2018-2019学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（选修物理）

第1页（共1页）2018-2019学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（选修物理）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是．2．（5分）焦点为（0，﹣5）的抛物线标准方程是．3．（5分）命题“若x＜0，则x2＞0”的逆否命题为．4．（5分）若x≥0，y≥0，且x+y≤1，则z＝x﹣y的最大值是．5．（5分）已知双曲线与椭圆有公共焦点且离心率为，则其标准方程为．6．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+tanx，则＝．7．（5分）函数的极小值是．8．（5分）已知p：x2﹣（a+1）x+a≤0，q：1≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．9．（5分）若直线y＝x+b是曲线y＝ex的一条切线，则实数b的值是．10．（5分）已知P（x，y）是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则PF1•PF2的最大值与最小值的差是．11．（5分）设集合A＝{x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0}，B＝{x|0≤x≤3}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知a，b∈R+，且a+3b＝4ab，则3a+4b的最小值是．13．（5分）已知椭圆过点，其短轴长的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是．14．（5分）已知，若，，使f（x1）≤f'（x2）+a成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知p：函数f（x）＝mx﹣2sinx在R上是单调增函数，q：m2﹣m﹣6≤0．（1）若￢p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．16．（14分）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1＝3CP．（1）求异面直线AP与BD1所成角的余弦值；（2）求二面角P﹣AD1﹣B的正弦值．17．（14分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D，E分别为BC，AC边上的动点，且∠ADE＝45°．设BD＝x，△DEC的面积为y．（1）试用x的代数式表示EC；（2）当x为何值时，△DEC的面积最大？求出最大面积．18．（16分）已知抛物线C：y2＝2px经过点T（2，2），过T作直线l与抛物线相切．（1）求直线l的方程；（2）如图，直线l'∥OT，与抛物线C交于，B两点，与直线l交于P点，是否存在常数λ，使|PT|2＝λ|PA|•|PB|．19．（16分）已知椭圆的离心率，且经过点，A，B，C，D为椭圆的四个顶点（如图），直线l过右顶点A且垂直于x轴．（1）求该椭圆的标准方程；（2）P为l上一点（x轴上方），直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，若S△PCD＝2S△PEF，求点P的坐标．20．（16分）已知函数，a∈R．（1）若函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，求a的值；（2）求函数f（x）在x∈[1，3]上的最大值；（3）当a＞0时，若f（f（x））有3个零点，求a的取值范围．

2018-2019学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（选修物理）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是y＝±x．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：双曲线，∴a＝2，b＝3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±x＝±x，故答案为y＝±．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，本题的关键是求出a、b的值，要注意双曲线在x轴还是y轴上，是基础题．2．（5分）焦点为（0，﹣5）的抛物线标准方程是x2＝﹣20y．【分析】根据题意，由抛物线的焦点坐标分析，设抛物线的标准方程为x2＝﹣2py，由焦点坐标公式可得＝5，解可得p的值，将p的值代入抛物线的方程即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的焦点为（0，2），在y轴上，设抛物线的标准方程为x2＝﹣2py，又由抛物线的焦点为（0，﹣5），则有＝5，解可得p＝10，故抛物线的标准方程为x2＝﹣20y；故答案为：x2＝﹣20y．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线焦点的位置，进而设出抛物线的标准方程．3．（5分）命题“若x＜0，则x2＞0”的逆否命题为若x2≤0，则x≥0．【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：命题若p则q的逆否命题为若￢q则￢p，即命题的逆否命题为：若x2≤0，则x≥0，故答案为：若x2≤0，则x≥0．