圆与方程本章达标检测含解析

本章达标检测(总分值:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1.方程x2+y2+2x+4y+1=0表示的圆的圆心坐标为 ()A.(2,4)B.(-2,-4)C.(-1,-2)D.(1,2)2.假设圆心坐标为(2,-1)的圆截直线x-y-1=0所得的弦长为22,那么这个圆的方程是 ()A.(x-2)2+(y+1)2=2B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=8D.(x-2)2+(y+1)2=163.如果实数x、y满足x2+y2-6x+4=0,那么yx的最大值是A.23B.255C.4.赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥,因赵县古称赵州而得名.赵州桥始建于隋代,是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的石拱桥.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的圆拱桥,在某个时间段这座桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米,当水面上涨2米后,桥在水面的跨度为 ()米2米6米5米5.假设圆x2+y2-2ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-2a,a)的圆P与y轴相切,那么圆心P的轨迹方程为 ()A.y2-4x+4y+8=0B.y2+2x-2y+2=0C.y2-2x-y-1=0D.y2+4x-2y+5=06.假设圆M:x2+y2+ax+by-ab-6=0(a>0,b>0)平分圆N:x2+y2-4x-2y+4=0的周长,那么2a+b的最小值为 ()7.圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+42=0相切.点P在直线x=8上,过点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如下图,那么直线AB恒过的定点的坐标为 ()A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)8.实数x、y满足x2+(y-2)2=1,那么ω=x+3A.(3,2]B.[1,2]C.(0,2]D.3二、多项选择题(本大题共4小题,每题5分,共20分.在每题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,局部选对的得3分,有选错的得0分)9.圆C1:(x-2cosθ)2+(y-2sinθ)2=1与圆C2:x2+y2=1,那么以下说法正确的选项是 ()A.对于任意的θ,圆C1与圆C2始终相切B.对于任意的θ,圆C1与圆C2始终有四条公切线C.当θ=π6时,圆C1被直线l:3x-y-1=0截得的弦长为D.P,Q分别为圆C1与圆C2上的动点,那么PQ的最大值为410.圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,那么以下命题正确的选项是 ()A.直线l恒过定点(3,1)B.y轴被圆C截得的弦长为46C.直线l与圆C恒相交D.直线l被圆C截得的弦长最长时,直线l的方程为2x-y-5=011.实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,那么以下说法错误的选项是 ()A.y-x的最大值为6-2B.x2+y2的最大值为7+43C.yx的最大值为D.x+y的最大值为2+312.如果A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),CD是以OD为直径的圆上一段圆弧,CB是以BC为直径的圆上一段圆弧,BA是以OA为直径的圆上一段圆弧,三段弧构成曲线Ω,那么下面说法正确的选项是 ()A.曲线Ω与x轴围成的图形的面积为3B.CB与BA的公切线方程为x+y-2-1=0C.BA所在圆与CB所在圆的交点弦所在直线的方程为x-y=0D.直线y=x截CD所在圆所得的弦长为2三、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,那么a的取值范围为.

14.设集合A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|(x-t)2+y2=9},且A∩B≠⌀,那么实数t的取值范围是.

15.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=2,圆C2:(x-17)2+(y-17)2=8,假设过第四象限的直线l是两圆的公切线,且两圆在公切线的同一侧,那么直线l的方程为.

16.如下图,以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1交于点P.(1)当|MN|=219时,直线l的方程为;(2)BQ·BP=.(第一个空3分,第二个空2分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题总分值10分)圆C的方程为x2+y2-2x+4y+1=0.(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)假设直线l经过(2,0),并且被圆C截得的弦长为23,求直线l的方程.18.(本小题总分值12分)圆C:x2+y2+mx+my-4=0关于直线x+y+1=0对称.(1)求圆C的标准方程;(2)是否存在直线与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等?假设存在,求出该直线的方程;假设不存在,请说明理由.19.(本小题总分值12分)如图,△ABC的AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,M(2,0)满足BM=MC,点T(-1,1)在AC边所在直线上且满足AT·AB=0.(1)求AC边所在直线的方程;(2)求△ABC外接圆的方程;(3)求过点N(-2,0)的△ABC外接圆的切线方程.20.(本小题总分值12分)圆C的圆心在x轴上,且圆C经过点A(-1,0),B(1,2).