高数上试题期中练习题

高等数学第一学期半期试题cosxx高等数学第一学期半期试题cosxxf(x)x(aa a ,x

当 时，x=0是f(x)的连设方xyarctany0确定了yyxdx x

＝A，则 ， 函数yx2x的极小值点 设f(x)=xlnx在x0处可导，且f’(x0)=2,则f fxf设

x11xx

则f(x)在x=0取 （填极大值或极小值函数fx)二

xx

三 解下列各12x2x 1．

limx2(3x3xx 2． d2 xtd2设曲线方程为

ytcos

x

,求此曲线在x=2的点处的切线方程, 试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在点(1,-1)处有拐点，且在x=0处有极大值为1，并求此函数的极小值。 证明不等式：,e. f2. n七 f2. n八 设f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)=(2)R，存在(0,)，使得f’()-[f()-

当 时，x=0是f(x)的连设方xyarctany0确定了yyxdx x

＝A，则 ， 函数yx2x的极小值点 设f(x)=xlnx在x0处可导，且f’(x0)=2,则f fxf设

x11xx

则f(x)在x=0取 （填极大值或极小值函数fx)二

xx

三 解下列各12x2x 1．

limx2(3x3xx 2． d2 xtd2设曲线方程为

ytcos

x

,求此曲线在x=2的点处的切线方程, 试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在点(1,-1)处有拐点，且在x=0处有极大值为1，并求此函数的极小值。 证明不等式：,e. f2. n七 f2. n八 设f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)=(2)R，存在(0,)，使得f’()-[f()-高等数学第一学期半期试题高等数学第一学期半期试题一 填空题（共20分设y

x1x1

x1x1)x1 xyarctany0确定了yy(x求dx x3ax2x

x1

A.。则 ,函数yx2x的极小值点 ,设f(x)

x

(a0)当a 时，x0是f(x)的连续点aax

x

F(x)

,f,二 （10分）若y

f(x是奇函数且x=0在可导

x=0三 （共20分）求下列极1．x

2x(3x2

x

2.

x

)2x

xt2sintytcost

d2x=2的点处的切线方程,dx2四 （10分）证明：当x0时，(x21)lnxx12x2y21a2 五 （10分）求内接于椭 ，且底边与x轴平行的等腰三角六 （10分）证明：方程xnxn1x2x1在（0，1）上必有唯一

n(n>2)，并

limxnn。七 （10分）确定常数a、b,使极限lim1acos2xbcos4x存在，并求出 x （10分）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且f(a)=f(b)=0,证明：对R,ca,b，使得fcfc。高等数学第一学期半期试题解答一 （共20分）试解下列各题设yxx

x1x1

x1x1)xxxy1

x

dy

x1 dx解

xxxxxyarctany0确定了yy(x求dx1y

1y

y

1yy

x3ax2xx1

A.。则 -yx2x

,,设f(x)

x

(aaax

x,解：f(0),

cosx

a ax x0x

12a12

F(x)

f二 （10分）若yf(x)是奇函数且x=0在可导

x=0解：由f(x)是奇函数，且在x0可导，知f(x)在x0点连续，f(0)f(0)故f(0)

F(x)

f(x)f0x

三 （共20分）求下列极 x

2x(3x2

x

3x

x2

ln33x3

limln3(3x3x

x

x x

12x2x2ln12x

4x(12x

12x2.

；解：原式＝ xt2sin

22d2

ytcos

,求此曲线在x=2的点处的切线方程,dx2解：x2y1tysintcost

y1sin1cos1

yt0

切线方程：y11x2四 （10分）证明：当x0时，(x21)lnxx12

1x

x其中1x即lnx

x

x

其中x1即lnx

x

x2y21a2 五 （10分）求内接于椭 ，且底边与x轴平行的等腰三角12bbbt12bbbt2b2t2三角形面积

t 设zbt2b2t2z的最大值点也是A的最大值点z2btb2t22tbt22bt2b2t令z0得tb（舍去）t zbb20即tb为唯一极大值2 2 34亦即为所求面积之最大值点。最大值为A34六 （10分）证明：方程xnxn1x2x1在（0，1）上必有唯一

n(n>2)，并

limxnn。设f(x)xnxn1x2x

f(01,f(1n1由n2又fnxn12x10知函数f(x)单调增加，故在(0,1) 由xnxn1x2

是单调下降数列，而x2

51因此0xn

2nn

1两边n取极限x01解出x01 1 0七 （10分）确定常数a、b,使极限lim1acos2xbcos4x存在，并求出 x1＋a+b=0a+4b=0解出：a=- b=1/3代入求得极限为 （10分）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且f(a)=f(b)=0,证明：对R,ca,b，使得fcfc。F(x)=e-xf(x)F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)F(a)= Rca,b，使得Fc0,而Fxexfxexf

高等数学第一学期半期试题一 试解下列各题设y

x1x1

x1x1)x1 设yx213x22x6,求。

xt2sintytcost

d22 ,求此曲线在x=2的点处的切线方程,及 xyarctany0确定了yy(x求dx二 若y

f(x是奇函数且x=0在可导

F(x)

fx

在x=0

cosx

xf(x) x

(aaax

x三

ax0ax0四 求下列极1．x

2x(3x2

x

2.

x

)2x2；3n

n(n1)

