专题44抛物线(教学案)(解析版)

名师整理，助你成功1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.3.抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质y2＝2px(p>0)y＝－抛物线的焦点，直线2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)2标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴ppppF0，－2焦点坐标F，0F－，0F0，222离心率e＝1p2p2p2p2准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下名师整理，助你成功知识拓展y＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F，0的距离|PF|＝x0＋2p，也称为抛物线p21．抛物线2的焦半径．a4a42．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，0，准线方程为x＝－.3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yy＝－p2.122pp2(1)x1x2＝，4(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．sinα2(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．名师整理，助你成功高频考点一抛物线的定义及应用例1、(1)若抛物线y＝4x上的点M到焦点的距离为10，则________.M到y轴的距离是|PA|＋|PF|取最小值时点2(2)若抛物线2y＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则P的坐标为________.解析(1)抛物线y＝4x的焦点F(1，0).准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－21的距离也为10，故M的横坐标满足x＋1＝10，解得x＝9，MM所以点M到y轴的距离为9.(2)将x＝3代入抛物线方程y＝±6.∵6>2，∴A在抛物线y2＝2x，得内部，如图.12设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.y＝2x，得x＝2，7当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入22∴点P的坐标为答案(1)9(2)(2，2)【方法规律】与抛物线有问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用因此此类问题也有一定的难度.“看到准线关问题的重要途径.(2，2).关的最值上有较大的灵活性，想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有【举一反三】(1)过抛物线y＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若2|AF|＝6，BC→＝λFB→(λ＞0)，则λ的值为()34B.32C.3A.D.3(2)动圆过点1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(1，0)，且与直线x＝－解析(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，－x)，3则x1＋2＝6，解得x＝4，y1＝±42，点A(4，42)，y＝22(x－2)，2，得C(－2，－82)，y2＝8x，1则直线AB的方程为令x＝－联立方程组解得B(1，－22)，y＝22（x－2），所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.名师整理，助你成功(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y＝4x.2答案(1)D(2)y2＝4x(1)设抛物线x＝12y的焦点为【变式探究】F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知2点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.(2)设P是抛物线y＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．2答案(1)8(2)4解析(1)分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P，则|PQ|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝11|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为高频考点二抛物线的标准方程和几何性质4.xy21(a>0，b>0)的离心率为C的方程为2例2、(1)已知双曲线C：－＝2.若抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线21a2b2C1的渐近线的距离为2，则抛物线()2831633A.x2＝3yB.x2＝yC.x2＝8yD.x2＝16y(2)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为B.4C.6()A.2D.8名师整理，助你成功解析(1)∵－＝ax2y21(a＞0，b＞0)的离心率为2，2b2cc2a2＋b2b∴＝2，即＝＝4，∴＝3.aa2a2apx2y2bxx2＝2py(p＞0)的焦点坐标为0，，－＝1(＞0，＞ab0)的渐近线方程为＝y±，即＝±3x.y2ab22ap2由题意得＝2，解得p＝8.1＋（3）2故C2的方程为x＝16y.2(2)不妨设抛物线C：y＝2px(p>0)，圆的方程为x＋y＝r2(r>0)，222∵|AB|＝42，|DE|＝25，p2抛物线的准线方程为x＝－，4pp25，∴不妨设A，22，D－，4pp2∵点A，22，D－，5在圆x2＋y2＝r2上，16＋8＝r2，p∴216p2∴＋8＝＋5，解得p＝4(负值舍去)，p4p2＋5＝r2，4∴C的焦点答案(1)D(2)B【方法规律】(1)求抛物线标前提下，由于标(2)在解决与抛物线的问题时，要注意利用几何图形的问题更是如此.【变式探究】过抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离为4.