(1)求线段AB的垂直平分线的方程;(2)求圆C的标准方程;(3)直线l:y=kx+1与圆C相交于M、N两点,且MN=22,求直线l的方程.21.(本小题总分值12分)圆C:(x+3)2+(y-4)2=16,直线l:(2m+1)x+(m-2)y-3m-4=0(m∈R).(1)假设圆C截直线l所得的弦AB的长为211,求m的值;(2)假设圆C与直线l相离,设MN为圆C的动直径,作MP⊥l,NQ⊥l,垂足分别为P,Q,当m变化时,求四边形MPQN面积的最大值.22.(本小题总分值12分)为解决城市的拥堵问题,某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流,穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向即∠AOB=3π4.现准备修建一条城市高架道路L,L在MO上设一出入口A,在ON上设一出入口B.假设高架道路L在AB局部为直线段,且要求市中心O到直线AB的距离为10km.(1)求两站点A,B之间距离的最小值;(2)公路MO段上距离市中心30km处有一古建筑群C,为保护古建筑群,设立一个以C为圆心,5km为半径的圆形保护区,问如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A,才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区(不包括临界状态)?答案全解全析根底过关练一、单项选择题1.C由x2+y2+2x+4y+1=0可得(x+1)2+(y+2)2=4,所以圆心坐标为(-1,-2).应选C.2.B设圆的半径为r,∵圆心到直线x-y-1=0的距离d=|2+1-1∴2r2-d2=2r2-2∴圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.应选B.3.Dx2+y2-6x+4=0即(x-3)2+y2=5,它表示圆心为(3,0),半径为5的圆,yx的几何意义是圆上一点(x,y)与点(0,0)连线的斜率当过原点的直线与圆相切时,斜率最大,即yx最大令此时直线的倾斜角为α,那么tanα=52即yx的最大值为5应选D.4.C根据题意,建立圆拱桥模型,如下图.设圆O半径为R米,当水面跨度是20米,拱顶离水面4米时,水面为AB,M为线段AB的中点,即AB=20米,OM=(R-4)米,利用勾股定理可知,AM2=AB22=OA2-OM2,即100=R2-(R-4)2,解得R=当水面上涨2米后,即水面到达CD,N为线段CD的中点,此时ON=(R-2)米,故CD=2CN=2R2-(R-2)应选C.5.D由条件可知x2+y2-2ax+2y+1=0的半径为1,并且两圆圆心连线的斜率是-1,由x2+y2-2ax+2y+1=0得(x-a)2+(y+1)2=a2,其圆心为(a,-1),半径为|a|,所以-1a=-1,a设P(x,y),由条件可知PC=|x|,即(x+2)两边平方后,整理得y2+4x-2y+5=0.应选D.6.A两圆方程相减得(a+4)x+(b+2)y-ab-10=0,此为相交弦所在直线的方程,圆N的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1,圆心为N(2,1),代入相交弦所在直线的方程,得2(a+4)+b+2-ab-10=0,那么1a+2因为a>0,b>0,所以2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab≥4+2ba×4ab=8,当且仅当ba=7.A依题意得圆C的半径r=4212+12=4,所以圆C的方程为x因为PA,PB是圆C的两条切线,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为(8,b),b∈R,那么线段OP的中点坐标为4,b2,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+y-b22=42+b22,b∈R,化简得x2+y2-8x-by=0,b∈R,因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,b∈R,即8(8.B如下图:设P(x,y)为圆x2+(y-2)2=1上的任意一点,那么点P到直线x+3y=0的距离PM=x+点P到原点的距离为PO=x2所以ω=x+3yx2+设圆x2+(y-2)2=1与直线y=kx相切,那么2k2+1=1,解得k所以∠POM的最小值为30°,最大值为90°,所以12≤sin∠POM≤所以1≤ω=2sin∠POM≤2.应选B.二、多项选择题9.ACD由得C1(2cosθ,2sinθ),C2(0,0),C1C2=(2cosθ)2+(2sinθ)2=2,当θ=π6时,C1(3,1),C1到直线l的距离d=|3×3-1-1|(3由于两圆外切,且C1C2=2,因此PQmax=C1C2+1+1=4,D正确.应选ACD.10.ABC直线l的方程整理得m(2x+y-7)+x+y-4=0,由2x+y-7=0,x+在圆C的方程中,令x=0,得1+(y-2)2=25,解得y=2±26,那么y轴被圆C截得的弦长为46,B正确;(3-1)2+(1-2)2=5<25,故P(3,1)在圆内,所以直线与圆一定相交,C正确;直线l被圆C截得的弦长最长时,直线过圆心(1,2),那么2m+1+2(m+1)-7m-4=0,解得m=-13,故直线l的方程为13x+23y-53=0,即x+2应选ABC.11.CD对于A,设z=y-x,那么y=x+z,z表示直线y=x+z的纵截距,当此直线与圆x2+y2-4x+1=0,即(x-2)2+y2=3有公共点时,|2+z|2≤3,解得-6-2≤z≤6-2,所以y-x的最大值为6-2,故A中说法正确;对于B,x2+y2的几何意义是圆上的点与原点的距离的平方,易知原点与圆心的距离为2,那么原点与圆上的点的最大距离为2+3,所以x2+y2的最大值为(2+3)2=7+43,故B中说法正确;对于C,yx的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率,那么yx的最大值为tan60°=3,故C中说法错误;对于D,设m=x+y,那么y=-x+m,m表示直线y=-x+m的纵截距,当此直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时,|-2+m|2≤3,解得-6+2≤m≤6+2,所以x+12.BC连接BC,交y轴于点Q,过点B作BN⊥x轴于点N,过点C作CM⊥x轴于点M,连接QN,如图.