概率论与数理统计讲义稿

概率论与数理统计讲义稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿PAGEPAGE10第一章随机事件与概率§1.1随机事件随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：在相同条件下试验是可重复的；事先可以知道的；每一次试验都会出现上述可能结果中知。为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母。称试验的每个可能结果为E 必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛个结果就构成了样本空间。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。经常使用比绝对必要的样本空间较大的样3：从最简单的试验开始，这些试验只有E1两种结果。在抛掷硬币这一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格方向时，结果是“左边”或者“右边={正面反面。E：更复杂一些，有的随机试验会产生多种2样本空间为：{1,2,3,4,5,6}。E:掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个3电子产品，可以得到面（反面，正面)}n多少样本点呢？E：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直4次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间为,n,，},n,，},。E：在人类学研究中“随机抽取一个人”并5（单位：米）的样本空间取{,[0,2.5]}就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取{,[0,200]}也许就足够了。在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高

,

。)(高度,重量)[0,2.5][0200]}。1 2□随机事件随机试验的结果称为随机事件简称事件以大写英文字母B,C,D, 记之。事件与集合的对应以及它们的运算表示样本空间,表示样是属于“是.如果是的元素，则记为.某事件发生当且仅当它对应的子集中的某个元素（即样本点）在试验中出现。用A表示事件A是的子集。事件的相互关系与集合论中集合假设涉及的集合B,A,A 1 2

,A等都是的子集，而n不再每次申明。1.事件的包含—集合的包含AB A 集合 “AB A B A B中，或说，如果，必有。对应于事件，表示A的样本点都在B中，即当A A BA的发生必导致B图AB的文氏图2.事件的相等—集合的相等ABABAB且BAABAB就是“如果A发生，则B必然发生，同样如果B发A点。A事件的并（和）—并集集合A和B的并集记为

B,它的元素或者属于A或者属于B 当然有的可能同时属于A和，即A B:。对应事件的并

B表示“A或B至少有一个发生”。图1.2A B的文氏图n并的概念可以推广到个事件和可数个事n件,A,A, ,A的并nAA A A表示“A(i1,2, ,n)中至1 2 n i 1 2 n i少有一个发生可数个事件A,A , ,A, 的并1 2 nAAAA表示“A(i1,2, ,n, )中至少有一个ii 1 2 n i事件的交（积）—交集两个集合A和B的交集记为A B，它是由既于A又属于B的元素构成的集合，即A BA且对应于事件的交A B常简记作AB。图1.3A

BA和BB的文氏图n类似地，交得概念也可以推广到个事件的n交,nAA A A表“n个事件A(i1,2, ,n)同时发i1 i 1 2 n i

AA Ai 1 2,n, ,n,

A 表示“可n数个事件A(i1,2,i

同时发生”。逆事件（对立事件）—补集A的补集记为A但不属于A（本空间）的点，集合AA组成的。记为A且1.4A的文氏图及AA不发生时发A交的运算符号，有及AA

AAA与BABAB的ABA发生而B不发生”即ABAB。1.5AB的文氏图7.互斥（或不相容）—ABAB没有公共元素，它们互不相交。对应于事件,若ABABA与B互斥（容。ABAB8.必然事件和不可能事件—样本空间和空集有两个特殊的集合需要特别讨论，一个是样 本空间本身，从集合的定义容易推断出是它自身的子集，从包含关的左边取一个元素使它不在右边集合中显然是不可能的因此又假设存在集合，该集合不包含任何元素（空的集合必定是每一个集合的子集对任何子集A，要从中找到一个元素不 然事件。注意到以下等式总是成立的,, A, AA,AA, AA,AA.南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿11上述事件间的关系与运算可由集合论中的文氏图予以展示。算律：(B C)(B C)(A B) C，A (B C)(AB)C；

BB A，ABBA；(B C(B C)(A B) (A C)；AA BA BA B，ABAB。

A (B C)(A B) (A C) ，上述运算律亦可推广到任意有限个或可列个事件的情况。例如，对n个事件B(i1,2,i

,n)有分配律nni1BinA B，ii1ni1BinAi1Bi对偶律留给读者自行写出。南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿BB1B2B3An图 个事件的关系图nA(ii者，此处给出有对偶律

n, 的分配律也留给读Aii1及

Aii1Aii1

Aii1、BC1.81.8，请读者检验这些等式：B CB CA BAABAB C(B (B C)(A B) (A C),A (B C)(A B) (A C)南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿1.8三个事件的关系图例已知一批机器螺钉中含有许多次品，随机抽取三个并检验。令A,B,C分别表示其第一、二、三次所抽到的螺钉是次品的事件。试用A,B,C及其运算表示下列事件：（1）（2）只有第三次抽到次（3）恰有一次抽到次品（4）至少有一次抽（5）不止一次抽到次品（13南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿PAGEPAGE14个次品（6）没有抽到次品。解（1） （2） （3）C. ABC.ABCABCABC ABC.（4）

（5）

（6） .A B C.□

AB AC BC. ABCABC§1.2概 率频率与概率称在相同条件下所做的次试验中事件n A发生的次数n

nA

为事件A n发生的频率，记作Af(A)nA.n n定义1.2.2在相同条件下所做的次试验n

n

A

f(A)n

稳定在某个常数附近。称此常数p 作

发生的概率，记AP(A)p.概率的公理化定义 E中每一个事件都赋予一个实数 它具有以下A P(三条基本性质： 0 P(1P( ) 13.如果

A,A,A1 2 3

是中任意一列两两互斥的事件(Ai

A ,当ij)j

，无论有限或无限，如果A2A3BA2A31

AiP(B)P(A)P(A)P(A) P(A)1 2 3 ii

PA

，P(A)i1 i

ii1则称实数P为事件A的概率。利用概率的三条基本性质可以推导出概率的其他性质。4.P(1P(A)。证因A A，AA，故由基本性质2及3有，1P()P(A A)P(A)P(A)，移 项 即 得 。□0，即P()=0。证因= ，由基本性质3有P()P()P()再 由 性 质 1□

