专题3.4 整式的除法-重难点题型（举一反三）（教师版含解析） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版）

专题3.4整式的除法-重难点题型【浙教版】【知识点1单项式除以单项式】单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．

关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．【题型1单项式除以单项式】【例1】（2021春•肥城市期末）下列计算结果错误的是（）A．﹣6x2y3÷（2xy2）＝﹣3xy B．（﹣xy2）3÷（﹣x2y）＝xy5 C．（﹣2x2y2）3÷（﹣xy）3＝﹣2x3y3 D．﹣（﹣a3b）2÷（﹣a2b2）＝a4【分析】根据单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A、﹣6x2y3÷（2xy2）＝﹣3xy，正确；B、（﹣xy2）3÷（﹣x2y）＝（﹣x3y6）÷（﹣x2y）＝xy5，正确；C、应为（﹣2x2y2）3÷（﹣xy）3＝8x3y3，故本选项错误；D、﹣a6b2÷（﹣a2b2）＝a4，正确．故选：C．【变式1-1】（2020秋•镇原县期末）如果一个单项式与﹣5ab的积为-58a2A．18a2c B．18ac C．258a3b2c D【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算，得到答案．【解答】解：设这个单项式为A，由题意得，A•（﹣5ab）=-58a2∴A=-58a2bc÷（﹣5ab）=故选：B．【变式1-2】（2021秋•新野县期中）已知6aA．9ab2 B．﹣9ab2 C．9a3b6 D．9ab3【分析】直接利用整式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：6a6a2b6÷（）1=23ab则据号内应填入：6a2b6÷23ab4＝9ab故选：A．【变式1-3】（2021春•田东县期中）计算4a3m+1b÷（﹣8a2m﹣1）的结果为（）A．-12am+2b B．12a【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：4a3m+1b÷（﹣8a2m﹣1）=-12a3m+1﹣（2m﹣1=-12am+2故选：A．【知识点2多项式除以单项式】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．【题型2多项式除以单项式】【例2】（2021秋•曲靖期末）计算(3A．32a2-12a+14 C．6a4﹣2a3+a2 D．6a2﹣2a【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可．【解答】解：原式＝3a3÷12a﹣a2÷12a＝6a2﹣2a+1，故选：B．【变式2-1】（2021秋•阆中市校级期中）(x6+2A．12x2 B．-12x2 C．﹣2x【分析】利用除式＝被除式÷商式列出算式即可求得结论．【解答】解：∵(x∴M=(＝﹣2x2（-12x＝﹣2x2．故选：C．【变式2-2】（2021秋•淅川县期中）已知M•（﹣2x2）＝8x5﹣18x3y3﹣2x2，则M＝（）A．﹣4x3﹣9xy3﹣1 B．﹣4x3+9xy3+1 C．﹣4x3+9xy3 D．4x3+9xy3﹣1【分析】利用整式的除法法则进行倒推即可．【解答】解：已知M•（﹣2x2）＝8x5﹣18x3y3﹣2x2，则M＝﹣4x3+9xy3+1，故选：B．【变式2-3】（2020秋•佳木斯期末）若一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式为．【分析】根据“其中的一个因式＝积÷另一个因式”列式，然后利用多项式除以单项式的运算法则进行计算．【解答】解：∵一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，∴这个多项式为：（﹣2x5+4x3﹣x2）÷（﹣2x2）＝x3﹣2x+1故答案为：x3﹣2x+1【题型3由整式除法法则求字母的值】【例3】（2021春•铁岭月考）xmyn÷x2y3＝xy，则有（）A．m＝2，n＝6 B．m＝3，n＝4 C．m＝2，n＝3 D．m＝3，n＝5【分析】根据单项式相除的法则，列出方程即可得到答案．【解答】解：∵xmyn÷x2y3＝xy，∴m﹣2＝1且n﹣3＝1，∴m＝3，n＝4，故选：B．【变式3-1】（2021春•宁波期末）已知28a2bm÷4anb2＝7b2，那么m、n的值为（）A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2【分析】根据单项式除单项式的法则进行计算后，再根据相同字母的次数相同列出关于m、n的方程，解方程即可求出m，n的值．【解答】解：∵28a2bm÷4anb2＝7b2，∴2﹣n＝0，m﹣2＝2，解得：m＝4，n＝2．故选：A．【变式3-2】（2021秋•十堰期中）已知8a3bm÷28an+1b2=27b2，则A．m＝4，n＝3 B．m＝4，n＝2 C．m＝2，n＝2 D．m＝2，n＝3【分析】根据整式的除法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：3＝n+1，m﹣2＝2，∴n＝2，m＝4，故选：B．【变式3-3】（2021春•贺兰县期中）如果m(xayb)3【分析】先根据整式的除法运算法则计算已知等式的左边，再根据底数相同，指数也相等得方程，求解即可．【解答】解：∵m(∴14则14解得m【题型4整式除法中错看问题】【例4】（2021秋•香洲区期末）已知A＝2x+6，B是多项式，在计算B﹣A时，小海同学把B﹣A错看成了B÷A，结果得x，那么B﹣A的正确结果为（）A．2x2+4x﹣6 B．3x+6 C．2x2+6x D．2x2+4x+6【分析】根据题目的已知可知B＝Ax＝x（2x+6），然后进行计算即可解答．【解答】解：∵B÷A＝x，∴B＝Ax＝x（2x+6）＝2x2+6x，∴B﹣A＝2x2+6x﹣（2x+6）＝2x2+6x﹣2x﹣6＝2x2+4x﹣6，故选：A．【变式4-1】（2021秋•宝山区期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到3x，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？【分析】根据小明的做法求出第一个多项式，根据多项式乘多项式的法则即可得出答案．【解答】解：3x（x﹣2y）＝3x2﹣6xy，（3x2﹣6xy）（x﹣2y）＝3x3﹣6x2y﹣6x2y+12xy2＝3x3﹣12x2y+12xy2．答：得到的结果应该是3x3﹣12x2y+12xy2．【变式4-2】（2021秋•原阳县月考）已知A＝2x，B是多项式，计算B+A时，某同学把B+A误写成B÷A，结果得x2（1）B+A的值；（2）A2【分析】（1）根据被除式＝商式×除式，列式计算求出B，代入求出A+B的结果；（2）把A、B的式子代入A2【解答】解：（1）B＝2x（x2+12＝2x3+x2，A+B＝2x3+x2+2x；（2）A＝（2x）2-12（2x3+x＝4x2﹣x3-12=72x2﹣x【变式4-3】李老师给同学们讲了一道题，小明认真地把它抄在笔记本上，放学后回到家拿出课堂笔记本，突然这道题的被除式的第二项和商的第一项被墨水污染了，污染后的习题如下：（21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y．