项和为，所以①，②，①-②得，，得.故选：C11．已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列.令，数列的前n项和为，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，，成等比数列，所以，根据d=2，即可求得的值，即可求得，进而可得，利用裂项相消法即可求得的表达式，分析即可得答案.【详解】因为，，成等比数列，所以所以，整理可得解得，所以，所以，所以=，因为对于，不等式恒成立，所以，即，所以.故选：A12．已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得,即,所以从而可得，得出答案.【详解】若存在，由，则可得或，由可得，由可得所以中恒有由，可得所以，即所以所以，即所以，则，所以故选：C13．设为数列的前n项和，，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由递推式求出数列的首项,当时分为偶数和奇数求出,代入后分组,然后利用等比数列的前项和公式求解.【详解】由，当时，，得；当时，，即.当n为偶数时，，所以（为正奇数），当n为奇数时，，所以（为正偶数），所以，所以，所以，所以.因为.故选：A14．正项数列的前n项和为，且，设，则数列的前2020项的和为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据和项与通项关系得，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得，代入化简，最后利用分组求和法求结果.【详解】因为，所以当时，，解得，当时，，所以，因为，所以，所以数列是等差数列，公差为1，首项为1，所以，所以，则数列的前2020项的和.故选：C第II卷（非选择题）二、填空题15．已知正项数列的前项和为，且.若，则数列的前2021项和为___________.【答案】【分析】先根据，求出的通项公式，再结合的通项公式进行裂项相消法求和【详解】当时，，因为数列各项为正，所以.当时，，所以，所以，整理得.因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.易知，，所以，所以数列的前2021项和为.故答案为：16．已知数列的各项均为正数，，，，数列的前项和为，若对任意正整数都成立，则的取值范围是___________.【答案】【分析】先将因式分解，结合数列的各项均为正数，推导出是等比数列，求出数列的通项公式；将数列的通项公式代入中，得到数列的通项公式；将数列的通项公式裂项，求出数列的前项和为；然后判断的单调性，求出的取值范围，确定的取值范围，最后求出的取值范围.【详解】数列的各项均为正数(舍去)数列是以为首项，以为公比的等比数列.数列的前项和为,单调递增，单调递减单调递增，又的取值范围是故答案为：17．设为数列的前项和，满足，，其中，数列的前项和为，则___________.【答案】【分析】由累乘法可求，然后利用裂项相消法即求.【详解】由，得，累乘，得，化简得，，，当时，成立，，，，.故答案为：.18．已知正项数列满足且，令，则数列的前项的和等于___________.【答案】【分析】首先由递推关系可得是等比数列，进而可得、的通项公式，再利用乘公比错位相减，分组求和即可求解.【详解】由可得，因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以，则的前项的和等于，令，前项的和为，则，，两式相减可得：，所以，所以前项的和为，故答案为：.19．已知，记数列的前n项和为，且对于任意的，，则实数t的最大值是________.【答案】162【分析】将数列通项化为，裂项求和求得，又对于任意的，，分类参数t，得到关于n的表达式，借助基本不等式求得最值.【详解】由题知，，则，又对于任意的，，则，即，由，当时等号成立，则实数t的最大值是162.故答案为：16220．数列且，若为数列的前项和，则__________.【答案】【分析】由题意，当为奇数时，；当为偶数时，.然后根据分组求和法、裂项相消求和法及三角函数的周期性即可求解.【详解】解：数列且，①当为奇数时，，②当为偶数时，，，则偶数项和为，所以，故答案为:.21．用表示正整数所有因数中最大的那个奇数，例如：的因数有，，，则，的因数有，，，，则．计算________．【答案】【分析】根据的定义得到，且当n为奇数时，，再令，再利用分组求和的方法，得到，然后利用累加法求解.【详解】由的定义得：，且当n为奇数时，，设，则，，，，即，由累加法得：，又，所以，所以，故答案为：22．已知数列满足，则___________；若，则数列的前项和___________.【答案】【分析】由得出：当时，，两边作差得，即【详解】∵，①∴当时，，②①-②得，则.当时，由①得，不满足上式∴，，，又也满足上式，∴.故答案为：；.23．已知数列的前n项和为，且满足，则______________．【答案】【分析】由，推得，得到数列表示首项为，公比为的等比数列，求得和，进而得到，再结合等比数列求和公式，即可求解.【详解】由数列的前项和，且满足，当时，，两式相减，可得，即，令，可得，解得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，则，所以，所以.