得 P()=0 。注0但要注意的是这并不是意味着一个概率为0A必须是“不可能”或者等于。将在后面举例说明。有限可加性：若事件A,A1 2

两两互斥，则A,AnnA ni1nA ni1iiP i1证因nA=A A A ，故i 1 2 ni1nAnAP(Ai1i1A2An，)P再由性质 3 和 5 即得。□注本性质从概率的可数可加性导出了有限可加性。若AB，则P(BP(BP且P(A)P(B)。(B证由于AB(B6

，且A与(B互斥，P(B)PP(B即P(BP(BP。再由性质1□

P(B

，于是P(P(B) 。8.（加法定理）A和A是任何事件，不1 2必是互斥事件，则A)A)P(A)P(A)P(A2 1 2 1A21证显然

和AAA(A(和AAA(A(AA) (AA)12 11221212对于每一个等式来说右端的并集中的两个事件都是互斥事件。根据性质3A)PA)P(A)P(A2 1 1A)21P(A2

)P(AA)A)P(A2 1A)2

P(A1

A)P(A2

)P(A1

，把它代A)2入第一个等式就得到了要证明的结论。□可将性质8推广到个事件的情形：如果n,,A A ,A1 2

是任何事件，不必是互斥事件，则PnAn P(A) P(A

) P(AAA)

(1)n1P(AA A)i1 i i i

i j k

1 2 ni1 1ijn 1ijkn）右边的这些加和包括了单个事件、两个事件、三个事件等的所有可能的交集。证8□古典概型下面讨论一类在概率论发展初期讨论的最多可能出现。E定义1.2.4设试验的样本空间有有限多个E样本点，即,1 2

，且每个样本点出现的可, }n能性相同。称此试验为古典概型。23，在古典概型中，一方面有n ，P i1

}P()1i

P()i

都相等，所以Pn}

P()nP()， i1 i

i ii1可见每一个样本点i

出现的概率为P(

)1i n概率

个样本点构成，则其发生的由A 由A nP( An这是古典概型计算事件概率的基本公式。§1.3独立性事件的独立性ABA与B相互独立应是恰当的。那么概率论中该如何定义事件的独立性呢？称两个事件A和B（下的独立，如果(1.3.1)

P(AB)P(A)P(B) B中有一个是必然事件或不可能事件，则（）事件都与（ 1.3.2设事件A与事件B相互独立，则与BA与BA与B亦相互独立。证以下证明A与B相互独立，P(AB)P(AAB)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B)P(A)[1P(B)]P(A)P(B).此即A和BA和B独立，只要交换A和BA和B独 立 性 。□A与BB互与互斥这两个汉语词汇的词义相近造成这样的BB独立，则PAB)0，从而BB互斥时则因PAB0PP(B0，所以B不独立。3个事件，称事件AAA两两独立，如1 2 3果P(AA)P(A)P(A), 1 2 1 2 ）P(AA)P(A)P(A), 1 3 1 3P(AA)P(A)P(A).2 3 2 3进一步称AAA互相独立，如果(1.3.2)成立，1 2 3并且P(AAA)P(A)P(A)P(A).1 2 3 1 2 3南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿22(1.3.3)也成立。显然互相独立要强于两两独立。1.3.3（3（1.3.23来规定三个事件的独立性就可能出现下面的令,BC满足P(ABC)P(A)P(B)P(C)，A,B,C中可能有两个事件不相互独立。请看下面的例子：CAB设（两个正面或两个反C面A和事件BA和C也是独立事件，同样B和C是独立事件（为什么？。所以事件A，B和C测P(A B C)

1，然而4P(A)P(B)P(C)

1111

P(AB C)2 2 2 8B C)从而事件A，B和C是不独立的，尽管他们是两独立。 □南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿PAGEPAGE23另一种情况，仅有(1.3.3)，也不能保证1.3.2)成立，见下例。掷一颗骰子，观察其点数。令 ，A B {4,5,6} C {3,4,5}P(于是

2，P(B)P(C)1.3 2P(ABC)1P(A)P(B)P(C)6而P(AB)1P(A)P(B).6□1.3.31.3.4和（1.3.3）不能互相自然导出。可见由（1.3.2）及（1.3.3）来定义三个事件的相互独立性是完全必要的。以下把它推广到个事件。n定义1.3.3的，如果

A,A1 2

两两相互独立,Ak(1.3.4)

P(Ai

A)P(A)P(A)j i j对任何成立.i jn

A,A1 2

,An

2nn

个等式P(AAi j

)P(A)P(Ai

) (1ijn)P(AAAi j k

)P(A)P(Ai

)P(Ak

(1ijkn)A)A)P(A)P(An 1 2P(A)n1 2n

A,A1 2

相互独立。,An

n

A,A, ,

的相互独立性时应能保证其中的任意

1 2k

n(1kn)亦相互独立。惟有如此才是合理的。因此也可把上

A,A1 2

,A,n

是相互独立的，如果其中任意有限多个事件相互独立。对于个相互独立的事件亦有类似于定理n的重要结论，这里不再赘述。1.3.2伯努利概型像掷硬币试验那样只有两个可能结果A与A试验称之为伯努利（Bernoulli）试验。又如，击中；掷一颗骰子考察结果是出现6点还是未出A6A称作A努利试验重复进行nA发生的概率都一样。称这样的试验为独立重复试验。定义1.3.4称独立重复进行的n验为n重伯努利试验。称独立重复进行的可数次伯努利试验为一个伯努利独立试验序列。1.3.6（1.2.5）64回，连续取3次。求恰有2个红球的概率。解30.6