准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.形象、直观的特点来解题，特别是涉方程的类型已经确定的准方程性质有关的及焦点、顶点、准线的F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．答案322解析名师整理，助你成功由题意设A(x，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，1|AF|＝x＋1＝3，1∴x1＝2，y1＝22.y＝4x，2设AB的方程为x－1＝ty，由消去x得y2－4ty－4＝0.x－1＝ty1∴yy12＝－4.∴y2＝－2，x＝，22∴S△AOB＝12×1×|y1－y2|＝.322【感悟提升】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意形的形象、直观的特点来解题，特别是涉更是如此．其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由利用几何图及焦点、顶点、准线的问题【举一反三】(1)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.答案22解析由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p＝22.(2)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：①yy12＝－p2，xx12＝p4；211②＋为定值；|AF||BF|③以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．p2证明①由已知得抛物线焦点坐标为(，0)．p2由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，名师整理，助你成功得y＝2p＋，即2y－2pmy－p2＝0.(*)2则y，y是方程(*)的两个实数根，所以yy＝－p.21212因为y＝2px，y＝2px2，所以yy＝4p2xx12，222211212y2y2p4p2所以xx＝12＝＝.4p4p412221|AF||BF|111②＋＝＋x＋x＋p2p212x1＋x2＋p＝p.24pxx＋x＋x＋21212因为xx＝，p42x＋x＝|AB|－p，代入上式，12121|AF||BF|pp1|AB|＝2(定值)．pp得＋＝22＋|AB|－p＋442③设AB的中点为M(x，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，0则|MN|＝12(|AC|＋|BD|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．高频考点三直线与抛物线的综合问题例3、在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.|OH|(1)求；|ON|名师整理，助你成功(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.t2tM(0，t)，P，，2p解(1)由已知得t2又N为M关于点P的对称点，故N，t，ppy＝x，t故ON的方程为2t2y＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x＝0，x＝，因此2H，2t.12pp2t2将其代入|OH|N为OH的中点，即＝|ON|所以2.(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：y－t＝px，直线MH的方程为2t2t(y－t).即x＝p代入y＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，2解得y＝y2＝2t，1即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.【举一反三】已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l：y＝－x的一个交点的横坐12标为8.(1)求抛物线C的方程；l与l垂直，且与抛物线交于不同的两点(2)不过原点的直线A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，21求△FAB的面积解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y＝8x.(2)直线l与l垂直，故可设直线.(8，－8)，2l：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l与x轴的交点为M.2122＝y8x，2得y2－8y－8m＝0，＝y＋m，由xΔ＝64＋32m>0，∴m>－2.yy2212＝2.y1＋y2＝8，yy12＝－8m，∴xx＝m6412由题意可知OA⊥OB，即xx12＋yy12＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l：x＝y＋8，M(8，0).21故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|2＝3（y1＋y2）2－4yy12＝245.名师整理，助你成功【方法规律】(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用代入”等解法(3)涉及弦的中点、【变式探究】是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(x2)到焦点(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直说明理由．可直接使用公式.“设而不求”“整体.斜率时，一般用“点差法”求解.C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线C于点Q.已知抛物线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，PF的距离为3，求此时m的值；R,角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请C：x＝m1y，∴它的焦点1F(0，)．