故答案为：.24．已知数列的前项和为，点在直线上．若，数列的前项和为，则满足的的最大值为________．【答案】13【分析】由题设易得，即可求，进而得，讨论为奇数、偶数求，结合已知不等关系求的最大值即可.【详解】由题意知：，则，当时，；当时，；而，∴，，∴，∴，当为奇数时，，当为偶数时，，∴要使，即或，解得且.故答案为：13.25．已知正项数列的前项和为，，且，设，则数列前项和的取值范围为_________．【答案】【分析】根据之间关系可得数列为等差数列并得到，然后得到，根据裂项相消可得数列前项和，最后进行判断即可.【详解】由①，则②②-①化简可得：，又，所以当时，所以符号，故数列是首项为1，公差为1的等差数列所以，则所以令设数列前项和所以所以，当为偶数时，，则且当为奇数时，，则且综上所述：故答案为：26．已知数列满足：，，(且)，等比数列公比，令，则数列的前项和___________.【答案】【分析】依据题意可得，然后依据公式可得，然后根据递推关系可得数列为等差数列，进一步得出，最后分组求和可得结果.【详解】解：因为，，(且)，①可得时，，即，由等比数列的的公比为，即，解得，所以，当时，，即，解得，又(且)，②①﹣②可得，，即，化为，又，所以数列为等差数列，且公差，则，所以，所以.故答案为：.27．已知数列与前n项和分别为，，且，，则________．【答案】【分析】由递推关系求得数列的通项公式，代入，根据裂项求和的办法求得.【详解】因为，所以当时，，两式相减得：，整理得，，由知，，从而，即当时，，当时，，解得或0（舍），则首项为1，公差为1的等差数列，则．所以，则．∴．故答案为：.三、解答题28．数列中，为的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【分析】（1）由与的关系可得为等差数列，再由等差数列的通项公式即可求解；（2）由裂项相消法求解即可（1）当，则，所以，当时，得：，，整理得，所以为等差数列，，；（2）29．已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且，.（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；（2）若数列满足，.设数列满足，证明：.【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【分析】（1）由递推关系构造等差数列，求出通项后得，由求即可；（2）由递推关系构造等比数列，求出，对裂项后，利用相加相消求和即可得证.（1）因为，所以因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，因此即，当时，，又符合上式，故，所以，即是等差数列.（2）由，得所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即.,裂项得30．已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，，.（1）求数列的通项公式；（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知，___________，是否存在正整数，使得数列的前项和？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】（1）（2）答案见解析【分析】(1)根据给定条件求出等比数列的公比即可得解.(2)根据选择的条件计算出等差数列的公差及前项和为，再用裂项相消法求出即可列式计算作答.（1）设等比数列的公比为，由得：，，又，因此有，即，解得，(舍去)，则，所以数列的通项公式.（2）若选①：设等差数列公差为d，则，，解得，于是得：，，则有，由，解得，而为正整数，则的最小值为，所以存在正整数满足要求，的最小值为.若选②：设等差数列公差为d，则，，解得，于是得，，则有，由，解得，而为正整数，则的最小值为，所以存在正整数满足要求，的最小值为.若选③：设等差数列公差为d，则，，解得，于是得：，，，令，得，显然数列()是递减的，当时，，当时，，即由得，则的最小值为所以存在正整数满足要求，的最小值为.31．在①，；②公差为2，且，，成等比数列；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，______．（1）求数列的通项公式；（2）令，其中表示不超过x的最大整数，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】选①（1）由等差数列的前项和公式列方程组解得和后可得通项公式；（2）根据定义求出，然后求和．选②（1）由等差数列的前项和公式结合等比数列性质求得后可得通项公式；（2）根据定义求出，然后求和．选③（1）利用和求得通项公式；（2）根据定义求出，然后求和．（1）选①：设的公差为d，则由已知可得，解得，故的通项公式为选②：因为，，，由题意得，解得，所以的通项公式为选③：当时，当时，，符合所以的通项公式为（2）选①由知，，所以选②由知所以选③由知所以32．在①②这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．已知数列的前项和是数列的前项和是，__________．