2022-2023学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，共=sectionpages2323页2022-2023学年湖北省武汉市江汉区九年级（上）期中数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）一元二次方程2x2+1=3x的二次项系数是2，则一次项系数是A.3 B.-3 C.1 D.-1下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.抛物线y=(x-1)2+3的对称轴是A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3如图，已知AB为⊙O的直径，点C，D在AB下方的圆弧上，点E在AB上方的圆弧上，则∠C+∠D等于(

)A.45°

B.90°

C.120°

D.180°判断方程x2-5x+10=0的根的情况是(

)A.有一个实根 B.有两个相等实根 C.有两个不等实根 D.没有实根抛物线y=3(x-1)2-3通过下列平移，得到抛物线y=3xA.先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度

B.先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度

C.先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度

D.先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度如图，在△ABC中，AB=AC，若D是BC边上任意一点，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△ACE，点D的对应点为点E，连接DE，则下列结论一定正确的是(

)A.AB=AE B.AB//EC

C.∠ADE=∠ACE D.DE⊥AC某区今年7月份工业生产值达120亿元，7月、8月、9月三个月总产值为450亿元，求8月、9月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程为(

)A.120(1+x)2=450

B.120+120(1+x)2=450如图，△ABC的顶点均在⊙O上，且AB=AC，∠BAC=120°，D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF//AB.若⊙O的半径为4，则弦EF的长是(

)A.35 B.213 C.215若抛物线y=x2+x+m(m为常数)与直线y=-2x有两个交点A(x1,y1)，A.m<54 B.m>54 C.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18分）已知x2-8x+16=(x-m)2，则m的值是抛物线y=-2x2-8x+1最高点的坐标是______已知关于x的方程x2-3x-5=0的两实数根为a，b，则a2+如图，以AB为直径的半圆O经过点C，点D在直径AB上．若BC=BD，CD=OA，则∠A的度数是______．已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)图象经过P1(-1,y1)，P2(1,y2)，P3(4,y3)，如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=10.将△ABC绕某点逆时针旋转90°，得到△BDE，AC与BE相交于点F.若C是BD的中点，则DF的长是______．三、计算题（本大题共1小题，共8分）解方程：x2-3x-1=0．四、解答题（本大题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题分)

将抛物线y=ax2+x+c上A，B，C点ABCD横坐标x012n纵坐标y-21m-2(1)求a，c的值；

(2)直接写出m，n的值．(本小题分)

如图，要设计一个梯形的花坛，花坛上底长12米，下底长16米，上下底相距8米，在梯形的中位线(两腰中点的连线，图中虚线所示)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．

(1)我们知道，梯形的面积等于梯形中位线的长与梯形高的积，请用含x的式子表示横向甬道的面积，直接写出结果；

(2)当甬道的总面积是梯形面积的四分之一时，求甬道的宽．(本小题分)

如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB=AC，F是AC上一点，BF⊥AC于E．

(1)若∠BCF=3∠F，求∠A的度数；

(2)求证：BE=EF+CF．(本小题分)

如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)在图(1)中画BC的中点D；

(2)在图(1)中的⊙O上画一点E，连接BE，使∠ABE=45°；

(3)如图(2)，延长BA至格点F处，连接CF．

①直接写出∠F的度数；

②P为CF上一点，连接BP，将PB绕点B顺时针旋转90°得到QB，画出线段QB．(本小题分)

某公司计划购进一批原料加工为成品销售，加工费m(单位：万元)、销售价y(单位：万元/t)与原料的质量x(单位：t)之间都满足一次函数关系．收集相关数据如下表：原料的质量x/t1215182730加工费m/万元42.44343.645.446销售价y/(万元/t)1615141110(1)直接写出m与x之间、y与x之间的函数关系式；

(2)已知在加工过程中原料质量有40%的损耗率，该原料的进价为2.2万元/t.设销售总额为P(单位：万元)．

①直接写出P与x之间的函数关系式；(友情提示：销售总额=成品的质量×销售价)

②问原料质量为多少吨时，获销售利润70.2万元？

③问原料质量为多少吨时，获最大销售利润，最大销售利润是多少万元？(本小题分)

问题提出

如图(1)，已知△ABC，∠ABC=90°，将边AB绕点A顺时针旋转α°至AD处，连接CD，O为CD的中点，E为边BC中垂线上一点，EO⊥AO，探究∠BEC的值．