4m解(1)∵抛物线214m4m113，得m＝.4(2)∵|RF|＝y＋，∴2＋＝Rymx＝，2(3)存在，联立方程2x－y＋2＝0，消去y得mx2－2x－2＝0，12依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－.2x＋x＝，12m设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)2212x1·x2＝－m2.x＋xmx2＋mx2，)，22∵P是线段AB的中点，∴P(1212111即P(，y)，∴Q(，)．mmmP得QA→＝(x1－1，mx－m1)，QB＝(x2－1，mx－m1)，→222m1m→→若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则QA·QB＝0，即(x1－m1)·(x2－m1)＋(mx－m1)(mx－m1)＝0，222146结合(*)化得简－－＋4＝0，m2m12即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，而2∈(－21，＋∞)，－∉(－，＋∞)．1212名师整理，助你成功∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．【感悟提升】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，入”等解法．要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用则必须用一般弦长公式．一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【举一反三】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．8解(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝.pp8所以|PQ|＝8p，|QF|＝p2＋x0＝＋.2pp858由题设得＋＝×，2p4p解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，yy12＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，|AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－m1y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋m4y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－m4，yy34＝－4(2m2＋3)．故MN的中点为E(m2＋2m2＋3，－m2)，2名师整理，助你成功|MN|＝1＋m12|y3－y4|＝m4＋12m＋122，m2由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，14|AB|＋|DE|2＝14从而2|MN|，2即4(m2＋1)2＋(2m＋2)＋(＋2)222mm24m＋12m2＋12＝2，m4化简得m－1＝0，解得m＝1或m＝－1.2所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.1.（2018年全国I卷）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．【答案】(1)y=或．(2)见解析.【解析】（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM的方程为y=或．（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x，y），N（x，y），则x>0，x>0．112212由得ky2–2y–4k=0，可知y+y=，yy=–4．1212直线BM，BN的斜率之和为．①将，及y+y，yy的表达式代入①式分子，可得1212名师整理，助你成功．所以k+k=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN．BMBN综上，∠ABM=∠ABN．2.（2018年全国卷Ⅱ）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【答案】见解析【解析】（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x，y），B（x，y）．1122由得．．，故所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x，y），则00解得或因此所求圆的方程为或．3.（2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．名师整理，助你成功（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．4.（2018年北京卷）已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.【答案】名师整理，助你成功【解析】由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得：，，由抛物线方程可得：焦点坐标为.，1．[2017·天津高考]设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．答案(x＋1)2＋(y－3)2＝1解析由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切－1，圆的半(如图)，可得点C的横坐标为径为1，∠CAO3，所以点C的纵坐标为3.＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.名师整理，助你成功x2y2]在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F2．[2017·山东高考ab22的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．2答案y＝±2x解析设A(x，y)，B(x，y)．1122x2y2－＝1，2a2b由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，x2＝2py，2pb2∴y＋y＝.a212又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，ppp∴y＋＋y＋＝4×，即y＋y＝p，22221122pb2b21b2∴＝p，即＝，∴＝，a2a2a222∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x.C:y4x的焦点II，文12】过抛物线23.