表示第AiiAi

次“取到红球”的事件，则试验的样本空间为{AA

A,AA

A,AA

A,AA

A,AA

A,AA

A,A

A,A

A}.1 2 3

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 3由独立性，容易算出每个样本点出现的概率。例如P(AAA)0.63，而P(AAA )0.620.4。1 2 3 1 2 3由于事件B“恰有2={AAA,AAA,AAA}，1 2 3 1 2 3 1 2 3其中样本点是两两互斥的，所以P(B)P(AA

A)P(A

A)P(A

A)C20.620.4541 2 3

1 2

1 2 3

125§1.4条件概率条件概率定义1.4.1设BP(B)0，则定义“事件B发生条件下事件A为P(A|B)P(AB)P(B)(1.4.2)（概型1.0P(A|B)1；2.P(|B)1；A3.对两两互斥的事件列A,A, , , ，有A1 2 n（1.4.3）

PAi1

|Bi1

P(Ai

|B)注条件概率既然是概率，它也应有概率的其他A和A是任何事件，不1 2必是互斥事件，则A|BA|B)P(A|B)P(A|B)P(A2 1 2 1A|B)21读者可以把无条件概率的其他性质推广到条件概率。可以把条件概率进一步推广到多个事件的情形，如果Ai1,2,3,i

n个事件，给定A,A,nn是,An1

的条件概率由下面的公式给出：AnAP(A|A,A,A,n 1 2 3

,A )P(AAP(AAAP(A A12A)n1 n)1 2An1（1.4.4）乘法公式利用定义立即可得下面的概率乘法定理。1.4.2设BP(B)0时，（1.4.5）

P(AB)P(B)P(A|B)称上面的公式为乘法公式。有一个重要的特殊情形，当A与B事件B的发生不会改变APA|B)P时，这时乘法公式变为（1.4.6）

P(AB)P(A)P(B)反之，当P(B)0B相互独立，则有独立性定义和公式（1.4.3）有PA|B)PA于是得到下面的定理。定理1.4.3设P(B)0B的充要条件是（1.4.7）下面给出乘法定理的推广形式。

P(A|B)P(定理1.4.4 设

n A

, A P(AA

，则有A )A )n1

1 2 n1 2A)P(A)P(A)P(A|A)P(A|AA)n12 13 1 2P(A|AAn 1 2A n11 2（1.4.8）证注意到

P(A)P(AA)

PAA A 0

n1次1 1 2

1 2 n1使 用 定 理 1.4.2 即 得 。□1.4.2全概率公式与贝叶斯公式1.4.4假设BBB,B是为某试验的样1 2 3 n本空间的一组互不相容的事件，也就是满足BB (ij,i,j1,2, ,i j

ni1

Bi

，则称事件组BB,B为B不可能同1 2 n i时出现，而且其中一个必须出现。1.4.5设BB,B为的一个分割，且有1 2 nP(B)0(i1,2, ,i

，则对任意事件有A（1.4.10）

P(A)i1

P(A|B)P(B)i i证由定理假设，是任何事件，如果发A A生，那么它必然与中一个同时发生（见图i1.9。即[AB] [AB][AB] [AB]2 31因BB,

AB,AB,,

亦两两互斥，1 2 n 1 2 nP(A)P(AB)P(AB)P(AB)1 2 n再利用公式(1.4.5)就得P(A)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)1 1 2 2 n nn□

P(A|B)P(B)i i全概率公式可以推广到可数的子集构成的分

B,B,B1 2 3

是可数多个互不相容事件，且满足BBi j

ij,i,j1,2, )i1

，则如果有iP(Bi

0)(i1,2,

，则对任意事件有AP(A)P(A|B)P(B)i i（1.4.11）

i1下面来探讨另一个问题。如果观测到事件实A和(1.4.11)，发现

P(Bj

|A)

。通过使用(1.4.4)(1.4.12)

P(Bj

|A)P(BP(BjP(A|B)P(B)jjP(P(A|B)P(B)i公式(1.4.12)称为贝叶斯(Bayes的应用。定理1.4.6(贝叶斯定理)事件组

为B,B, ,B 1 2 n的一个分割,且有有

P(B)0(i1,2,i

,

，则对任意事件AP(B

|A)

P(A|Bj

)P(B)jj P(A|B)P(B)i ii证 由条件概率公式(1.4.2)P(Bj

|A)

P(BA)jP(BA)j分子使用乘法公式（1.4.5(1.4.10)即得。通常称上述公式为贝叶斯公式或逆概公式。

第一章1BP(B0,P(A|B1，则必有（ ）（A）P(AB)P(A) （B）南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿33P(A B)P(B)（C）P(

B)P(A)

（D）P(A B)P(B)2、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A={掷1第一次出现正面}，

A ={掷第二次出现正2A A 3 4次}，则事件有（ ）（ A

A,A,A

相 互 独 立1 2 3（B）AAA相互独立2 3 4（ C

A,A,A

两 两 独 立1 2 3AAA两两独立2 3 43、对于任意二事件A和B，则（ ）（A）若AB，则B一定独立 （B）若AB，则B有可能独立（C）若AB，则B一定独立 （D）若AB，则B一定不独立4、A，B是两随机事件，当A，B发生时事件C生，则以下正确的是（ ）南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿PAGEPAGE34A、P(AB)P(C) B、P(CAB)P(C)P(AB)CP(AB)PC) DP(AB)PC)5A

0P(P(B),P(C)1，且已知P(AB|C)P(A|C)P(B|C)，则以下正确的是（ ）A、P(AB|C)P(A|C)P(B|C) B、P(ACAB)P(AC)P(AB)CPABPP(B)P(C)P(A)P(C|P(B)P(C|B)

