山西省重点中学2022年高三第三次测评数学试卷含解析

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知六棱锥PABCDEF各顶点都在O同一个球（记为球）的球面上，且底面ABCDEF为正六边形，顶点在P底面上的射影是正六边形ABCDEF的中心G，若PA，，则球O的表面积为（）AB269C．6D．9A．B．341,x22．设函数f(x)，若函数g(x)f2(x)bf(x)c有三个零点x,x,x，则3logx21,x2,a112axxxxxx（）122313A．12B．11C．6D．353．已知alog74blogmc2m，则正数可以为（），，，若abc32A．44．已知复数A．-1B．23C．8D．17为纯虚数(为虚数单位B．1C．0如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂纸抽、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（）)，则实数（）D．25．某工厂只生产口罩、纸抽和棉签，A．2019年该工厂的棉签产量最少B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C．三年累计下来产量最多的是口罩D．口罩的产量逐年增加1f(x)f(1)，则实数的取，且，使得a20f(x)6．已知函数ax3x2(a0)．若存在实数x(1,0)0x02值范围为（）2218C．(,6)718(,4)(4,6)7A．(,5)B．(,3)(3,5)D．33sin(130)=P(sin470,cos470)，则7．已知角的终边经过点1A．2133B．C．D．2228．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国知下列叙述错误的是（）家财政性教育经占比数据，并将其绘制成下表，由下表可费投入情况及其在GDP中的A．随着文化B．2012年以来，国C．从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿D．从2010年到2018年，国支出增长最多的年份是2012年9．阅读如图的程序框图，若判断框内可填写的条件是（）输出的值为25，那么在程序框图中的教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长家财政性教育经费的支出占GDP比例持续7年保持在4%以上家财政性教育经费的A．i5B．i8i10C．i12D．10．x12x13x1nx1nN的展开式中的一次项系数为（）x*1A．C3nC．CD．C3n2，则数列的通项公式为（）B．C．D．ab，则实数的值为（）m112．已知向量a1,b,mab，若21A．2133B．C．D．222二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，组.3个不同角色.已知这13名学现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，种数为________.新加入的学生可以扮演的角色的14．如图，在正四棱柱ABCDABCDCP2PC.设三棱锥PDDBV的体积为，1中，P是侧棱CC上一点，且1111111正四棱柱ABCDABCDV，1V的体积为则的值为V________.11112xy0x2y015．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为．______x2MFNFC:y4x的焦点为lC于两点，M,N16．已知抛物线F，过点F且斜率为1的直线交抛物线b，22ab若线段MN的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则的值为xa_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知b3a23c2.a，b，分别为ABC内角A，，cC的对边，且B2（1）证明：b3ccosA；6（2）若ABC的面积S2，，求角.Cba2a2aa2a18．（12分）已知等比数列中，，是和的等差中项．4n13(1)求数列a的通项公式；n(2)记balogan，求数列的前项和T.nbnn2nn19．（12分）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕边底BC上的高所在直线O的半径为10cm，设AO旋转180°而成，如图2.已知圆BAO，圆锥的侧面积为.Scm2,02（1）求S关于的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.112分）已知函数f(x)ax2(a1)xlnx(aR,a0)220．（（1）求函数f(x)的单调递增区间C（2）记函数yF(x)的图象为曲线，设点A(x,y),B(x,y)CC是曲线上不同两点，如果在曲线上存在点2112xx，使得a2“中值和谐切线”，当M(x,y)0x0①；②曲线MC在点处的切线平行于直线，AB则称函数存在1202时，函数f(x)是否存在“中值和谐切线”请说明理由a,b,cR*，abc1，求证：21．（12分）已知（1）abc3；1113.3a13b13c12（2）22．（10分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过够顺利，这为正式普某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户记登，由于种种情况可能会导致登记不查提供了宝贵的试点经验，在普查对象类别企事业单位个体经营户合计顺利不顺利10合计50401001405015020060（1）写出选择5个国家综合试点（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户记登是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户记登顺利的对象数记为X，写出X的分布列，并求X的期望值．