【2017课标3F，且斜率为的直线交于点M（MCN在l上且MNl,则M到直线的NFx在轴上方），l为C的准线，点B.22C.23D.33距离为A.5【答案】C【解析】由题意得与抛物线方程联立解得，因此,所以M到直线NF的距离为,选C.k1.【2016高考新课标2文数】设F为抛物线C：y=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，2xPF⊥x轴，则k=（）123（A）（B）1（C）2（D）2【答案】Dy4x的焦点，所以F抛物线2F(1,0)，【解析】因为k又因为曲线ky(k0)与C交于点P，PFx轴，所以2，所以，选D.k2x1名师整理，助你成功y4x的焦点坐标是2.【2016高考四川文科】抛物线()2(A)(0，2)(B)(0，1)(C)(2，0)(D)(1，0)【答案】Dy4x的焦点坐标为，故选D.(1,0)【解析】由题意，23.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，y2px(p0)于点，关于点的对称点为，连结并延长交于点H.交抛物线C：2PMPNONCOH（I）求；ON（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.【答案】（I）2（II）没有【解析】t2（Ⅰ）由已知得M(0,t)，P(,t).2pt2pN(,t)，ON的方程为yx，代入y22px整理P的对称点，故又N为M关于点得ptx0，x2t，因此H(,2t).2t22px22t2x0，解得12pp|OH|即所以N为OH的中点，2.|ON|（Ⅱ）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：2t直线MH的方程为yt2ptx，即x(yt).代入y2px得y4ty4t20，解得22pyy2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除.H以外直线MH与C没有其它公共点12y2xl,l124.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C：2的焦点为F，平行于轴的x两条直线分别交CA,B两点，交的PQ两点，．C于准线于（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARPFQ；（II）若PQF的面积是的面积的ABF两倍，求中点的轨迹方程.AB名师整理，助你成功y2x1．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】由题设F(1,0).设lyalyb:,:ab0，且，则212ab1ab).A(,0),B(,b),P(1,a),Q(1,b),R(,22222222记过A,B两点的直线为，则的方程为ll2x(ab)yab0.1ab0.AB上，故F（Ⅰ）由于在线段记AR的斜率为，的斜率为，则kFQk21ab1a2aabaab1abbka22k1.所以AR∥FQ.lx（Ⅱ）设与轴的交点为D(x,0)，1ab1baFD1bax1,S则S△ABF.22221△PQF1ab1baxx0x11由题设可得，所以（舍去），.22211设满足条件的AB的中点为E(x,y).2y(x1).当ABxk可得abx1DEk与轴不垂直时，由ABabyyx1(x1).，所以2而2y2x1.所求轨迹方程为当ABxED与轴垂直时，与重合.所以，5.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.（I）求p的值；（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.名师整理，助你成功,02,p2；（II）I）【答案】（.【解析】（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=–1的距离，由抛物线的定义得p12，即p=2.抛物线的方程为y24x,F(1,0)，可设A(t,2t),t0,t1.2（Ⅱ）由（Ⅰ）得，y4x，2(s0)1消去x得y24sy40，xsy因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1，，由12B(,)，所以，.yy4t2t故12t212t又直线AB的斜率为t21，故直线FN的斜率为2t.yt21(x1)2t32,)y2t.所以N(t2t21t.从而得直线FN:，直线BN:22t2tt2mtt23t2t21，设M(m，0)，由A，M，N三点共线得m2t2t21.于是所以m＜0或m＞2.经检验，m＜0或m＞2满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是(,0)(2,).5.【2016高考上海文科】（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜名师整理，助你成功地分为两个区域11122S和S，其中S中的蔬菜运到河边较近，S中的蔬菜运到S和F点较近，而菜地内S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（（1）求菜地内的分界线（2）菜农从蔬菜运量估计出S面积是21，0），如图C的方程8S面积的两倍，由此得到S面积的“经验值”为。设M是1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形EOMGH的面EHM3121C上纵坐标为积，并判断哪一个更接近于S面积的经验值1y4x（）．（2）五边0y21）2【答案】（形面积更接近“经验值”．于S面积的1【解析】（1）因为所以、以F的距离相等，F为焦点C上的点到直线EH与到点C是以形EFGH内的EH为准线的抛物线在正方部分，其方程为20y2y4x（）．1,1（2）依题意，点M的坐标为．45矩形面积为，而11形面积为．所求的所求的五边24581矩形面积与“经验值”之差的绝对值为236，而五边形面积与“经验值”之差1181的绝对值为，所以五边形面积更接近“经验值”．于S面积的1431211，文5】已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线2交点，则AB1.【2015高考新课标C:y28x的焦点A,B是的重合，C准线与的两个E()名师整理，助你成功36912（A）（B）（C）（D）【答案】BC:y8x的焦点为（x2，∴椭圆【解析】∵抛物线22,0），准线方程为E的右焦点为（2,0），xy221(ab0)，c=2，E的焦点在x轴上，设方程为ab22∴椭圆c1x211612y2∵ea4，∴，∴ba2c212，∴椭圆E方程为，2a2x2代入椭圆将E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），∴|AB|=6，故选B.y2px(p0)的准线经过点3】已知抛物线2(1,1)，则抛物线焦点坐标为（）2.