最值与导数 教学设计

PAGEPAGE1函数的最大（小）值与导数教学设计一、教材分析本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和简单实际应用，在这节课的基础上，学生将会掌握求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题。这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值。由于高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导，这一方法主要可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到，通过具体习题达到训练的目的。二、学生分析学习本节课时，高二理科学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值”，且会求可导函数的极值。高二理科学生的计算能力、理解能力、探究能力都相当成熟，所以本节内容可以培养学生的探索精神，让学生体验自主学习的成就感。教学的设计内容是根据本班学生的特点设置的，本班学生是理科班中的重点班，学生的基础与数学综合能力都比较好，也有一定的数学思维能力，所以选题的设计主要涵盖基础（课本练习与例题改编）和能力提高（如最大值、最小值的应用题型——恒成立问题）三、教学目标<知识和技能目标>1、进一步明确闭区间上的连续函数，在上必有最大、最小值；2、理解上述函数的最值存在的可能位置；3、掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤。<过程和方法目标>1、在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识；2、培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题。<情感态度、价值观>1、认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想；2、提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神。四、教学重点、难点<教学重点>

基于以上对本节教材特点和教学目标的分析，将本节课的教学重点确定为：1、培养学生的探索精神,积累自主学习的经验；2、会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值。<教学难点>高二年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是：(1)发现闭区间上的连续函数的最值只可能存在于极值点处或区间端点处；(2)理解方程的解，包含有指定区间内全部可能的极值点。<教学关键>本节课突破难点的关键是：通过合作探究的方式，让学生在运动变化的过程中通过观察、比较，发现结论。五、教学方法主要的方法是“观察、比较法”；1、采用多媒体辅助教学，设计了一个动画课件，让学生在函数图象的运动变化中观察、比较，发现数学本质；2、采用“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识。六、学法指导对于求函数的最值，学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用。七、教学过程本节课的教学，大致按照“学生错解实例引入——发现归纳学习，探索新知——活学活用，创新提高——归纳小结，巩固提升”四个环节进行组织。教学环节教学内容设计意图一、学生错解实例引入一、学生作业中的问题：设为实数，函数，求的极值。结合上述函数的大致图象，完成下列问题：函数在上有极值吗？你能求出函数在上的最大值与最小值吗？函数在上有极值吗？你能求出函数在上的最大值与最小值吗？函数在上有极值吗？你能求出函数在上的最大值与最小值吗？引出：函数的极值是一个局部的概念，只要在一个小的区间内成立即可，所以连续函数在定义域内可以有很多个极小值和极大值，甚至有的极小值会大于某些极大值；而函数的最值是函数在整个定义域（或区间）内的取值情况，最大、最小值只有一个。如何求连续函数的最大、最小值导出本节课课题——函数的最大（小）值与导数从学生作业中的问题入手，让学生走出极值与最值的误区，弄清楚极值与最值的本质区别，并能通过他们自己犯错误的误区，深刻地理解上一节课极值的含义，理解掌握求极值的方法，对本节课求最值做好铺垫，并能调动学生的好奇心：“既然极值并不是最值，那如何求函数的最值呢”从而结合引例，提出三个问题，分别在不同的区间上对同一函数找最值，发现极值与最值的区别，并进一步顺着学生的疑惑引出本节课的课题，调动学生的强烈的学习兴趣！二、发现归纳学习，探索新知二、发现归纳学习，探索新知新知探究：找出以下四种情况的最大、最小值，并归纳出求连续在区间上最大（小）值的方法最大值：_____最小值：_____最大值：_____最小值：_____最最大值：_____最小值：_____最最大值：_____最小值：_____归纳新知：一般地，如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，通过以上的几个例子，不难发现，求函数在区间上的最大（小）值的方法是：____________________________________________________________________________________新知探究的设置，是想通过四种不同连续函数的图象，形象地体现函数极值与函数在区间上的最值的区别与联系，目的是在解决引例中的疑惑的同时，能深刻地理解函数的极值与最值，并结合四个函数图象上函数值与极值的比较，找出每个函数的最大值与最小值，最后结合各个函数的最值的特点，总结对任意连续函数在指定区间上的最值的求解方法，并能用文字归纳出来，完成新知探究的归纳总结的内容。