D、6、A，B，C是三个随机事件，设以下条件概均有意义，则以下不正确的是（ ）A、P(A|C)1P(A|C) B、P(A|C)P(A|C)1、PAB|C)PA|CP(B|CPAB|C)、PA|C)P(B|C)PA|BCP(B|C)PA|BC)7、AB是两个随机事件，其中P)以下正确的是（ ）

P(B)0，则AABAB一定独立 BABA，B不一定独立CABAB一定独立 DABA，B不一定独立823211A 15D 45

B 25

359103192先售出1台为二等品的概率为A 310D 38

B 28

21010、若A,B为任意两个随机事件，( )(A)PABPAPB (B)PABPAPB(C)PABPAPB (D)2PABPAPB211、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命pp142（）(A)3p(1 p)2(C)3p2(1 p)212、设A,B

(B)6p(1 p)2(D)6p2(1 p)2是两个随机事件,且 0 P(A) 1,P(B) 0,P(B|A) P(B|A),(B)P(A|B)P(A|B) P(A|B)P(A|B)(D)P(AB)P(A)P(B) P(AB)P(A)P(B)二、填空题 1、， A B P(0.5 P(B) 0.7PAB) 。 2、 A B P(0.3 P(A B) 0.5。P(AB) 3、， A B P(AB) P(AB) P(p。P(B)4、一袋中有10件产品，其中3件次品，7件正品，从中不放回地取3次，则“至少有两件次的概率”为 。5、从5双不同的鞋子中任取4只，则此4只子中至少有两只鞋子配成一双的概率为 。6、设有个人，每个人都等可能的被分配到个n N房间中的任意一间去住（1个n N n房间各有一个人住的概率为 。（2、恰有个房间各有一个人住的概率n为 。7

x

y

xy1的38、随机地向半圆8、随机地向半圆(x,y)0y 2axx2

a0，是常数）内掷一点，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为 。49从长度为a的线段内任取两个点将其分成段，求它们可以构成一个三角形的概为 。10A与B，如果P)0，则有P(B|A)1P(B)）P(11(1ABABABAB不独立．12、设两两相互独立的三事件A，B，C，满足：ABC＝

，＝＝

1 2P(ABC)

9A的概率．1613522A品}，P(B|A)

B ={第二次取得正品}，则。14、若在区间内任取两个数,则事件”两数之(0,1)和小于6”的概率为 .515在区间 中随机地取两个数,则这两个数之(0,1)1差的绝对值小于1的概率为 .P(AB)2 216

和都不发生的概率A B为1,发生A9

B

发生不发生的概B A率相等,则= .P(A)17、一批产品共有10个正品和2个次品,任抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 .18、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 .第二章一维随机变量及其分布§2.1随机变量下，这些可能的结果都可以用数量表示。3202XX01取不同的值代表不同事件的发生。X0有次品”

X1X2使其数量化。反面。我们规定：变量X取值如下X0”表示事件“出现反面”X1这样便把试验结果数量化了。XXX ( ){ }XX(上的实单值函数，称XX(X,YZ,等表示。中P(

)P{XC1C1/C

0.268

；例23 17 20中PP{X1/2。这显示了随机变量与普通函数有着本质的差异。析的方法对随机试验的结果进行深入的研究。机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种。§2.2离散型随机变量定义如果随机变量的全部可能取值是有型随机变量。“某班数学型随机变量。一、离散型随机变量的概率分布X定义设离散型随机变量所有可能取的值X为x，x，…，x，…1 2 k南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿44X

p,p1 2

,pk

，则称)，()P{Xx}pk k

k1,2,为离散型随机变量的概率分布或分布律。X概率分布也可以用如下表格的形式表示：XXx1x…x…2kPp1p2…pk…由概率的定义，概率分布具有以下两个性质：（1）pk

0，k1,2, （2） pkk1

1。【例】若离散型随机变量的概率分布为X)P{Xk}3a(1/2)k (k1,2,)求常数的值。a解由概率分布的性质，有a(1/2)kakk

(1/2)k3a

1/2 3a111/2南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿PAGEPAGE45所以 。a 1/3二、三种常见离散型随机变量的分布分布（或两点分布）(0 1)定义设随机变量只可能取0、1两个值，X它的概率分布为， P{X，

P{X1

0p1）即 P{Xk}pkp)1k,k(0p即 或XX01P1pp则称Xp的(01)分布或两点分布。只都可用两点分布表求，如产品的“合格”与“不二项分布定义设随机试验

只有两种可能的结果：E A或，在相同条件下将重复进行次，各次试验A E n结果互不影响，则称该次试验为重独立试验，n n又称为重贝努利试验。n若试验中，事件发生的概率 ，E A P(p （ ，可以证明在 0 p 1 n A恰好发生k

CkPk(1p)nk。n定义若随机变量的概率分布为XP(Xk)CkPkp)nkn

（k0,1, ,n） 其中 则称服从参数为的二项分布 0 p 1 X n,p为 。可以证明其满足分布律的两个条件。X~b(n,p)特别地，当 时，二项分布化为n 1P{Xk}pkp)1k,k即为 分布或两点分布。(0 1)注意到

Ckpk(1p)nkn

p(1

二项展开式中的第k1

项，二项分布由此得名。满足二项分布的随机变量 的取值就是事X件在重贝努利试验中发生的次数。A n泊松分布定义 设随机变量所有可能取的值为X，而取各个值的概率为0,1,2,P(Xk)

kek!

k0,1,2,） 0 X布，记为X~()。可以证明其满足分布律的两个条件。 验中稀有事件出现的频数的概率分布情况的数学模型，即当很大 ，很小 n (n 20) p (p 0.05)np b(n,p)作近似CkPk(1p)nkn

(np)kenpk!