【点评】本题主要考查四种命题之间的关系，根据逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）若x≥0，y≥0，且x+y≤1，则z＝x﹣y的最大值是1．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝x﹣y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝x﹣y过可行域内的点A时，从而得到z最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z＝x﹣y，将最大值转化为y轴上的截距的最小值，当直线zz＝x﹣y经过区域内的点A（1，0）时，z最大，最大值为：1故答案为：1．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．5．（5分）已知双曲线与椭圆有公共焦点且离心率为，则其标准方程为．．【分析】求出椭圆的焦点坐标得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a，c，得到b，即可求出双曲线方程．【解答】解：双曲线与椭圆有公共焦点，可得c＝5，双曲线的离心率为，可得a＝3，则b＝4，则该双曲线方程为：．故答案为：．【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+tanx，则＝3．【分析】根据题意，求出函数的导数，将x＝带入其中计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝sin2x+tanx＝sin2x+，其导数f′（x）＝2cos2x+，则＝2cos+＝3；故答案为：3．【点评】本题考查函数导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．7．（5分）函数的极小值是．【分析】求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）＝＝，令＝0，解得x＝1，由x＞1可得f′（x）＞0，函数单调递增，由x＜1，可得f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝，故答案为：．【点评】本题主要考查函数极值的判断，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．8．（5分）已知p：x2﹣（a+1）x+a≤0，q：1≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（3，+∞）．【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系进行求解即可．【解答】解：由x2﹣（a+1）x+a≤0的（x﹣1）（x﹣a）≤0，若p是q的必要不充分条件，即q⇒p，当a＝1时，由（x﹣1）（x﹣1）≤0得x＝1，此时不满足条件，当a＜1时，由（x﹣1）（x﹣a）≤0得a≤x≤1，此时不满足条件．当a＞1时，由（x﹣1）（x﹣a）≤0得1≤x≤a，若q⇒p，则a＞3，即实数a的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为不等式的包含关系是解决本题的关键．9．（5分）若直线y＝x+b是曲线y＝ex的一条切线，则实数b的值是1．【分析】先设出切点坐标P（x0，ex0），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由直线是y＝x+b是曲线y＝ex的一条切线，求出实数b的值．【解答】解：∵y＝ex，∴y′＝ex，设切点为P（x0，ex0），则过P的切线方程为y﹣ex0＝ex0（x﹣x0），整理，得y＝ex0x﹣ex0•x0+ex0，∵直线是y＝x+b是曲线y＝ex的一条切线，∴ex0＝1，x0＝0，∴b＝1．故答案为：1．【点评】本题考察了导数的几何意义，解题时要注意发现隐含条件，辨别切线的类型，分别采用不同策略解决问题．10．（5分）已知P（x，y）是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则PF1•PF2的最大值与最小值的差是1．【分析】求得椭圆的a，b，c，e，设P的横坐标为m，运用焦半径公式和﹣a≤m≤a，即可得到所求最值之差．【解答】解：椭圆的a＝2，b＝，c＝1，e＝＝，设P的横坐标为m，可得PF1＝2+m，PF2＝2﹣m，即有PF1•PF2＝（2+m）（2﹣m）＝4﹣m2，由m＝0可得最大值为4，由m＝±2可得最小值为3，则PF1•PF2的最大值与最小值的差是1．故答案为：1．【点评】本题考查椭圆方程和性质，以及焦半径的运用，考查椭圆的范围和运算能力，属于基础题．11．（5分）设集合A＝{x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0}，B＝{x|0≤x≤3}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【分析】由集合交集的运算得：若A∩B≠∅，得：x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0在x∈[0，3]有解，即（2x+1）a≥x2+2x+3在x∈[0，3]有解，分离变量得：a≥＝（t+），再构造函数设g（t）＝（t+），t∈[1，7]，求函数最小值即可得解，【解答】解：集合A＝{x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0}，B＝{x|0≤x≤3}，若A∩B≠∅，得：x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0在x∈[0，3]有解，即（2x+1）a≥x2+2x+3在x∈[0，3]有解，设t＝2x+1，则t∈[1，7]，则x＝，则a≥＝（t+），又设g（t）＝（t+），t∈[1，7]，由对勾函数的性质可得：y＝g（t）在（1，3）为减函数，在（3，7）上为增函数，又gmin（3）＝2，所以实数a的取值范围是：[2，+∞），故答案为：[2，+∞）【点评】本题考查了不等式有解问题及集合交集的运算，属中档题．