五 证明：当x0时，(x21)lnxx12x2y21a2 六 求内接于椭 ，且底边与x轴平行的等腰三角形之面积七 证明方程xnxn1x2x1（01上必有唯一的实根xn并求n高等数学第一学期半期试题解答一 试解下列各题设yxx

x1x1

x1x1)xxxy1

x

dy

x1 dx解

xxxx设yx213x22x6,求。lny3lnx212lnx26lnyx213x22x6

6x2 xt2sin

x

xd2x

ytcos 1 ,求此曲线在x=2的点处的切线方程,及 1x2y1tysintcost

y1sin1cos

yt0

切线方程：y11x2xyarctany0确定了yy(x求dx1y

1y

y

1yy

F(x)

f二 若y

f(x是奇函数且x=0在可导

在x=0 由f(x)是奇函数，且在x0可导，知f(x)在x0点连续，f(0)f(0)故f(0)

F(x)

f(x)f0x

f(x)

cosxx

x

(aaax

x三

ax012ax012f(0)

cosx

a ax x0x

a四 求下列极1．x

2x(3x21

x；

3x

x2

ln33x3

ln3limln3(3x3x

解：原式

x

x x

2

x

)2x 12x2x2ln12x

4x 解：原式＝

1221设

n(n

1

1n11

n11

n 1

n n n 由于极限存在，故α=β-11

1

1五 证明：当x0时，(x21)lnxx12 当x1时，令f(xlnx在[1x]上用拉氏中值定理有lnx1x1

x

x其中1x即lnx

x

当0x1时，令f(xlnx在[x,1]上用拉氏中值定理有lnx11x

x

中x1即lnx

x

x2y21a2 六 求内接于椭 ，且底边与x轴平行的等腰三角形之面积12bbbt12bbbt2b2t2三角形面积

t 设zbt2b2t2z的最大值点也是A的最大值点z2btb2t22tbt22bt2b2t令z0得tb（舍去）t zbb20即tb为唯一极大值2 2 34亦即为所求面积之最大值点。最大值为A34七 证明方程xnxn1x2x1（01上必有唯一的实根xn并求n。设f(x)xnxn1x2x

f(01,f(1n1由n2又fnxn12x10知函数f(x)单调增加，故在(0,1) 由xnxn1x2

是单调下降数列，而x2

51因此0x

2nn

1两边n取极限x01解出x01 1 0一 试求下列各题的极限x33x [5分

x1

4xx2sin[5分

sin

[5

1[5 二 试解下列各题

x0sin21

x2yx x [5分 [5分 设f(x)=x(x–1)(x–2)…(x– 4xx4x

f3x3x[5分 求xe2tcos2ye2tsin2 [5分 设

三 求下列函数的微分d[5分 y=(1+x2)sinyxsin[5分

1四 [10分 设f(x)=3|a–x 求f’(x五 [10分 设曲线f(x)在[0,1]上可导，且y=f(sin2x)+f(cos2x 六 [10分 设曲线方程为x3+y3+(x+1)cos(y)+9=0试求此曲线在横坐标为=-1 [10分] 设f(x)在开区间(a,b)内可导，且导函数f’(x)在(a,b)内有界。证明函数f(x)在(a,b)内有界。x八 [10分 证明：当x>0时，1

ln(1x)一 试求下列各题的极限x33x [5分

x1x44x x2sin[5分

x0sinx

ln12x2xln12x2 [5

x0

1[5 二 试解下列各题

x0sin21

x2

11ln[5分

yx

x

，xx ， x[5分 设f(x)=x(x–1)(x–2)…(x– 4xx4x3x3xx1x124x3xdy x 4x 3xxe2tcos2ye2tsin2

dysin2tsintcos[5分 设三 求下列函数的微分d[5分 y=(1+x2)sinx

cos2tsintcos 1xyxsin

dysinxxcosx1xxsinx[5分

1x

3axln xfx不存 x四 [10分 设f(x)=

|a–x

3xaln x五 [10分 y=f(sin2x)+f(cos2xdy2sinxcosx

fcos2六 [10分 设曲线方程为x3+y3+(x+1)cos(y)+9=0此曲线在横坐标为x=1

y21x3y23x [10分] 设f(x)在开区间(a,b)内可导，且导函数f’(x)在(a,b)内有界。证明函数f(x)在(a,b)内有界。证明：∵fx在(a,b)内有界，∴对任意的x∈(a,b)M>0使≤M，设x0为(a,b)内某定点，在x0x之间拉氏定理有f(x)f(x0)f(x)f(x0)

f()(xx0)Mx

Mb

|从而f(x)

f(x0)M(b

证毕x八 [10分 证明：当x>0时，1

ln(1x)证明：令 (x>0),其在[0,x]上连续,在(0,x)上可导,由拉氏定理存在ξ满

fxf

1ln1

0 11ln1

xln1 1 111ln1

1 专 班 学 成—二三四五六七八一 试求下列各题8cos2x2cosx1 [5分

3

2

xcosx1

[5分

x11

1x4sin2[5

xf(x)

tx1 [5 讨论函

t1

二 试解下列各题 yx x [5分 y[5分 y[5分 设y

x xxx x 求

求 [5分

xecos2yesin2 求三 求下列函数的微分d[5分 y=(1+x2)sinx2[5分

y1

四 [10分 用罗必塔法则求：x0

tan2xex

cosxy五 [10分]设函数y=y(x)由方 所确定， [10分] 设曲线方程为x2+y2+(x-1)sin(x) -5=0试求此曲线点(1,2)处的切线方程和法线方程。七 [10分 一人以2m/秒的速度通过一座高20m的桥，此人的正下方有一小船43m/秒的速度与桥垂直的方向前进，求