（k,,）§2.3随机变量的分布函数感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率Px1

Xx2

1

Xx2

1

Xx2

1

Xx2只要利用一维坐标轴就分容易得出下列结论当0当PxXxPXxPXxP xXx P Xx P Xx12211P xXx P Xx P Xx2211P xXx2PXx2PXx11221所以，我们只须定义一个了，其他区间形式都可以用它表示出来。于是定义：Fx为X的分布函数。它就是X落在任意区间x累积用一元积分。定义设

是任意实数，函数xX称为的分布函数。xX

F(x)P{Xx}X1. x左边的概率1. 0F(x)1F(F( 3.F()limF(x)0，F()limF(x)1；x xF(x0F(x，即F(x是右连续的。PxXxPXxPXxFxFxP xXx P Xx P Xx F x F x012212 11P xXx2PXx P XxF x F x0 02121PxXxPXxPXxFx0Fx122121P122121Xx F x F x0F x limF x PXx1PXx1Fx0 0 0 0xx00 P Xx F x000000上述全部可能的表示中，只有Fx0Fx0F，因为假如Fx0Fx1 1x型在 点的概率不为零时，等式x1Px1

Xx2

Px1

Xx2

就会出现矛盾，故Fx不可能XxFxFx0FxlimFx是0 0 0 0 xx00计算离散型分布函数的重要公式。又，上式中根本不可能出现Fx0的形式，Fx0Fx5FxFx0

0Fx0

且Fx0

0Fx0

。当然，由于连续型在一点的概率恒为零，所以，连续型分布函数左连续和右连续同时成立。正是要求Fx右连续，才使Fx成为分布函数的普适定义。评注评注Fx

0, x01x, 0x1 1, x1例设FxFx为两个分布函数，其相应的概1 2fx,fx是连续函数，则必为概率密度的1 2是（）（A）fxfx （B）1 22fxF2 1

x

（C）f

xF

x

（D）fxF1

xf2

1 2xFx1【例FxFxa0,b0,ab1，证明1 2FxaF1

xbF2

x也是分布函数，并举例说明分布函数不只是离散与连续两种。证明：分布函数的三个基本条件：xx1 2

Fx1

Fx2limFx0, limFx1x x（3）Fx0Fxxx1 2

Fx11 1

Fx11 1

,F2

xF1

x21Fx1

aFx

xaFx

bF

Fxx1limFx1

x

1

aFx

2 2 2 2

x

21limF21

x lim

x bF x ab1x

x

2

F x0

aF1

x0bF2

x

aF1

x bF2

x F x所以，Fx也是分布函数。，取：ab1 并令，2Fx0, x0,

0, x0xx, 0x11 x0

x10, x0Fx1Fx1Fx1x, 0x12 1 2 2 21, x1由于Fx是不连续的分段函数，故即不是离散型，又不是连续型。例

0, x10.8, 1x 0.4, 10.8, 1xX

x

Xx

1, x

，求X的概率分布。解：由于Fx要求右连续，故等号必须加在号上。又由于每一区间的FxX具有离散型特征。Fxx1,1,3X在这些点的概率不为零，即正概率点存在。计算如下PXF1F100.400.4PXFF00.80.40.4PXF3F010.80.2X的概率分布（即离散分布律）为XX113pi0.40.40.2§2.4连续性随机变量及其概率密度一、连续性随机变量及其概率密度定义对随机变量的分布函数 如果存X F(x)在非负函数 ，使对任意实数，有f(x) xF(x)x

f(t)dt则Xf(x)称为X的概率在个别点的函数值不影响分布函数 的取f(x) F(x)值。概率密度 具有性质：f(x)1. ；f(x) 02.f(x)dx1；

x,x

x x，有1 2 1 2；P{x1

Xx2

}F(x2

)F(x1

)x1

f(x)dxf(x)在点x连续，则有F(x)f(x。概率密度 表示的不是随机变量取值的概f(x) X x率，而是在处概率分布的密集程度， 的大X x f(x)小能反映出在领域内取值概率的大小，X x。P{xXxx}f(x)x。【例】设连续型随机变量X具有概率密度kxf(x) 0

0x2（1）确定常数（2）求的分布函数 ；k X F(x)（3）求

X5}。2 2X的分布函数F(x是x的连续函 数；取任一实数值的概率为 X a P{X 0因此有P{aXb}P{aXb}P{aXb}P{aXb} P{X 0

{X

不一定是不可能事件；同样 ，但不一定是必然事件。P(1 A二、三种常见连续型随机变量均匀分布定义设连续型随机变量的概率密度为X 1

axbf(x)ba 0在区间 服从均匀分布，记为 。可则称X (a,b) X~U(a,b)以证明它满足概率密度的两个最基本性质。它的分布函数为 0xF(x)b 1

xaaxxbX在[2，5X3解依题意得X的密度函数为南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿551f(x)30

2x5P(X51dx233 3设Y3数，则22 1 23 20P(Y2)C2 C3 33 3 33 27指数分布定义设连续型随机变量的概率密度为Xf(x) 0

x0x0其中0

为常数，则称X

服从参数为

的指数分布，记为 。可以证明它满足概率密度的两个最基X~E()本性质。它的分布函数为1exF(x) 0例，即Px0

xxXx0

x|Xx0

PXx。试证明之。证明：南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿PAGEPAGE56 P

Xx

x, X

P

Xx

xPXxP x Xx0 0

x|Xx 0

0 0P Xx0 0

0 00

0 0P Xx0 00Px

Xxx

Fxx

Fx

1ex

1ex

01P

0 Xx0

01

x0

1ex

1ex

x

Xx0例（2013数一）.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大零，则P{Ya+1|Ya}= 。0例.例.XλX（1,2）内的概率达到最大,则λ=.．正态分布3定义设连续型随机变量的概率密度为3Xf(x)