你能复原被污染的地方吗？请你试一试．【分析】利用多项式除以单项式法则判断即可确定出所求．【解答】解：根据题意得：5xy•（﹣7x2y）＝﹣35x3y2，（21x4y3）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2，则（21x4y3﹣35x3y2+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2+5xy﹣y．【题型5整式除法的应用】【例5】（2021秋•岚皋县期末）长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为（）A．2a2﹣4ab B．a﹣2b C．a﹣2b+1 D．2a﹣2b+1【分析】利用长方形的面积公式进行计算即可．【解答】解：由题意得：（2a2﹣4ab+2a）÷（2a）＝a﹣2b+1，∴长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为：a﹣2b+1，故选：C．【变式5-1】（2021秋•海淀区期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（）A．12 B．1 C．12(a+b【分析】求出左边场地的面积为a2+b2+2ab，由题意可求右边场地的宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）=a【解答】解：左边场地面积＝a2+b2+2ab，∵左边场地的面积与右边场地的面积相等，∴宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）=a故选：C．【变式5-2】（2021秋•兰考县期末）一个三角形的面积为3xy﹣4y，一边长是2y，则这条边上的高为．【分析】根据三角形的面积S=12ah，得到：h【解答】解：根据题意得：2（3xy﹣4y）÷（2y）＝（6xy﹣8y）÷（2y）＝3x﹣4，故答案为：3x﹣4．【变式5-3】（2021春•西湖区校级月考）如图，一窗框形状由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框设计成一个新的长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为．【分析】先根据长方形与圆形的面积公式求出原图形的面积，然后根据长方形的面积公式即可求出答案．【解答】解：原面积为：ab+12×由于新的长方形的面积保持不变，∴（ab+πa28）÷a＝故答案为：b+π【题型6竖式计算多项式除以多项式】【例6】（2021秋•思明区校级期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下：①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）；②用被除式的第一项去除被除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．例如：计算2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式和余式，可以用竖式演算如图．所以2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式为2x3+x+5，余式为﹣3x+5．（1）计算（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）的商式为2x2﹣7x+18，余式为﹣41；（2）2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求a、b的值．【分析】（1）根据整式除法的竖式计算方法，整体进行计算即可；（2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b的值．【解答】解：（1）（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）＝2x2﹣7x+18……﹣41，故答案为：2x2﹣7x+18，﹣41；（2）由题意得：∵2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，∴﹣5﹣（a+10）＝0，b+2（a+10）＝0即：a＝﹣15，b＝10．【变式6-1】（2021秋•鼓楼区校级期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图：所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2+2x﹣1，余式为0．根据阅读材料，请回答下列问题：（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）的商是x2﹣2x+3，余式是1；（2）x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值．【分析】（1）根据整式除法的竖式计算方法，整体进行计算即可；（2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b的值．【解答】解：（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）＝x2﹣2x+3……1，故答案为：x2﹣2x+3，1；（2）由题意得：∵x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，∴a﹣2＝﹣6，b＝﹣6，即：a＝﹣4，b＝﹣6．【变式6-2】（2021秋•椒江区校级期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下：因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）＝3x+2．（1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，说明理由．（2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求ab【分析】（1）直接利用竖式计算，进一步判定即可；（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可．【解答】解：（1）x3﹣x2﹣5x﹣3能被x+1整除；理由如下：（2）若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除则有所以a+9＝﹣3，a＝﹣12，b＝6；ab=-【变式6-3】（2021秋•九龙坡区期末）我们知道整数a除以整数b（其中a＞b＞0），可以用竖式计算，例如计算68÷13可以用整式除法如图：所以68÷13＝5…3．类比此方法，多项式除以多项式一般也可以用竖式计算，步骤如下：①把被除式，除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的第