问题探究

(1)先将问题特殊化．

①如图(2)，当α=180时，不存在确定的E点，请说明理由；

②如图(3)，当D在CA的延长线上时，连接DE，发现∠BEC=180°-α°，请证明这个结论；

(2)再探究一般情形．如图(1)，当90<α<180时，证明(1)②中的结论仍然成立．

问题拓展

(3)当0<α≤360时，若AO=OE，请直接写出α的值．

(本小题分)

如图(1)，已知抛物线C1：y=-x2+3x+4与x轴交于A，B两点(A在B的右侧)，交y轴于点C．

(1)直接写出AC的中点D的坐标；

(2)直线y=kx+b(k,b为常数)过AC的中点，与抛物线C1：y=-x2+3x+4交于E，F(E在F的右侧)，若点E，A的水平距离与点F，B的水平距离相等，求k的值；

(3)如图(2)，将抛物线C1向右平移得到过原点的抛物线C2，抛物线C2的对称轴为直线l，直线y=mx+n(m,n为常数，且m≠0)与抛物线C2有唯一公共点P，且与直线l交于点M，点M关于x轴的对称点为N答案和解析1.【答案】B

解：2x2+1=3x，

2x2-3x+1=0，

所以一次项系数是-3，

故选：B．

先把方程化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．

本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax22.【答案】A

解：A.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A．

根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．

3.【答案】A

解：∵y=(x-1)2+3，

∴抛物线对称轴为直线x=1．

故选：A．

由二次函数解析式求解．4.【答案】B

解：连接OE，如图，∵∠C=12∠AOE，∠D=12∠BOE，

而∠AOE+∠BOE=180°，

∴∠C+∠D=12(∠AOE+∠BOE)=90°．

故选：B．

连接OE，如图，先根据圆周角定理得到∠C=125.【答案】D

解：∵a=1，b=-5，c=10，

∴Δ=(-5)2-4×1×10=25-40=-15<0，

则方程x2-5x+10=0无实数根，

故选：D．

找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=6.【答案】C

解：y=3(x-1)2-3，该抛物线的顶点坐标是(1,-3)，抛物线y=3x2的顶点坐标是(0,0)，

则平移的方法可以是：将抛物线y=3(x-1)2-3先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y=3x2．

故选：C7.【答案】C

解：A、∵AB=AC，

∴AB>AD，

由旋转的性质可知，AD=AE，

∴AB>AE，故本选项结论错误，不符合题意；

B、当△ABC为等边三角形时，AB//EC，除此之外，AB与EC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；

C、由旋转的性质可知，∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ACE，

∵AD=AE，AB=AC，

∴∠ABC=∠ADE，

∴∠ADE=∠ACE，本选项结论正确，符合题意；

D、只有当点D为BC的中点时，∠BAD=∠CAD=∠CAE，才有DE⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；

故选：C．

根据旋转变换的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质判断即可．

本题考查的是旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键．

8.【答案】D

解：设平均每月增长的百分率为x，

那么八、九月份月的工业产值分别为120(1+x)，120(1+x)2，

∴120+120(1+x)+120(1+x)2=450．

故选：D．

用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设平均每月增长的百分率为x，根据题意可用x分别表示8、9月份月产值，然后根据已知条件列出方程．

考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，增长率问题，一般形式为a(1+x)9.【答案】B

解：连接OA、OB、OF，作OH⊥EF于点H，则∠OHD=∠OHF=90°，

∵AB=AC，

∴AB=AC，

∴OA垂直平分BC，

∵D为弦BC的中点，

∴BD=CD，OA经过点D，

∵∠BAC=120°，

∴∠OAB=∠OBA=12∠BAC=60°，

∵OA=OB=4，

∴△AOB是等边三角形，

∵OA⊥BC于点D，

∴OD=AD=12OA=2，

∵EF//AB，

∴∠ODH=∠OAB=60°，

∴∠DOH=30°，

∴DH=12OD=1，

∴OH=OD2-DH2=22-12=3，

∵OF=4，

∴EH=FH=OF2-OH2=42-(3)2=13，

∴EF=213，

故选：B．

连接10.【答案】A

解：∵抛物线y=x2+x+m(m为常数)与直线y=-2x有两个交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∴x1，x2是方程x2+3x+m=0的两个根，