1 (x)22e 222

x,0X的正态分~ ( , )X N两个最基本性质。它的分布函数为2F(x) 1 x2

(t)222dt

，x当0,1X服从标准正态分布，记为，其概率密度和分布函数分别为X~N(x)

1 2e 2

，(x) 1 x22

t2 。2dt易知(x)1(x)。对于一般正态分布和标准正态分布，有以下关系：引理若

X~N(,2)

，则Z

X~N

。由此得F(x)P{XPX

xx

P{x

Xx

x X x}P1

x

x 1 ，求 ，求

【例】已知P{12X20}。

X~N(8,42) P{XP{XX N X【例X N X~ ( , 2)(k,k)内的概率(k1,2,3)。定义设X~N，对于给定的，如果u 满足条件

x22PXu 2

e u

dx则称点u 为标准正态分布的上分位点。1显然有(u)1，u u1常见的u 的值u§2.5随机变量的函数的分布Yg(X)的概率分布.【例】设随机变量具有以下分布，试求：X 1） （ Y 2X Z (X 1)2X 1 0 1 2P 0.3

0.2

0.1 0.4小结：设离散型随机变量的分布律为X，P{Xx}pk k

(k1,2,,n)其函数Y=g(X)的分布律可按如下步骤计算：计算Y

，g(x),g(x),,g(x)2 n有相同的只取其中之一，然后将它从小到大排列，记为y,y,,y；1 2 k计算Yy,y,,yy1 2 k 1只与g(x)

P(Yy)p

；如果y

与 都相g(x),g(x)1 1 1 1 1 2 P(Y y) p1 1

p。对每个y(i1,2,k都作同样处i理，就可确定Y取y,y,,y各个值的概率1 2 k【例】设随机变量具有概率密度Xf(x)8X 0

0x4other2 Y XXXYX2在（0，4）内的概率密度在（0，4）内的概率密度fy= ．Y小结：设连续型随机变量 的概率密度为X，f (x) xX

Yg(X)的概

？f (y)Y（1）Y

F(y)P(Yy)P(g(X)y)Y

g(X)y

，得到X

g(X)

”等价的X

的不等式，并以后者代gX

（这一步是关键

对求F(y) yY

。f (y)YX的服从YsinX解:：分布函数定义法X的概率密度为：1, x0,f xX 0, other先确定Y的值域为Y0,1。故y0FY

y0; y1FY

y时当0y1时xDD|0xarcsin|arcsinyxD的两个单调区域存在反函数。使用一般法，得FyPsinXyarcsiny1dx 1dx, 0y10 y0Fyy1Fy

arcsiny 2 , 0y1当0y1fY

yFy 1y20, other【例】X服从N0,，求YeX,Y2X21,YX的概率密度。2解：X~N1f(x) 2e2e

x一般解法：由YeX0恒成立，故，当y 0FY

yP(Yy)02y0时2Fyy)P(eY

y)P(X lny)=

lny

1 ex2dx故Y的概率密度 f2Y2

12y (y)F(y)2y Y

e(ly)2, y00， y0（2）由Y2X21X

y1FYY12

yy)0；y1时，因为不存在反函数，故使用一般解法(y1)/2FyPyP21yPX (y1)/2(y1)/2Y(y(y1)/2

X 1 y2 2y2

x2e2dxef yFyY Y 1 (y1)/2)2 1

4 (y1)/2((y4 (y1)/2

1 2 2

2 e 2

, y14 (4 (y1)/20, y12 (y1)=4 1 ey2 (y1)=40, y1由Yy0时

Xy0FY

yy)0,FyPyPXyPyXyyY

1 x22e22e 1 y2

(y)2

2 y2

2e

2 (1)

y0

e2, y0f y FY

y

y0 0, 0 0, y

第二章习题（A）X0,Fx 5xFx ()

x1,, 1x1, 1,

x1则PX21) 。则XCx, 1x0,f(x)Cx, 0x1,0, .则常数C= 。设随机变量X的概率密度为 2x, 0x1,以f(x)0,Y表示对X的三次独立重复观察中事现的次数，则P（Y=2）= 。

其他.{X1}2设X服从[0，1]上的均匀分布，则概率P(X2

3 X 4 83

= 。设X

为其分布函数，则对任意实数N(,N(,2a，有F(a)F(a) 。设连续型随机变量X的概率密度为x, 0x1, f(x)2x, 1x2,0, .

P(1X2

3 。)2)设随机变量X

4x,0xf(x)0, . 又为中的一个实数 a P(X a) P(X a)则。a则。若 则X N( , ), f(x)为 。设X达到最大的k

的泊松分布，则使得5P(X k)5。设XY2lnX

的概率密度为 ，Z2lnX的概率密度为 二．选择题1．下列函数中能够作为分布函数的是（A

0,x1,3F(x)1,1x2,31,x2.