（1）求数列的通项公式；（2）设证明：【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【分析】（1）选条件①：由，，可得，根据等比数列通项公式即可求解；选条件②：由，，可得，利用迭代法可求，借助已知条件可得；（2）选条件①：利用错位相减求和法求和后即可证明；选条件②：利用裂项相消求和法求和后即可证明.（1）解：选条件①：由，可得，两式相减可得，所以，在中，令，可得，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，，故数列的通项公式为，数列的通项公式为；选条件②：由，可得两式相减可得，即，所以，在中，令，可得，所以，所以由，，，所以，从而有，所以，，故数列的通项公式为，数列的通项公式为．（2）证明：选条件①：由（1）知，设，，两式相减可得所以，即；选条件②：由（1）知，所以．33．在①；②；③，，成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：数列是各项均为正数的等比数列，前n项和为，且______．（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）条件选择见解析，（2）【分析】（1）选①，利用及得出数列的递推关系求得公比，从而得通项公式；选②，利用基本量法求得公比后可得通项公式；选③，利用基本量法及及等差数列的性质求得公比后可得通项公式；（2）求出，然后分类讨论，分组求和．（1）设等比数列的公比为．选①当时，，∴，∴，∴，又∵，∴．选②∵，，∴，∵解得，∴．选③由题意得，∴，∴，即，∵，∴，∴；（2），当n为偶数时，，当n为奇数时，，综上，．34．已知数列中，，.（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析，（2）【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，即可求出的通项公式；（2）依题意可得，再利用错位相减法求出，则，再根据指数函数的性质对分奇偶两种情况讨论，即可求出参数的取值范围；（1）解：因为，，所以，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以（2）解：因为，所以，所以两式相减得，所以，所以．令，易知单调递增，若为偶数，则，所以；若为奇数，则，所以，所以．所以．35．已知为等比数列，，记数列满足，且.（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数，设，求的前项的和.【答案】（1），（2）答案见解析【分析】（1）由数列与的关系判断，再根据对数运算和所给条件算出公比和首项，的通项公式可得，再根据与的关系可得的通项公式，（2）写出，根据的奇偶分类讨论.（1）设等比数列的公比为，对任意的，则，则，所以，因为，可得，因为，则，∴，所以，；（2）为偶数时，为奇数时，36．设正项数列的前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，若数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）利用时，得出的递推关系式，确定是等差数列，从而得通项公式；（2）用裂项相消法求得和后根据的单调性证明不等式．（1）解：由题意得，当时，，解得或，因为，所以.当时，，，两式相减，得，整理得，因为，所以，，，故数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.（2）证明：因为，所以则，因为，所以，又，所以单调递增，所以，所以.37．已知数列的前项和为.若，且（1）求；（2）设，记数列的前项和为.证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）由题意得，从而得到数列是以为首项?为公差的等差数列，即可得到答案；（2）求得数列的通项公式，再利用裂项相消法求和，结合不等式的放缩法，即可得到答案；（1）因为数列的前项和为，所以由可得又因为，所以，因此，数列是以为首项?为公差的等差数列，所以.（2）因为而，所以所以数列的前项和为故，命题得证.38．已知等差数列的前n项和为，且．（1）求的通项公式以及；（2）求使不等式成立的最小值n．【答案】（1），；（2）5【分析】（1）由已知条件求等差数列的基本量，进而写出等差数列通项公式及前n项和公式.（2）应用裂项相消法求，根据不等式求n的范围，即可知n的最小值.（1）在等差数列中，，∴，又，∴，易知：，∴，∴.（2），∴整理有，解得或，又n为正整数，∴，则n的最小值为5．39．设数列前项和为，，（）.（1）求出通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据与的关系，转化为，构造等比数列求出即可得解；（2）分n为奇数偶数，分别利用相加相消求奇数项和，利用错位相减法求偶数项的前n项和，相加即可求出前2n的和.（1）由，得，即，所以.因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即.所以当时，，又当时，满足上式，故.（2）当为奇数时，有，设数列的前项中奇数项的和为，所以当为偶数时，有，设数列的前项中的偶数项的和为，所以，所以，上述两式相减，得所以.