12．（5分）已知a，b∈R+，且a+3b＝4ab，则3a+4b的最小值是．【分析】根据a，b＞0，及a+3b＝4ab即可得出，从而得出，而根据基本不等式即可得出，从而求出3a+4b的最小值．【解答】解：∵a，b∈R+，且a+3b＝4ab；∴；∴＝；∴3a+4b的最小值为．故答案为：．【点评】考查基本不等式在求最值时的应用．13．（5分）已知椭圆过点，其短轴长的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是．【分析】根据题意，由椭圆的短轴长的取值范围是，结合a，b关系，然后求解椭圆的离心率的范围．【解答】解：根据题意，椭圆过点，，短轴长的取值范围是，可得b2∈[，]即e＝＝＝＝＝∈，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的几何性质，求解椭圆的离心率的范围，注意短轴长为2b．14．（5分）已知，若，，使f（x1）≤f'（x2）+a成立，则实数a的取值范围是．【分析】问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）max≤f′（x）max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．【解答】解：若，，使f（x1）≤f'（x2）+a成立，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）max≤f′（x）max+a”，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，f′（x）＝﹣a+＝﹣（﹣）2+﹣a，f′（x）max+a＝，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）max≤”，①当﹣a≤﹣，即a≥时，f′（x）＝﹣a+＝﹣（﹣）2+﹣a＜0，f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）max＝f（e）＝e﹣ae＝e（1﹣a）≤，∴a≥1﹣＝，②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴∈[，1]，∵f′（x）＝﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）＝0且满足：f（x）在[e，x0）递减，在（x0，e2]递增，f（x）max＝f（e）或f（e2），而f（e2）＝﹣ae2，故﹣ae2≤，解得：a≥﹣，综上，实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．【点评】本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知p：函数f（x）＝mx﹣2sinx在R上是单调增函数，q：m2﹣m﹣6≤0．（1）若￢p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用导数研究函数的单调性得：函数f（x）＝mx﹣2sinx在R上是单调递增函数，得x∈R时，f'（x）≥0恒成立，又即f'（x）＝m﹣2cosx≥0，即m≥2cosx恒成立，所以m≥（2cosx）max，又（2cosx）max＝2，得解；（2）解二次不等式m2﹣m﹣6≤0，解得：﹣2≤m≤3，利用复合命题及其真假列不等式组得：，可得解．【解答】解：（1）已知f（x）＝mx﹣2sinx，则f'（x）＝m﹣2cosx由函数f（x）＝mx﹣2sinx在R上是单调递增函数，得x∈R时，f'（x）≥0恒成立，即f'（x）＝m﹣2cosx≥0，即m≥2cosx恒成立，所以m≥（2cosx）max，又（2cosx）max＝2，则m≥2，即p为真时，m≥2，又￢p为真命题，则p为假命题，则m＜2．故答案为：（﹣∞，2）；（2）当q为真时，即m2﹣m﹣6≤0，得（m﹣3）（m+2）≤0，解得：﹣2≤m≤3，又p∨q为假命题，则p，q均为假命题，即有：解得m＜﹣2．所以实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣2），故答案为：（﹣∞，﹣2）．【点评】本题考查了复合命题及其真假、利用导数研究函数的单调性及解二次不等式，属简单题．16．（14分）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1＝3CP．（1）求异面直线AP与BD1所成角的余弦值；（2）求二面角P﹣AD1﹣B的正弦值．【分析】（1）以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，求出，．利用空间向量的数量积求解即可．（2）求出平面PAD1的法向量，平面BAD1的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：如图建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，因为棱长为3，且CC1＝3CP可得D（0，0，0），A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D1（0，0，3），P（0，3，1）．……………．（2分）（1）则，．……………．（4分）所以．……………．（6分）（2）依题意，可得．