2018高考数学(理)(人教)大一轮复习讲义第十章计数原理102

2018高考数学(理)(人教)大一轮复习讲义第十章计数原理102第一页，共63页。§10.2

排列与组合第二页，共63页。基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引第三页，共63页。基础知识自主学习第四页，共63页。1.排列与组合的概念知识梳理名称定义排列

从n个不同元素中取出(m≤n)个元素

按照

排成一列组合合成一组一定的顺序第五页，共63页。2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_________

的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用

表示.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________

的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用

表示.所有不同排列组合所有不同第六页，共63页。3.排列数、组合数的公式及性质公式性质(1)0！＝

；

＝_____

n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！第七页，共63页。判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(

)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(

)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(

)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(

)(5)(

)(6)

(

)思考辨析××√√√√第八页，共63页。

考点自测1.(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数A.24 B.48 C.60

D.72答案解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有

种情况，再将剩下的4个数字排列得到

种情况，则满足条件的五位数有

＝72(个).故选D.第九页，共63页。

2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A.144 B.120 C.72 D.24答案解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为

＝4×3×2＝24.第十页，共63页。

3.(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为A.8 B.24 C.48 D.120答案解析末位数字排法有

种，其他位置排法有

种，共有

＝48(种).第十一页，共63页。4.某高三毕业班有40人，同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)答案解析1560依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了

＝40×39＝1560(条)留言.第十二页，共63页。5.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有_____种.解析答案14第十三页，共63页。题型分类深度剖析第十四页，共63页。题型一排列问题例1

(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法.(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种.2520当最左端排甲时，不同的排法共有

种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有

种.故不同的排法共有

＝120＋96＝216(种).216答案解析答案解析第十五页，共63页。引申探究1.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有

＝5040(种)排法.

解答第十六页，共63页。2.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？

解答相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有

种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有

种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有

种排法.根据分步乘法计数原理，共有

＝288(种)排法.第十七页，共63页。3.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？

解答不相邻问题(插空法)：先安排女生共有

种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有

种排法，故共有

＝1440(种)排法.第十八页，共63页。4.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？

解答先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有

＝5(种)排法；再安排其他人，有

＝720(种)排法.所以共有

＝3600(种)排法.第十九页，共63页。排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.思维升华第二十页，共63页。跟踪训练1由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数.求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？解答第二十一页，共63页。(2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？解答第二十二页，共63页。

题型二组合问题例2

(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是A.60 B.63

C.65 D.66解析答案因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有

＝66(种)不同的取法.第二十三页，共63页。(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有________种不同选法.答案解析36只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有

＝36(种)不同的选法.第二十四页，共63页。引申探究1.本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？

解答由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有

＝126(种)不同的选法.第二十五页，共63页。2.本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解答第二十六页，共63页。3.本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解答第二十七页，共63页。组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.思维升华第二十八页，共63页。跟踪训练2

某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？解答∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？从34种可选商品中，选取3种，∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.解答第二十九页，共63页。(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？解答从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有

＝2100(种).∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？解答第三十页，共63页。(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解答第三十一页，共63页。

题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻问题例3

(2017·济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为A.3×3! B.3×(3！)3

C.(3！)4

D.9!答案解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法.第三十二页，共63页。命题点2相间问题例4某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________.答案解析120第三十三页，共63页。先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有

＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有

＝48(种)安排方法.由分类加法计数原理知共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.第三十四页，共63页。命题点3特殊元素(位置)问题例5

(2016·郑州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有______个.答案解析51第三十五页，共63页。由分类加法计数原理，知这样的三位数共有51个.第三十六页，共63页。排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法.在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列.(2)相间问题插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用.(3)特殊元素(位置)优先安排法.优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置.(4)多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数.思维升华第三十七页，共63页。

跟踪训练3

(1)(2016·山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为答案解析A.150 B.180

C.200 D.280分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有

＝90(种)分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有

＝60(种)分派方法，所以不同分派方法种数为90＋60＝150，故选A.第三十八页，共63页。

(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有A.150种 B.114种

C.100种 D.72种答案解析先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有

＝25(种)分组方法.因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种).第三十九页，共63页。典例有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种.

排列、组合问题现场纠错系列14错解展示现场纠错纠错心得(1)解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件.(2)解题时要细心、周全，做到不重不漏.第四十页，共63页。解析

先从一等品中取1个，有

种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C种不同取法，共有

＝2736(种)不同取法.答案2736

返回第四十一页，共63页。解析

方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理，知有CC＋CC＋C＝1136(种).方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C－C＝1136(种).答案1136返回第四十二页，共63页。课时作业第四十三页，共63页。1.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为A.48 B.36 C.24 D.12答案解析√1234567891011121314第四十四页，共63页。2.(2016·黄山月考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为A.16 B.18 C.24 D.32√答案解析将四个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在三个车位上任意排列，有

＝6(种)排法，再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法.1234567891011121314第四十五页，共63页。3.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有A.34种 B.48种

C.96种 D.144种√答案解析程序A有

＝2(种)结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的3个元素排列有

＝48(种)，由分步乘法计数原理，知实验编排共有2×48＝96(种)方法.1234567891011121314第四十六页，共63页。4.将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有A.12种 B.20种

C.40种 D.60种√答案解析由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，1234567891011121314第四十七页，共63页。5.(2016·长沙模拟)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为√答案解析1234567891011121314第四十八页，共63页。1234567891011121314第四十九页，共63页。6.(2017·汉中质检)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有A.24对 B.30对

C.48对

D.60对√答案解析正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有

＝66(对)，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角.相对两面上的4条对角线组成的

＝6(对)组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有3＝18(对).所以成60°角的有

＝66－18＝48(对).1234567891011121314第五十页，共63页。7.(2016·北京西城区期末)现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有______种.(用数字作答)答案解析54第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有

＝18(种)；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有

＝36(种).根据分类加法计数原理可得，共有36＋18＝54(种).1234567891011121314第五十一页，共63页。8.(2017·福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种.(用数字作答)答案解析601234567891011121314第五十二页，共63页。9.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有______种.答案解析361234567891011121314第五十三页，共63页。10.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有______种.答案解析11把g、o、o、d4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有

种排法；第二步：排两个o.共一种排法，所以总的排法种数为

＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有

－1＝12－1＝11(种).1234567891011121314第五十四页，共63页。11.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种.(用数字作答)480答案解析若C排在第4,5,6位时，其排法数与排在第3,2,1位相同，故共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法.1234567891011121314第五十五页，共63页。

解答12.(2017·青岛月考)2016年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“999