∴x1+x2=-3，x1x2=m，

∵(2x1+1)(2x2+1)<0，

∴4x1x2+2(x1+x2)+1<011.【答案】4

解：∵x2-8x+16=(x-4)2，

x2-8x+16=(x-m)2，

∴m=4．12.【答案】(-2,9)

解：∵y=-2x2-8x+1=-2(x+2)2+9，

∴抛物线开口向下，顶点坐标为(-2,9)，

∴抛物线最高点坐标为(-2,9)．

故答案为：(-2,9)13.【答案】19

解：∵关于x的方程x2-3x-5=0的两实数根为a，b，

∴a+b=3，ab=-5，

∴a2+b2

=(a+b)2-2ab

=9+10

=19．

故答案为：1914.【答案】54°

解：连接CO，如图所示，

设∠A的度数为x，则∠COB=2x，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠B=90°-x，

∵BC=BD，

∴∠CDB=∠DCB=12(180°-∠B)，

即∠CDB=45°+12x，

∵CD=OA，

∴CD=OA=OC，

∴∠COD=∠CDB=45°+12x，

∵∠COD+∠COB=180°，

∴45°+12x+2x=180°，解得x=54°，

故答案为：54°．

连接CO，设∠A的度数为x度，利用圆周角定理及推论可得∠COB=2x，∠B=90-x，在等腰△CDB中，把∠CDB用含x的代数式表示出来，再根据15.【答案】①②③④

解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)图象经过P1(-1,y1)，P2(1,y2)，P3(4,y3)，P4(5,y4)四点，若0<y4<y1<y3，

∴抛物线开口向下，对称轴在32和2之间，

∴a<0，故①正确，

∵P1(-1,y1)，P3(4,y3)，P416.【答案】210解：以B为原点，BD所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：

∵将△ABC绕某点逆时针旋转90°，得到△BDE，

∴BD=AB=10，BC=DE，∠BDE=∠ABC=90°，

∵C为BD中点，

∴BC=CD=DE=5，

∴A(0,10)，C(5,0)，E(10,5)，D(10,0)，

由A(0,10)，C(5,0)得直线AC解析式为y=-2x+10，

由E(10,5)得直线BE解析式为y=12x，

解y=-2x+10y=12x得x=4y=2，

∴F(4,2)，

∵D(10,0)，

∴DF=(10-4)2+(2-0)2=210，

故答案为：210．

以B为原点，BD所在直线为x轴，建立直角坐标系，根据将△ABC绕某点逆时针旋转90°，得到△BDE，C为BD中点，可得A(0,10)，C(5,0)，E(10,5)，D(10,0)，即可求得直线AC解析式为17.【答案】解：∵a=1，b=-3，c=-1，

∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=13，【解析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．

此题考查了学生的计算能力，解题的关键是准确应用公式．

18.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+x+c过点(0,-2)，(1,1)，

∴c=-2a+1+c=1，

解得a=2，c=-2；

(2)把x=2代入y=2x2+x-2得，y=8，

把y=-2代入y=2x2+x-2得，-2=2x2【解析】(1)利用待定系数法即可求解；

(2)把x=2，y=-2分别代入(1)求得的解析式，即可求得定义的函数值和自变量x的值，从而求得m、n的值．

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，求得二次函数的解析式是解题的关键．

19.【答案】解：(1)横向甬道的面积为：(12+16)÷2×x=14x(m2)；

(2)依题意：2×8×x+14x-2x2=14×(12+16)÷2×8，

解得x1【解析】(1)甬道的形状是梯形，所以根据梯形面积公式即可求解；

(2)用含x的代数式表示出三条甬道的总面积，然后求出梯形的总面积，根据三条通道的面积是梯形面积的四分之一列方程求解，在求解过程中要注意三条甬道有重合部分．

本题考查了梯形中位线定理，一元二次方程的应用，得到甬道的总面积是解决本题的易错点．注意两个梯形的中位线是同一条．

20.【答案】(1)解：∵BF⊥AC，

∴∠AEB=90°，

∴∠ABF=90°-∠A，

∵∠ABF=∠ACF，∠F=∠A，

∴∠ACF=90°-∠A，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=180°-∠A2，

∴∠BCF=180°-∠A2+90°-∠A，

∵∠BCF=3∠F=3∠A，

∴180°-∠A2+90°-∠A=3∠A，

解得∠A=40°；

(2)证明：在线段BE上截取BM=CF，连接AM，AF，如图所示：

在△ABM和△ACF中，

AB=AC∠ABM=∠ACFBM=CF，

∴△ABM≌△ACF(SAS)，

∴AM=AF，

∵BF⊥AC于点【解析】(1)根据BF⊥AC和圆周角定理，可得∠ACF=90°-∠A，根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=180°-∠A2，再根据∠BCF=3∠F=3∠A，可得180°-∠A2+90°-∠A=3∠A，进一步求解即可；