地区采用的抽样方法；n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)附：k2PKk0.100.0106.6350.00120k2.70610.8280参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】3由题意，得出六棱锥PABCDEF为正六棱锥，求得PGPA2AG22，再结合球的性质，求得球的半径R，2利用表面积公式，即可求解.【详解】G由题意，六棱锥PABCDEF底面ABCDEF为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形ABCDEF的中心，P可得此六棱锥为正六棱锥，又由AB2，所以AG2，在直角PAG中，因为PA6，所以设外接球的半径为R，PGPA2AG22，3在AOG中，可得AO2AG2OG2，即R2(2R)2(2)2，解得，R2所以外接球的表面积为S4R9.2故选:D.本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用【解析】1,x2logx21,x2,a1的图象如图所示，作出函数f(x)a令f(x)t，由图可得关于的方程f(x)t的解有两个或三个（t1时有三个，xt1时有两个），所以关于t的方程t2btc0只能有一个根t1（若有两个根，则关于的方程xf2(x)bf(x)c0有四个或五个根），由f(x)1，可得x,x,x的值分别为1,2,3，123则xxxxxx12231311122313【解析】满足abc，∴实数可以为m3334．B，根据纯虚数概念计算得到答案.为纯虚数，故且故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.5．C【解析】根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的比重最大可判断C选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的得出结正误.综合可论.【详解】由于该工厂2017年至2019年的A、B、D选项错误；由堆积图可知，多的是口罩，C选项正确.产量未知，所以，口罩产量的变化无法从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及比较，故从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最故选：C.【点睛】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.2，令x．a222,00,0aafx+0_0+fx极小值极大值1，使得若存在x1,11,0fxf，2220021a221a312则（如图1）或（如图2）．a2a1f1f2（图1）（图2）18a,44,6，于是可得7故选：D.【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.7．A【解析】由题意可得三角函数的定义可知：cos47sin47sinsin247cos247cos47，cossin247cos247sin47，则：sin13sincos13cossin13cos47cos13sin47sin13cos4713cos601.2本题选择选项.A8．C【解析】观察图表，判断四个选项是否正确．【详解】1.4670A、、D项均正确，2010年中国GDP为B3.55%3.69904.11%41万亿元，2018年中国GDP为90万亿元，由表易知则从2010年至2018年，中国GDP的总值大约增加49万亿，故C项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．9．C【解析】根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i的值，进而得判断框内容.【详解】S0,i1根据循环程序框图可知，S4,i5，S9,i7，S16,i9，S25,i11，S，因而i11符合条件框内容，结合选项可知i9不符合条件框的内容，但C为正确选项，本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.xn根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论．C．2本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．11．D【解析】试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是故选D．考点：数列的通项公式．12．D【解析】abab022ab0，将已知条件代入后即可由两向量垂直可得，整理后可知求出实数的值.m【详解】abababab022，即ab0，解：，1233.m2代入，得出，所以a1将和2mbm2242故选:D.【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．9【解析】对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下14个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.【详解】依题意，14名学生分成5组，则一定是团长、旅长各这14个人分组1名；营长、11名；2名司令.所以新加入的学生可以是也可以是司令；这14个人分组1名；旅长、3名士兵；连长、名；3名司令；2名排长.所以新加入的学生可以是也可以是军长；这14个人分组2名士兵；士兵、1名；3名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知3名士兵；排长、营长，则可以将这14个人分组1名；营长、1名；2名司令.所以新加入的学生可以是也可以是旅长；3名士兵；排长、这14个人分组1名；旅长、名；3名司令；2名团长.所以新加入的学生可以是团长.综上所9种角色4个3人组和1个2人组.①若新加入的学生是士兵，则可以将如下；3名士兵；士兵、排长、连长各名；师长、军长、司令各士兵，由对称性可知②若新加入的学生是排长，则可以将如下：营长、团长各师长、军长各1排长，由对称性可知③若新加入的学生是连长，则可以将如下：排长、连长各1名；连长、1营长、团长各名；旅长、师长、军长各也可以是师长；④若新加入的学生是如下：连长、营长各团长、旅长各1名；师长、军长、司令各营长，由对称性可知⑤若新加入的学生是团长，则可以将如下：连长、营长各师长、军长各1述，新加入学生可以扮演.