数学人教A版必修四学案1.2.1　三角函数线及应用（2）Word版含解析【高考】

1.1．掌握1个作法三角函数线的作法(1)作平面直角坐标系和角的终边．(2)作单位圆，与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.(5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线．2．把握4个要点理解三角函数线应注意以下四点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值；(4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．知识点一作已知角的三角函数线1．(2019·四川绵阳高一月考)给出下列说法：①eq\f(π,6)和eq\f(5π,6)的正弦线长度相等；②eq\f(π,3)和eq\f(4π,3)的正切线相同；③eq\f(π,4)和eq\f(5π,4)的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为()A．1 B．2C．3 D．0解析：选Ceq\f(π,6)和eq\f(5π,6)的正弦线关于y轴对称，且长度相等，故①正确；eq\f(π,3)和eq\f(4π,3)两角的正切线相同，故②正确；eq\f(π,4)和eq\f(5π,4)的余弦线长度相等，故③正确．故选C.2．(1)作出－eq\f(π,3)的正弦线；(2)作出eq\f(4π,3)的正切线．解：(1)作出－eq\f(π,3)的正弦线MP如图①所示．图①图②(2)作出eq\f(4,3)π的正切线AT如图②所示．知识点二利用三角函数线比较三角函数值大小3．下列关系式中正确的是()A．sin10°<cos10°<sin160°B．sin160°<sin10°<cos10°C．sin10°<sin160°<cos10°D．sin160°<cos10°<sin10°解析：选C在同一单位圆中画出10°和160°的三角函数线，易得sin10°<sin160°<cos10°.故选C.4．比较下列各组数的大小．(1)coseq\f(4π,7)和coseq\f(5π,7)；(2)sineq\f(π,7)和taneq\f(π,7).解：(1)如图所示，在单位圆中作出eq\f(4π,7)和eq\f(5π,7)的余弦线OM1和OM2，因为OM1>OM2，所以coseq\f(4π,7)>coseq\f(5π,7).(2)如图所示，分别作出eq\f(π,7)的正弦线和正切线．sineq\f(π,7)＝MP，taneq\f(π,7)＝AT，因为AT>MP，所以taneq\f(π,7)>sineq\f(π,7).eq\a\vs4\al(知识点三利用三角函数线解简单三角不等式)5．(2018·吉林延边高一期末)在单位圆中画出满足下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).解：(1)作直线y＝eq\f(\r(3),2)，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB及劣弧eq\o(AB,\s\up20(︵))围成的区域(图①中的阴影部分)为角α的终边在单位圆中的范围．故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，))\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(k∈Z)))).(2)作直线x＝－eq\f(1,2)，交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD及劣弧eq\o(CD,\s\up20(︵))围成的区域(图②中的阴影部分)为角α的终边在单位圆中的范围．故满足条件的角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，))\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(k∈Z)))).1．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在________上()A．x轴 B．y轴C．直线y＝x D．直线y＝x或y＝－x解析：选A由角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，得cosα＝±1，故角α的终边在x轴上．故选A.2．已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线的长度分别是a、b、c，则它们的大小关系是()A．a>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．b>c>a解析：选B由三角函数线易得AT>MP>OM，即c>a>b.故选B.3．(2018·天津高一期末)sin1，cos1，tan1的大小关系为()A．sin1>cos1>tan1 B．sin1>tan1>cos1C．tan1>sin1>cos1 D．tan1>cos1>sin1解析：选C设1rad角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，∵eq\f(π,4)<1<eq\f(π,2)，∴0<x<y<1，从而cos1<sin1<1<tan1.故选C.4．使sinx≤cosx成立的x的一个取值区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4))) D．[0，π]解析：选A如图，画出三角函数线，设∠POM＝x，则sinx＝MP，cosx＝OM，为使sinx≤cosx，即MP≤OM成立，则由图可得－eq\f(3π,4)≤x≤eq\f(π,4).故选A.5．若角α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，则这个三角形是()A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形解析：选D当0<α≤eq\f(π,2)时，由单位圆中的三角函数线知，sinα＋cosα≥1，而sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，所以α必为钝角．故选D.6．利用单位圆，可得满足sinα<eq\f(\r(2),2)，且α∈(0，π)的α的集合为________．解析：如图所示．故使sinα<eq\f(\r(2),2)且α∈(0，π)的α的集合为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))7．已知点P(tanα，sinα－cosα)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是________．解析：∵点P在第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα>0，①,sinα－cosα>0，②))由①知，0<α<eq\f(π,2)或π<α<eq\f(3π,2).③由②知，sinα>cosα，作出三角函数线知，在[0,2π]内满足sinα>cosα的α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))).④由③④得，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))8．如果eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，那么sinα，tanα，cosα按从小到大的顺序排列为________．解析：如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM<MP<AT，即cosα<sinα<tanα.答案：cosα<sinα<tanα9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sinα＝eq\f(2,3)；(2)cosα＝－eq\f(3,5).解：(1)作直线y＝eq\f(2,3)交单位圆于P，Q两点，则OP，OQ为角α的终边，如图①.(2)作直线x＝－eq\f(3,5)交单位圆于M，N两点，则OM，ON为角α的终边，如图②.10．求下列函数的定义域．y＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(2),2)))＋eq\r(1－2cosx).解：由题意，自变量x应满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2cos