故数列的前和.40．设数列的前项和为，已知.（1）求通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【分析】（1）采用作差法，并验证是否满足通项；（2）分为奇数和偶数进行分类讨论，结合分组求和法，奇数项结合裂项法求和，偶数项采用错位相减法，即可得出答案.（1）因为①，所以②，①-②得，即，又，当时，，故，也满足，所以；（2）当时，，即时，，奇数项作和可得：；当时，，即，偶数项作和得③，④，③-④可得：，即，化简得，故的前项和为：.任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1．已知数列满足，，（），则数列的前2017项的和为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件求出与的通项，进而求得即可求出数列的前2017项的和.【详解】在数列中，，，，，则有，即，而，于是得，因此，，则，数列的前2017项的和为.故选：D2．已知数列满足，其前项和，数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用与关系可证得为等差数列，由此可求得，将进行裂项后，前后相消可求得，将问题转化为；令，可证得为递增数列，由此得到.【详解】当时，，解得：或，又，；当时，由得：，，整理可得：，，，即，是以为首项，为公差的等差数列，；经检验：满足；综上所述：，，，由得：，令，则，为递增数列，，，即实数的取值范围为.故选：A.3．已知等比数列满足，，若，是数列的前项和，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题首先可根据、得出，然后根据得出，再然后根据错位相减法求出，最后根据题意得出对任意不等式恒成立，根据即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，，，因为，所以，，则，，，对任意不等式恒成立，即对任意不等式恒成立，因为，所以，的取值范围为.故选：C.4．设为不超过x的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前n项的和，则下列结论正确个数的有（1）（2）是数列中的项（3）（4）当时，取最小值A．1个 B．2个 C．3个 D．4【答案】C【分析】先求得的结果，归纳推理得到个数的表达，即的值，由此对四个结论逐一分析，从而得出正确选项.【详解】当时，，故.当时，，，，，故.当时，，，，故，共有个数，即，故（1）结论正确.以此类推，当，时，，，故可以取的个数为，即，当时上式也符合，所以；令，得，没有整数解，故（2）错误.，所以，故，所以（3）判断正确.，，当时，当时，故当时取得最小值，故（4）正确.综上所述，正确的有三个，故选C.5．设数列的前项积，记，求的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先由求出，再当时，由得，两式左右两边相除得，，得到数列是以为首项，1为公差的等差数列，从而求出，，令，再判断数列是递增数列，从而可求出的范围【详解】解：令，则，得，当时，因为，所以，所以，即，，所以，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以，所以，令，所以，所以数列是递增数列，，因为所以，所以，综上，，故选：D6．已知数列的前项和，，且，若，（其中），则的最小值是（）A． B．4 C． D．2018【答案】B【分析】由，可得，，以上各式相加得可求得，结合，根据均值不等式，即可求得答案.【详解】，，以上各式相加得，，，又，，即，又，，当且仅当时等号成立，故选：B．7．数列满足，（且），数列为递增数列，数列为递减数列，且，则（）．A． B． C．4851 D．4950【答案】D【分析】由数列为递增数列，得到，进而得出，又由数列为递减数列，得到，得到，得出当为奇数且时，，当为偶数时，，即可求解．【详解】因为数列为递增数列，所以，即，则，由题意，则由得，，因为数列为递减数列，所以，即，则，由题意得，，由，可得，，又，即，所以当为奇数且时，；当为偶数时，．所以．故选：D．8．已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（）A．1009 B．1010 C．2019 D．2020【答案】B【分析】由可得,则.再结合,可化简,从而可以求出正整数的最大值.【详解】,∴,∴,即数列为单调增数列,,即,,,,即,正整数的最大值为1010,故选:B.9．已知数列满足…，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的通项，再求出的通项，从而可求，利用参变分离可求的取值范围.【详解】因为…，所以…，故即，其中.而令，则，故，.，故，故恒成立等价于即恒成立，化简得到，因为，故.故选D.10．艾萨克·牛顿（1643年1月4日——1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国着名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数（）有两个零点，，数列为牛顿数列，设，已知，，的前项和为，则等于A． B． C． D．