三、活学活用，创新提高三、活学活用，创新提高典例应用：例1：作业引例的变式：当实数时，函数为，求函数在区间[-1，2]上的最大值与最小值分析：提示结合作业中的求极值的答案，求出最大（小）值解：由作业解答可知，在区间[-1，2]上，当时，函数有极大值，极大值为当时，函数有极小值，极小值为又，所以函数在区间[-1，2]上的最大值为3，最小值为0当堂检测：书本练习：结合上节课求极值的结果，求函数在上的最大值与最小值提高训练：（2010广州市一模改编）求函数在上的最大值与最小值例题的设置虽然放弃了书本上的例题，但沿用了引例，主要目的有两个，一是解决作业中引出的最值的求解问题，进一步体现极值与最值的区别与联系，二是可以沿用作业中求极值的解答，为求最值的解答提供方便的同时还能节省上课时间，并能通过例题巩固上述学生自己总结的求最值的方法，所以例题的处理办法是让学生自己解答，目的是想让学生用他们自己总结的方法，解决自己曾经误解的内容，进而解答后达到复习极值的内容和巩固求最值的方法。且印象非常深刻。书本上练习的选用，一是沿用上节课求极值时的练习运算结果，达到体现求极值与求最值的联系的同时又节省上课时间的目的，二是这个练习题的导函数是个开口向下的二次函数，部分学生会在此忽略开口问题而导致单调性、极值出错，进而影响最值的求解，选用此题，还是想以易犯错点提醒学生注意题与题之间的区别与联系。对比09年、10年、11年三年的一模、二模及高考题，还有书本例题、练习和习题，发现主要以3次函数为主，所以本节的函数主体我都定为3次函数，教学目标也是让学生在本节课上可以熟练解决此类函数的最值问题，但其他类型的函数又不能不体现，所以选择改编2010年广州市一模的试题，让学生初步体验其他类型函数求最值的方法，也能避免学生产生误会，只需要求3次函数的最值。三、活学活用，创新提高活学活用：例2、函数，当时，恒成立，求实数的取值范围。分析：要满足恒成立，只需要函数的最大值满足条件，由，解决问题，故问题主要是求函数在区间上最小值解：若，则或；若，则；若，则或所以函数在，上单调递增，在上单调递减，从而函数有极大值，有极小值，又，函数在的最大值所以在恒成立即所以学生有接触过恒成立问题的基础，本题的函数主题还是3次函数，但问题转化成恒成立问题求参数的取值范围，是本节课知识的提升应用，教学时要让学生理解恒成立问题的本质就是最大值或最小值满足要求的思维后，掌握本题的关键还是解决这个三次函数的最值问题。因为本题的选取没有设置太难，不需要分离变量，所以问题的主体没有脱离本节课的主要内容，但恒成立问题不仅仅是这么简单，所以在后面的练习中会体现简单的分离变量的思想，当然，恒成立问题还需要在今后的学习与练习加以巩固与完善。四、归纳小结，巩固提升四、归纳小结，巩固提升通过本节课，归纳求函数在区间上的最大（小）值的步骤：（1）___________________________________________（2）__________________________________________________________________________________________巩固提升：1、求函数在上的最大值与最小值2、求函数在区间上的最大值与最小值3、设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围根据本节课主要学习内容，让学生总结这节课所学习的求解连续函数在指定区间上的最值的解题步骤，对本节可课重点内容做一个系统的回顾。巩固提升选题的设计，第一题是课本例题的改编，因为没有讲解课本原题，所以教学时采用的处理方法是让学习自主学习例题后，结合本节课的主要内容，类比完成第一题，既没有放弃书本例题，又能让学生得以训练；第二的选题设计，主要是2010年广州市一模题改编题的训练延续，主要体现非3次函数求最值的求解过程，此类问题在后续课程中会逐步加以完善，本节课因课时限制，还是以3次函数为主；第三题的选题设计是整课的升华，函数不再是3次函数，也不是直接的求最值问题，而是考察学生恒成立问题的解题能力，本题的目的是活学活用例2的延续，但非3次函数的选取，也是其他函数求最值问题的巩固，更是恒成立问题又一个小小的提高，因为本题呼应例2的同时，也简单考察了分离变量的思想。选题在本节新课上都没设置太难，主要还是掌握今天的教学内容。

附：教学设计个人说明1、通过本课例的设计，首先我想解决学生作业中体现的极值与最值的误区，所以我引例的设计就是学生作业中的真实错解，通过引例，让学生深刻理解函数极值与最值的区别；其次就是解决作业中出现的问题，函数的最值是什么？怎样去求连续函数在闭区间上的最值？求函数极值与求函数最值的关系？最后，通过简单的应用，加深学生对求函数最值的理解！所以整节课的重点就是探讨求函数最值的方法，并理解极值与最值的联系与区别。2、在备课中，我有以下几个问题需要团队帮忙解决：一、探究新知的内容，设计是学生通过四个函数图象发现归纳总结求解最值的方法，但之后是直接进入例题的训练还是老师先对归纳进行点评再训练，更能实现教学目标需要商讨？二、书本练习的选取，是沿用上节课的求极值运算结果，例题也是选用作业中求极值的运算结果，那么在整个课堂教学中，是否需要强调求极值的解答过程在求最值的解答中必不可少？三、例题是学生发现解题方法后自己该动手尝试的第一题，而练习题又是简单的巩固训练，在课堂中如何处理这两题能达到最佳教学效果？四、设计的整节课函数