设为平面PAD1的法向量，则即不妨令z＝1，可得；……………．（9分）设为平面BAD1的法向量，则即不妨令z＝1，可得．……………．（12分）因此有，于是P﹣AD1﹣BP﹣AD1﹣B．所以，二面角P﹣AD1﹣B的正弦值为．……………．（14分）【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角与异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．17．（14分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D，E分别为BC，AC边上的动点，且∠ADE＝45°．设BD＝x，△DEC的面积为y．（1）试用x的代数式表示EC；（2）当x为何值时，△DEC的面积最大？求出最大面积．【分析】（1）通过三角形相似转化求解即可．（2）求出三角形的面积，利用函数的导数，求解函数的极值判断函数的单调性，然后求解最值．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠CDE，又∠B＝∠ADE＝45°，则∠BAD＝∠CDE…（2分）在△BAD和△CDE中，由得△BAD∽△CDE，…（4分）所以．因直角△ABC中，AB＝AC＝3，则，所以，代入；…（6分）（2）△DEC的面积为y，则＝，…（9分）则＝0，得…（12分）当时，y'＞0，所以y在上单调递增；当时，y'＜0，所以y在上单调递减…（14分）所以当时，．答：当时，△DEC的面积最大，最大面积为…（16分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．18．（16分）已知抛物线C：y2＝2px经过点T（2，2），过T作直线l与抛物线相切．（1）求直线l的方程；（2）如图，直线l'∥OT，与抛物线C交于，B两点，与直线l交于P点，是否存在常数λ，使|PT|2＝λ|PA|•|PB|．【分析】（1）将T（2，2）代入y2＝2px，然后求解抛物线方程，设直线l的方程为x﹣2＝k（y﹣2），联立方程组通过△＝0得k＝2，得到直线l的方程，另：设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣2），联立方程组利用相切转化求解即可．（2）设直线l'的方程为y＝x+b，联立方程组，解得P（2﹣2b，2﹣b），则PT2＝5b2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，利用弦长公式，转化证明求解即可．【解答】解：（1）将T（2，2）代入y2＝2px，则p＝1，所以抛物线方程为y2＝2x．……………．（2分）设直线l的方程为x﹣2＝k（y﹣2），联立方程组消x得y2﹣2ky+4（k﹣1）＝0，因相切，由△＝0得k＝2，所以直线l的方程为x﹣2y+2＝0…（6分）另：设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣2），联立方程组消x得ky2﹣2y+4﹣4k＝0，因相切，由△＝0得，所以直线l的方程为x﹣2y+2＝0…（6分）（2）因kOT＝1，l'∥OT，设直线l'的方程为y＝x+b，联立方程组解得P（2﹣2b，2﹣b），则PT2＝5b2．…………（8分）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组得y2﹣2y+2b＝0，所以y1+y2＝2，y1y2＝2b；因…………（10分）＝，…………（14分）所以存在实数，使．…………（16分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查设而不求思想方法的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．（16分）已知椭圆的离心率，且经过点，A，B，C，D为椭圆的四个顶点（如图），直线l过右顶点A且垂直于x轴．（1）求该椭圆的标准方程；（2）P为l上一点（x轴上方），直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，若S△PCD＝2S△PEF，求点P的坐标．【分析】（1）利用椭圆的离心率，且经过点，列出方程组求解即可．（2）设P（2，m），m＞0，直线PC的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理，推出E的坐标，结合联立方程组求出F点的横坐标，由S△PCD＝2S△PEF，转化求解即可．【解答】解：（1）因的离心率，且经过点，所以……………（2分）解得a2＝4，b2＝1．所以椭圆标准方程为．………（4分）（2）由（1）知椭圆方程为，所以直线l方程为x＝2，C（0，1），D（0，﹣1）．…………（6分）设P（2，m），m＞0，则直线PC的方程为，…………（8分）联立方程组消y得（m2﹣2m+2）x2+4（m﹣1）x＝0，所以E点的横坐标为；…………（10分）又直线PD的方程为，联立方程组消y得（m2+2m+2）x2﹣4（m+1）x＝0，所以F点的横坐标为．…………（12分）由S△PCD＝2S△PEF得，则有，则，…………（14分）化简得，解得m2＝2，因为m＞0，所以，所以点P的坐标为．…………（16分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（16分）已知函数，a∈R．（1）若函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，求a的值；（2）求函数f（x）在x∈[1，3]上的最大值；（3）当a＞0时，若f（f（x））有3个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的值即可；（2）求出函数