(2)在线段BE上截取BM=CF，连接AM，AF，可证△ABM≌△ACF(SAS)，进一步可得AM=AF，根据等腰三角形的性质可得EM=EF21.【答案】解：(1)如图1中，点D即为所求；

(2)如图1中，点E即为所求；

(3)①∵△BCF是等腰直角三角形，

∴∠F=45°；

②如图2中，线段BQ即为所求．

【解析】(1)取BC的中点T，连接OT，延长OT交⊙O于点D，点D即为所求；

(2)作出AC的中点E，连接BE即可；

(3)①利用等腰直角三角形的性质判断即可；

②取格点T，连接CT，延长BP交⊙O于点K，作直径KJ，连接BJ，延长BJ交CT点Q，线段BQ即为所求．

本题考查作图-旋转变换，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

22.【答案】解：(1)设m=kx+b，y=px+q，

则12k+b=42.415k+b=43，12p+q=1615p+q=15，

解得k=0.2b=40，p=-13q=20，

∴m=0.2x+40，

y=-13x+20；

(2)①根据题意，得P=(1-40%)x⋅y=60%x(-13x+20)，

即P=-0.2x2+12x；

②根据题意，得-0.2x2+12x-2.2x-(0.2x+40)=70.2，

解得x=29或19，

答：原料质量为29或19吨时，获销售利润70.2万元；

③设销售利润为W万元，根据题意，【解析】(1)利用待定系数法求函数关系式；

(2)①根据销售总额=成品的质量×销售价，成品质量=(1-40%)×原料质量，列出函数解析式便可；

②根据销售总额-原料进价总额-原料加工总额=销售利润列出方程解答；

③设销售利润为W万元，根据总利润=销售总额-原料进价总额-原料加工总额，列出W关于x的函数解析式，再根据函数性质求出结果便可．

本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，理解题目中销售量，销售价，销售利润之间的数量关系及二次函数的性质是解题关键．

23.【答案】(1)①证明：∵AO是BC的垂直平分线，

∴AO=12BC，

∵E为边BC中垂线上一点，

∴EO⊥BC，EO=12BC，

∴过点O的AO的垂线与BC的垂直平分线重合，

∴不存在确定的E点；

②证明：∵OE垂直平分CD，

∴DE=CE，

∴∠D=∠ECD，

∵E为边BC中垂线上一点，

∴BE=CE，

∴DE=BE，

∵AD=AB，

∴△ADE≌△ABE(SSS)，

∴∠D=∠ABE，

∴∠ABE=∠ECA，

∴∠BAC=∠BEC，

∵∠DAB+∠BAC=180°，

∴∠BEC=180°-α°；

(2)证明：延长AO至F，使得OF=AO，连接EF、CF并延长交AB于点G，连接AE，

∵OD=OC，∠AOD=∠FOC，

∴△AOD≌△FOC(SAS)，

∴FC=AD=AB，

∵OE⊥AF，AO=FO，

∴AE=EF，

∵BE=CE，

∴△ABE≌△CFE(SAS)，

∴∠ABE=∠FCE，

∴∠BGC=∠BEC，

∵△AOD≌△FOC，

∴∠D=∠DCF，

∴AD//GC，

∴∠AGC=∠DAB=α°，

∵∠AGC+∠BGC=180°，

∴∠BEC=180°-α°；

(3)延长AO至F，使得OF=AO，连接EF、CF并延长交AB于点G，连接AE，

∵AO⊥OE，AO=OE，

∴∠EAO=∠OEA=45°，∠AOE=90°，

∴△AOE≌△FOE(SAS)，

∴∠OEF=45°，

∴AE⊥EF，

由(2)可得△ABE≌△CFE(SAS)，

∴∠AEB=∠CEF，

∴∠BEC=∠AEF=90°，

∴∠BEC=180°-α°=90°，

∴α=90；

当180<α<360时，延长AO至F，使得OF=AO，连接EF、CF，同理可得∠B