（B）0,x0,F(x)ln(1x) 1x

,x0.（C

0,x0,x F(x) ,0x2,

（D） 51,x2.0,x0,F(x)sinx,0x, []1,x.2

而且C满足X N(2008,20102), P(X C) P(X C)（A）0 （B）2008 （C）1998 2010 [] 设 为一概率密度，则k f(x) kex2x（A）e1（B）1（C）1（D）22[]下列命题正确的是（A）连续型随机变量的密度函数是连续函数。。（B）连续型随机变量的密度函数。0f(x)1

满足f(x)连续型随机变量的分布函数是连续函数。[]设随机变量X的概率密度为 ，分布函数为f(x) F(x) f( x) f(x) a F( a)（ A ）（B）1F(a)2

F(a)南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿66（ C ）1 (1 (Fa

2F(a)16．设 对于任何正X~N(,2), 0, f(x)为X6．设 对于任何正a0（A） f(a)f(a（A） f(a)f(a)（C） f(a)f(a（C） []f(a)f(a)17．设F(x)和F(x)

都是随机变量的分布函数，则为使1F(x)aF(x)

2(x)

是某随机变量的分布函数，必须满1 2足（A）a

3,b2

（B）2 5 52 a ,b3 （C） 1 3

（D）a1 a ,b2 21

,b2 2[]8．设

F(x),F(x)

是f(x),f(x)1 2 1 2密度函数，则（A）

f(x)f(x)1 2

是密度函数。南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿PAGEPAGE67（B）

f(x)f(x)1 2

是密度函数。（C）对任何满足数。

ab的实数a,b, af(x)bf(x)1 2

是密度函（D

F(x)F

(x)

是分布函数。1 2[]三．解答题X1 x2 x3e 2,x0,f(x) 20, .(2 (2 P XX1cosx,0x,f(x)2 20, .X4Y大于Y3351，2，3，4，5，3X3X10731函数；函数。）服从指数分布，其概率密度为1e1x,x0f (x)5 5X 0,.105Y( ( PY[,5] [,5] a a且关于未知量x

3x2Yx Y143

没有实根的概率为1，试求a4B(B(n,p),X

的值。1(1)Y XX 21Y X10X

1x1xf(x)x,0x1,X 0,.F(x)X加的连续函数，Y服从[0，1]上的均匀分布，证同。

ZF1X

的分布函数与X的分布函数相设X上的均匀分布，随机 2 22 Y X X第二章习题（B）1、设随机变量（ ）

X~N

,

，记

pP

X2

，则（A）p随着的增加而增加 （B）p随着的增加而增加（C）p随着的增加而减少 （D）p随着的增加而减少 X~N( , 2) y2 4y X 0实根的概率为0.5,则= .3X

和是相互独立的连续型随机变量,它们的Y

和f (x)和X

fY

,分布函数分别为

F(x)X和,则F(y)和,则Y(A)

＋f (x)＋必X必

fY

必为密度函数

f (x)fX

(y)＋为密度函数＋F(C)FX

(x)

F(y)Y

必为某一随机变量的分布函数(D)

F(x)FX

(y)

必为某一随机变量的分布函数.4、设随机变量 服从正态分布 对给定的X N(0,1),(0,数u 满足P{Xu

,若X,则x等于（ ）(A)u2

(B)u12

(C)

u12

(D)

1u15、从数1,2,3,4中任取一个数,记为,再从X,X

中任取一个数,记为 ,则Y= P{Y= 6、设随机变量与相互独立,且均服从区间X Y [0,3]上的均匀分布,则,Y}.7、设随机变量X

N(,2),Y

服从正态1 1分布N(2,2 2且XY1

则（）| (A)1 2

(B)1 2

(C)1 2

(D)1 20,128、设随机变量X的分布函数Fx0,128、设随机变量X的分布函数Fx则, 0x,=P{X=(A)0(B)1 (C)12

e1

1ex,(D)

x1.1e19f(xf(x为[1,3]1 2上均匀分布的概率密度,f(x)

af(x) x1

(a0,b

为概率密度,则a,b应满足bf(x)2

x0(A)2aab2

(B)3a4 (C)ab110

F(x)1

F(x)2

为两个分布函数，且连续函数f(x) f1 2

(x)

为相应的概率密度，则必为概率密度的是（ ）Af(x)f1 2C

(x)

B2f(x)F2 1D

(x)+f(x)F(x)

f(x)F(x)

f(x)F

(x)1 2 1 2 2 111、设

X,X,X1 2

是随机变量，且X1

，N(0,1) X2

，N(0,22)N(5,32X ，PN(5,323 i

，则（ ）A.PPP B.PPP1 2 3C.

2 1 3DPPP PPP3 2 2 1 3 212、设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零则P{Y≤a+1|Y＞a}= 13X

x2, 0x3,f(x)a

2,

x1,

0, 其他Yx, 1x2,1, x2Y求概率Y.14、设随机变量

X

2}12,在给定 的条件下随机变量Y服从均匀分布。X i。U(0,i),i1,2（1）Y

。F(y)Y15、设随机变量X

fx

2xln2,x0,0, x0.对 为观测次数.XY求的概率分布;Y16X和YXN(0,1)Y的概率分布P(Y0)P(Y1)0.5 记F(z)为随机变量ZXY的分布函数，则函数F(z)的间断点个数为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3第三章 二维随机变量及其分布XY整体来研究。将n个随机变量X,X1 2

,,

作为一个n

(X,X1

,,X n

，称为n维随机变量。在这一节我们主要研究二维随机变量的概率分布、边缘分布及二维随机变量的独立性等.这部分内容的讨论也可类推到 维随n(n 2)机变量的情形.§3.1.1、二维随机变量的概率分布定义3.1：设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x、y，称二元函数南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿F(x，y)PXx，Yy为二维随机变量 的分布函数或随机变量X和(X，Y)Y的联合分布函数，它表示随机事件 与{X同时发生的概率.图3-2

3-1将二维随机变量 看成是平面上随机点的(X，Y)坐标，那么分布函数 在点F(x，y)((，) x y (X，Y) X x左侧和直线 的下方的无穷矩形区域内的概率Y y(如图3-1)有了分布函数 借助于图容易算出随机点(X，Y)