【答案】C【详解】函数有两个零点1，2，，，则由题意，，，且，，数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，则，.故选C11．已知是函数的极值点，数列满足，，记，若表示不超过的最大整数，则（）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【答案】A【详解】由题意可得，∵是函数的极值点，∴，即．∴，∴，，，，，以上各式累加可得．∴．∴====．∴．选A．12．设表示不超过的最大整数，已知数列中，，且，若，则整数A．99 B．100 C．101 D．102【答案】C【分析】由可得，从而，而，从而，由此可解出n的值.【详解】因为,所以，故数列是递增数列，且，又由可得，即，而，从而，所以[],又，所以[]，，故选C.第II卷（非选择题）二、填空题13．已知数列满足：，，(且)，等比数列公比，则数列的前项和___________.【答案】【分析】由递推关系可得，解方程即可求出，代入递推关系式可得，证明数列为等差数列，即可求解，根据错位相减法求和即可.【详解】因为，，(且)，①当时，，即，由等比数列的的公比为，即，解得，所以，当时，，即，解得，又(，且)，②①-②可得，，即，化为，又，所以为等差数列，且公差，则，所以，，上面两式相减可得，所以.故答案为：.14．各项均为正数的等比数列，满足，且，，成等差数列，数列满足，数列的前项和，则______.【答案】【分析】根据条件可得，得，进而得设，由和与项的关系可得，再由累加计算，利用错位相减即可得解.【详解】各项均为正数的等比数列，设公比为，由，可得，即，得，，，成等差数列，所以，即，得.所以.设,则.时，满足.所以.所以.所以，，，……，累加得：.记，则，两式作差得：，所以，即，因为所以，所以.故答案为：.15．已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，成等比数列，，数列满足，前项和为，则_________.【答案】【分析】先根据条件求解出的通项公式，然后采用裂项相消的方法分奇偶进行求和，由此可求解出，则可求.【详解】设的公差为（）.由题意，，即，又，即，联立解得，，所以.所以当为奇数时，，当为偶数时，.所以.故答案为：.16．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为______________【答案】2019【分析】设等差数列的公差为，运用等差数列的性质，可得数列的公差，且，，，，，，求得，计算可得，分析比较，即可得到所求最大值时的值．【详解】解：等差数列的公差设为，若，则，，所以公差，，即，，即，可得，即数列递减，且，，，，，，，则，由，要使取最大值，可得取得最小值，显然，而，可得时，取得最小值，故答案为：．17．已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足，，且．若对，恒成立，则实数的最小值为____________．【答案】【分析】当时，解得，当时，由化简得，利用累乘法求得，进而得，利用裂项求和法得，因此利用对，恒成立即可求解.【详解】解析：当时，，解得．当时，由，得．依据叠乘法（累乘法）可得．由，得，于是．由于对，恒成立，，故实数的最小值为．故答案为：18．已知函数若对于正数，直线与函数的图象恰有个不同的交点，则数列的前n项和为________.【答案】【分析】根据函数的性质和周期得到函数图象，根据图象知，直线与第个半圆相切，则，再利用裂项相消法求和得到答案.【详解】当时，，即，；当时，函数周期为，画出函数图象，如图所示：与函数恰有个不同的交点，根据图象知，直线与第个半圆相切，故，故，数列的前n项和为.故答案为：.19．数列满足，，则的整数部分是___________.【答案】1【分析】由，结合裂项法求出，可得.再由，判断，求出，即可求得的整数部分.【详解】由，可得，两边取倒数，得，，..又，若，则与矛盾，，又，，当时，，，，，故的整数部分是.故答案为：1.20．设表示正整数n的个位数字,记,M是的前4038项的和,函数,若函数满足,则数列的前2020项的和为________.【答案】【分析】先根据n的个位数的不同取值推导数列的周期，由周期可求得，又，，可得，进一步求得，利用裂项相消法可求得结果.【详解】n的个位数为1时有：，n的个位数为2时有：，n的个位数为3时有：，n的个位数为4时有：，n的个位数为5时有：，每5个一循环，这10个数的和为：0，余3，余下三个数为：，，，数列的前4038项和等于：,即有，又，，可得，即，则，即有，则数列的前2020项和为，，则数列的前2020项和为.故答案为：.21．已知正项数列满足，，则数列的前项和为___________．【答案】【分析】由已知表达式因式分解得到数列的递推式，再运用累乘的方法求得通项公式，再将通项公式裂项，利用裂项相消求和得解.【详解】由已知得所以又因为所以所以所以；累乘得所以所以=所以累加求和得故答案为22．已知数列满足，则数列的前项和为___________.【答案】【分析】由可得，可得出通项公式，即，由，可求数列前n项和.【详解】由，得，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，于是，所以，因为，所以的前项和.23．设是数列的前项和，若，则__