【2015高考陕西，文(1,0)A．(1,0)(0,1)(0,1)D．B．C．【答案】Bpy2px(p0)得准线x，因为准线经过点(1,1)，所以p2，【解析】由抛物线22(1,0)B所以抛物线焦点坐标为，故答案选y2px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则3.【2015高考上海，文7】抛物线2p.【答案】2pQ为坐标原点，所以，即.1p2【解析】依题意，点2E:y2px(p0)的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，4.【2015高考福建，文19】已知点F为抛物线2且AF3．（Ⅰ）求抛物线E的方程；G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，（Ⅱ）已知点必与直线GB相切．名师整理，助你成功【答案】（Ⅰ）y24x；（Ⅱ）详见解析．【解析】解法一：（I）由抛物线的定义得F2p．2p因为F3，即223，解得p2，所以抛物线的方程为y24x．（II）因为点2,m在抛物线:y24x上，所以m22，由抛物线的对称性，不妨设2,22．的方程为y22x1．F由2,22F1,0，可得直线y22x1，得2xx520，由2y24x解得x2或x1，从而,212．2又G1,0，22022，k2011223所以k，213GG2所以kk0，从而GFGF，这表明点到直线G，G的距离相等，FGG故以为圆心且与直线G相切的圆必与直线FG相切．名师整理，助你成功解法二：（I）同解法一．FGr（II）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．2,m因为点在抛物线:y4x上，2所以m22，由抛物线的对称性，不妨设2,22．．2,22F1,0y22x1F，可得直线的方程为由由y22x1x，得2x520，2y4x2x2或x1，从而,212解得．2G1,022x3y220，又，故直线的方程为G222242．17从而r89G22x3y220，又直线的方程为222242dr．17FG所以点到直线的距离89FGG这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．C：y1x5.【2015高考浙江，文19】（本题满分15分）O的直线PA，PB分别与抛物线A，B为切点.C和圆相切，1如图，已知抛物线，圆xC：22(1)1，y2241P(t,0)(t>0)C过点作不过原点2（1）求点A，B的坐标；PAB（2）求的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.名师整理，助你成功2t2t2)；(2)t3【答案】(1)A(2t,t2),B(,1t21t22【解析】(1)由题意可知，直线的方程为yk(xt).的斜率存在，故可设直线yk(xt)消去y，整理得：x24kxkt40.所以y14x2因为直线与抛物线相切，所以16k216kt0，解得kt.所以x2t，即点A(2t,t2).设圆C的圆心为D(0,1)，点的坐标为(x,y)D对称，故有点，关于直线B，由题意知，020yx10022t，xty0002t2t2.即点B(2t2t2x0,y0,).解得1t21t21t1t22(2)由(1)知，APt1t2，直线的方程为txyt0，2t2所以点到直线的距离为d.1t2PAB的面积为S1APdt3所以2.2名师整理，助你成功yyy＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等1221xx121.已知抛物线于(A.－4B.4①若焦点弦AB⊥x轴，则)C.p2D.－p2px＝x＝，则xx＝；241212p2解析②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k(x－p2)，y＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝p0，24k22联立则xx＝p42.又y＝2px1，y22＝2px2，2112∴yy1222＝4p2xx12＝p4，又∵yy12＜0，∴yy12＝－p.2yy故＝－4.12xx12答案A2.点M(5，3)到抛物线y＝ax(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()2A.y＝12x2B.y＝12x2或y＝－36x2D.y＝x2或y＝－1x112C.y＝－36x2236y＝x2，y＝－361x2.112解析分两类a>0，a<0可得答案D3.过抛物线y＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x＋x＝6，则|PQ|＝()2112A.9B.8C.7D.6解析抛物线y＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋2x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.答案B→4.已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若FP＝24FQ→，则|QF|等于()72B.52A.C.3D.2解析∵FP→＝4FQ→，名师整理，助你成功|PQ|3|PF|4→→∴|FP|＝4|FQ|，∴＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，QQ|PQ||′|3则|AF|＝4，∴＝＝，|PF||AF|4∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.答案C5.已知抛物线y＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小222112值为()A.12B.24C.16D.32解析当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，＝x4，由得y＝－4，y＝4，∴y＋y＝32.222＝4x，121y2当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，＝y4x，2416得ky2－4y－16k＝0，∴y＋y＝，yy＝－16，∴32y＋y＝(y1＋y2)2－2yy12＝＋k22k1212122由y＝k（x－4），＞32，综上