落在矩F(y)域D{(x，y) xXx，y Yy}

1 2 1 2.Xx，y Yy}F(x，y)F(x，y)F(x，y)F(x，y)1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1根据概率的定义和二维随机变量的定义，可7南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿PAGEPAGE78得：二维分布函数 具有以下基本性质：F(x，y)（1） ；0F(x，y)1（2）F(x，y)

xy连续；F(，y)limF(x，y)0x

F()limF(y)y；F()；F()1；对于任意x1

x，y2

恒有：y2Xx，y Yy}1 2 1 2F(x，y2 2

)F(x，y2

)F(x，y1

)F(x，y1

)03.1.2.二维离散型随机变量及其分布定义3.2：如果二维随机变量 可能取的值(X，Y)为有限对或可列无穷对实数，则称 为二维离(X，Y)散型随机变量.显然， 为二维离散型随机变量，当且仅当(X，Y)XY均为离散型随机变量.设二维离散型随机变量 所有可能的取值(X，Y)为(x，yi j

) i，j

，且对应的概率为P(Xx，Yyi

}p，j ij

i，j1，2,.则称上式为二维随机变量 的概率分布或X与(X，Y)Y的联合概率分布.由概率的定义可知：（1）pij

i，j

.（2）p 1.iji1j1XY概率分布表.YY…y yy……1 2X…jx1p11p12……p1j………xppp……22122…2j……………xpp……ii1pi2…ij…………根据定义，离散型随机变量 的联合分布(X，Y)函数F(x，y)P{Xx,Ypijxxyyi j即对一切满足不等式xx，yi j

的求和.y pij3.12222X表示取得的黑球的个数，YXY的联合分布表，并求事件Y的概率.解Y各自可能的取值均为012，由题设知， 取（1，2（2，1、(X，Y)（2，2）均不可能.取其他值的概率可由古典概62C26

=15种取法.(X，Y)

取()

表示取得的两个球是白球，其取法只有一种，所以其概率为0,Y

，类似地 取其他几对数组(X，Y)15的概率为如下：P{XP{X

224，15 15P{X1，Y1}4,P{X2，Y0}P{X0，Y2}115 15的联合概率分布表为(X，Y)012141151515YX0YX014154150211500P P 个球中黑球和红球的和不超过一 P{X Y 于事件 包含三个基本事件，分别对应着点{XY1}0，0（01）和（1，0，所以：P{XY1}P{X0，y0}P{X0，Y1}P{X1，Y0}1443.15 15 15 53.1.3二维连续型随机变量及其分布3.3：设二维随机变量X，Y的分布函数为F(x，y)f(x，y)对任意实数，有x、yF(x，y)x,Yx

y fv)dudvX，Y为二维

f(x，y)

为二维随机变量X和Y的联合密(X，Y)度函数.由分布函数的定义知联合密度函数 具有f(x，y)以下性质：（1） ；f(x，y)0（2）

（ f(，y)dxdy1 即F()（ 反过来如果一个二元函数 同时满足性质f(x、y)（1（2率密度函数.（3）

在点 处连续，则有f(x、y) (xy)(x，y)xy

；f(x，y)（4）设D是平面上任一区域，则点 落xoy (x,y)D内的概率为P(X，Y) f(x，y)d.D在几何上， 的值等于以D为底曲面P(X，Y)Zf(xy)为顶的曲顶柱体的体积.南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿分布和二维正态分布二维均匀分布设D是平面上的有界区域面积为A，若二维随机变量 具有概率密度函(X,Y)数1f(x,y)A0

,(x,y)D,其他则称 在D上服从均匀分布.(X,Y)二维正态分布若二维随机变量 的概率密(X，Y)度为1 1 (x)2

x y

(y

)2f(x,y)

1

1 2

2 2

1

2(12)

2 1 2 1 1 2 2（ ）x,y

，，，，1 2 1 2

均为常数，且 0，1 2

0，

(X，Y

及，，， 1 2 1 2

.(X，Y)~N(，，2，1 2 1 2如图3-3所示，二维正态分布以 为中心，（，）1 283南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿在中心附近具有较高的密度，离图3-3二维正态分布密度函数图象吻合.例3.2设二维随机变量 的概率密度函数(X，Y)为Ce(2x3yx0f(x，y)， 其它求（1）常数C（2） 的分布函数 ；(X，Y) F(x，y)（3） .P{X Y}解（1）由 的性质2可知：f(x，y)1f(y)dxdyCe(2x3y)dxdy=

0 0 1所以：C 6（2）F(x，y)x

y

C e2xdx0 f(x，y)dxdy

e3ydyC6xe(2x3y)dxdy1e2x)1e3y)，xy00 0， 其它84南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿（3）

{XY}f(x,y)dxdy

dx

y6e(2x3y)dy2..xy

0 0 5例3.3设二维随机变量 的密度函数为(X，Y)4xy，0x1，0y1f(x，y)其它D为xoy

轴、轴和x y不等式 所确定的区xy1域，求X，YD解：如图3-4所示：,Y) f(x，y)dxdyD1dxx4xydy10 0 6例3.4设布，求

(X,Y

在圆域(x,y)x

上服从均匀分 （1） 的概率密度； （2）(X,Y)P0X1,0Y1 解（1）圆的面积为 ，故 A 4 (X,Y)1f(x,y)0

,x2y24,其他 0 x y 1485南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿南京理工大学泰州科技学院基础部《概率论与数理统计》考研讲义初稿PAGEPAGE86XY f(x,y)dxdy14Gf(x,y在圆以外的区域都等于零)§3.2边缘分布二维随机变量 作为一个整体它具有分布(X，Y)函数 .而分量X和Y也都是随机变量，也有F(x，y)XY的分布函数为F (x)X和F(y)Y

，分别称它们为二维随机变量

(X，Y

关于X和关于Y的边缘分布函数.边缘分布函数可以由 的联合分布函数 来确定：(X，Y) F(x，y)F (x)XX，YF(