各段圆弧所在圆的方程分别为CD:(x+1)2+y2=1;CB:x2+(y-1)2=1;BA:(x-1)2+y2=1.由题意知曲线Ω与x轴围成的图形是一个半圆,一个矩形和两个四分之一圆,所以围成的图形的面积为2×π4+π2+2=π+2,故A易知直线QN的方程为y=-x+1,公切线l平行于直线NQ,且两直线间的距离为1,设直线l:y=-x+b(b>0),那么|b-1|2=1,解得b=2+1,所以直线l:x+y-2将BA所在圆与CB所在圆的方程相减,得交点弦所在直线的方程为x-y=0,故C正确;CD所在圆的圆心为(-1,0),(-1,0)到直线y=x的距离d=22,所以直线y=x截CD所在圆所得的弦长为21-222=2应选BC.三、填空题13.答案2解析因为点A(a,2)在圆的外部,所以a所以2<a<94所以a的取值范围为2,14.答案[-15,-3]∪[3,15]解析圆(x-t)2+y2=9的半径大于圆x2+(y-1)2=1的半径.当两圆外切时,有(0-t)2+当两圆内切时,有(0-t)2+当t>0,即圆(x-t)2+y2=9的圆心在原点右侧时,实数t的取值范围为[3,15];当t<0,即圆(x-t)2+y2=9的圆心在原点左侧时,实数t的取值范围为[-15,-3].故实数t的取值范围为[-15,-3]∪[3,15].15.答案3x-5y-217=0解析由圆的方程可知圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(17,17),半径r2=22,那么kC1C2=1,C1C由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,直线l与圆C1,C2的切点分别为A,B,连接C1C2,AC1,BC2,过C1作C1D∥AB交BC2于点D,如图.∵l为圆C2的切线,∴BC2⊥AB,又C1D∥AB,∴C1D⊥C2D,∴tan∠DC1C2=C2D=14∴k=tan(45°-∠DC1C2)=1-14∴直线l的方程为y=35x+b,即3x-5y+5b又直线l与圆C1相切,∴|5b|34=2,解得又直线l过第四象限,∴b=-217∴直线l的方程为3x-5y-217=0.16.答案(1)x=-2或3x-4y+6=0(2)-5解析(1)设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,∴R=|-1+4+7|5=25,∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)①当直线l的斜率不存在时,易知直线l的方程为x=-2,此时MN=219,符合题意.②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.连接AQ,那么AQ⊥MN.∵MN=219,∴AQ=20-19∴AQ=|k-2|k2∴直线l的方程为3x-4y+6=0.综上,直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.(2)∵AQ⊥BP,∴AQ·BP=0,∴BQ·BP=(BA+AQ)·BP=BA·BP+AQ·BP=BA·BP.当直线l的斜率不存在时,P-2,-52,那么又BA=(1,2),∴BQ·BP=BA·BP=-5.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k'(x+2).由y=k'(x∴BP=-5∴BQ·BP=BA·BP=-51+2k'综上所述,BQ·BP为定值,其定值为-5.四、解答题17.解析(1)圆x2+y2-2x+4y+1=0可化为(x-1)2+(y+2)2=4, (3分)所以圆心坐标为(1,-2),半径为2. (5分)(2)由题意及(1)得圆心到直线l的距离d=22-(当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时直线l被圆C截得的弦长为23,符合题意; (8分)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,由题意得|k+2-2k|k2+1=1,所以直线l的方程为34x-y-64=0,即3x-4y综上所述,直线l的方程为x=2或3x-4y-6=0. (10分)18.解析(1)由题意知圆C的圆心为C-m2,-m2,∴-m2-m∴圆C的方程为x2+y2+x+y-4=0,其标准形式为x+122+y+1(2)存在.由(1)知圆心为C-12,-12,那么截距相等的切线不过原点. (8分)设截距相等的切线的方程为x+y+a=0,那么-12-12+a2=经检验均符合题意, (10分)∴切线方程为x+y-2=0或x+y+4=0. (12分)19.解析(1)∵AT·AB=0,∴AT⊥AB,∴AT⊥AB,又T在直线AC上,∴AC⊥AB,∴△ABC为直角三角形.又AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,∴直线AC的斜率为-3,又∵点T(-1,1)在直线AC上,∴AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0. (4分)(2)由x-3y-6=0,3x+∵BM=MC,∴M(2,0)为Rt△ABC斜边上的中点,即为Rt△ABC外接圆的圆心,又AM=(2-0∴△ABC外接圆的方程为(x-2)2+y2=8. (8分)(3)易知切线的斜率存在.设切线方程为y=k(x+2),那么|4k|k2+1=22,解得k=1∴切线方程为x-y+2=0或x+y+2=0. (12分)20.解析(1)设线段AB的中点为D,那么D(0,1).由圆的性质,得CD⊥AB,所以kCD×kAB=-1,所以kCD=-1,所以线段AB的垂直平分线的方程是y=-x+1. (3分)(2)设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2,其中C(a,0),半径为r(r>0).由圆的性质,得圆心C(a,0)在直线CD上,那么0=-a+1,解得a=1, (6分)所以圆心C(1,0),r=CA=1-(-1)=2,所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4. (8分)(3)设F为线段MN的中点,那么CF⊥l,FM=FN=2.设圆心C到直线l的距离为d,那么d=CF=4-(2