故答案为：9.【点睛】本题考查分类计数原理的应用，解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，属于中等题.114．6【解析】设正四棱柱ABCDABCD的底面边长ABBCaAAb，再根据柱体、锥体的体积公式计算可得.1，高11111111则ABCD11VPDDBV1S3BC11aba1ab2DDP326BDDP111VPDDB16V11即V61VABCDABCD11111故答案为：6【点睛】本题考查柱体、锥体的体积计算，属于基础题.25415．【解析】先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.【详解】由题意作出区域，如图中阴影部分所示，213435易知tanMON2sinMONMN3，又，故，设的外接圆的由正弦定理OMN半径为R，则1212所求外接圆的面积为MN得sinMON5525.422R，即，故R22【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.16．1【解析】Mx,y,Nx,yxx设，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得，由抛物线定义得焦点弦长，求112212得b，再写出MN的垂直平分线方程，得a，从而可得结论．【详解】C:y4x的焦点坐标为，直线的方程为，1,0l抛物线2yx1yx1据得x6x10.设Mx,y,Nx,y，2y4x22112MFNF1则xx6,yy4,bx1x14.12212122线段MN垂直平分线方程为y21x3x5a5，令，则，所以，y0ab1.所以故答案为：1．【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1）见解析；（2）4517．（【解析】b3ccosA（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得1）的结论，得到tanA2tanC，利用三角形的面积公式列方程，由此求得，进而tanA（2）利用正弦定理化简（求得tanC的值，从而求得角C.【详解】（1）由已知得c2a1b2，3212bccosAbcabb2b2，∴b3ccosA.2由余弦定理得2222331）及正弦定理得sinB3sinCcosA，即sinAC3sinCcosA，（2）由（∴sinAcosCcosAsinC3sinCcosA，∴sinAcosC2sinCcosA，∴tanA2tanC.S21bcsinA1bbsinA1b2tanA，223cosA6tanC1∴tanA2，，C45.【点睛】本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.1）a2n（2）T2n1218．（n1nn【解析】（1）用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（2）把（【详解】1）中求得的结果代入＝•log，求出，利用错位相减法求出．baabT2nnnnnq(1)设数列a的公比为，n2a2aa由题意知：，324∴q32q2q20，即q2q10.2∴q2，即a222n.n1n(2)bn2n，n∴T12222323n2n.①n2T122223324n12nn2.②n1n①－②得T2222n2n2n11234n2n12n1∴T2n12n1.n【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差中项的概念以及错位相减法求和，考查运算能力，属中档题．206腰AB的长度为，(0cm400sincos19．（1）S)（2）侧面积S取得最大值时，等腰三角形的223【解析】AB20cos，BD20cossin，所以S400sincos，(0)；（）2试题分析：（1）由条件，22fx3S400sincos400sinsin3，令xsinfxxx导分析，得在x，通过求3，所以得23时取得极大值，也是最大值．B交BC于点D，过C作OEAB，垂足为E，11（1）设在AOE中，AE10cosθ，AB2AE20cos，BDABsin20cossin，在ABD中，S400sincos，(0)所以22（2）要使侧面积最大，由（1）得：S400sincos400sinsin32fxxx3，令xsin，所以得fx13x203由得：x333,1fx0fx00,x当时，，当时，333所以在区间3,1fx0,上单调递增，在区间上单调递减，33所以在x3时取得极大值，也是最大值；fx33所以当sin时，侧面积S取得最大值，3232063AB20cos201sin2201此时等腰三角形的腰长3206S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为cm．3答：侧面积20．（1）见解析（2）不存在，见解析【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；x2xt（2）求出函数的导数，结合导数的几何意义，再令，转化为方程有解问题，即可说明.1【详解】1a(x1)(x)(1)函数的定义域为0,，所以f(x)axf(x)0,x1；f(x)0,0x1，当a0时，所以函数f(x)在1,上单调递增当时，a01a11,0x1时，函数在上递增①当1,a1,f(x)0,aa②11,a1，显然无增区间；a11f(x)0,1x1，函数在上递增，a1,③当1,1a0时，aa1a0,综上当函数在上单调递增,1.a上单调递增；1当时函数在,a1a当a1时函数无单调递增区间1当1a0时函数在上单调递增1,a存在(2)假设函数“中值相依切线”设A(x,y),B(x,y)是曲线yf(x)上不同的0xx且两个点，112212yxxlnx,yxxlnx则1111222yy2xxlnxlnxkAB1xx121xx2121212xx，kf(x)xx1M(x,y)处的切线的斜率为曲线在点0001212xx1lnxlnx1xx2xx2xx21122112x2(2x1)1lnxlnx12xxx,ln20.2xx1xx2x2112112(t1)(t1)2,h(t)