复变函数的积分

复变函数的积分1第一页，共八十七页，2022年，8月28日一、积分的定义1.有向曲线:

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,2第二页，共八十七页，2022年，8月28日简单闭曲线正向的定义:

简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.3第三页，共八十七页，2022年，8月28日2.积分的定义:4第四页，共八十七页，2022年，8月28日(5第五页，共八十七页，2022年，8月28日关于定义的说明:6第六页，共八十七页，2022年，8月28日二、积分存在的条件证正方向为参数增加的方向,7第七页，共八十七页，2022年，8月28日8第八页，共八十七页，2022年，8月28日根据线积分的存在定理,9第九页，共八十七页，2022年，8月28日当n

无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,10第十页，共八十七页，2022年，8月28日在形式上可以看成是公式11第十一页，共八十七页，2022年，8月28日三、复积分的基本性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式12第十二页，共八十七页，2022年，8月28日性质(4)的证明两端取极限得[证毕]13第十三页，共八十七页，2022年，8月28日例解根据估值不等式知14第十四页，共八十七页，2022年，8月28日15第十五页，共八十七页，2022年，8月28日四、复积分的计算方法16第十六页，共八十七页，2022年，8月28日在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.17第十七页，共八十七页，2022年，8月28日例3-1解直线方程为18第十八页，共八十七页，2022年，8月28日这两个积分都与路线C无关19第十九页，共八十七页，2022年，8月28日例3-2解(1)积分路径的参数方程为y=x20第二十页，共八十七页，2022年，8月28日(2)积分路径的参数方程为y=x21第二十一页，共八十七页，2022年，8月28日y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为22第二十二页，共八十七页，2022年，8月28日例3-3解积分路径的参数方程为23第二十三页，共八十七页，2022年，8月28日重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.24第二十四页，共八十七页，2022年，8月28日例解积分路径的参数方程为25第二十五页，共八十七页，2022年，8月28日五、小结与思考本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.26第二十六页，共八十七页，2022年，8月28日第二节柯西定理与柯西公式一、柯西定理二、牛顿-莱布尼兹公式三、复合闭路定理四、柯西积分公式五、高阶导数公式27第二十七页，共八十七页，2022年，8月28日一、柯西定理观察上节例1,此时积分与路线无关.观察上节例4,28第二十八页，共八十七页，2022年，8月28日观察上节例5,由于不满足柯西－黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.29第二十九页，共八十七页，2022年，8月28日定理3-2柯西－古萨基本定理定理中的C可以不是简单曲线.此定理也称为柯西积分定理.30第三十页，共八十七页，2022年，8月28日关于定理的说明:(1)如果曲线C是区域B的边界,(2)如果曲线C是区域B的边界,定理仍成立.31第三十一页，共八十七页，2022年，8月28日例解根据柯西－古萨定理,有32第三十二页，共八十七页，2022年，8月28日例解根据柯西－古萨定理得33第三十三页，共八十七页，2022年，8月28日34第三十四页，共八十七页，2022年，8月28日定理3-3由定理3-2可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)二、复积分的牛顿莱布尼兹公式35第三十五页，共八十七页，2022年，8月28日36第三十六页，共八十七页，2022年，8月28日定理3-4证利用导数的定义来证.37第三十七页，共八十七页，2022年，8月28日由于积分与路线无关,38第三十八页，共八十七页，2022年，8月28日39第三十九页，共八十七页，2022年，8月28日由积分的估值性质,40第四十页，共八十七页，2022年，8月28日此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.[证毕]41第四十一页，共八十七页，2022年，8月28日原函数的概念定义3-1:原函数之间的关系:证42第四十二页，共八十七页，2022年，8月28日那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:[证毕]43第四十三页，共八十七页，2022年，8月28日不定积分的定义:定理3-5(复积分牛顿-莱布尼兹公式)44第四十四页，共八十七页，2022年，8月28日证根据柯西-古萨基本定理,[证毕]说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.45第四十五页，共八十七页，2022年，8月28日典型例题例解由牛顿-莱布尼兹公式知,46第四十六页，共八十七页，2022年，8月28日例解(使用了微积分学中的“凑微分”法)47第四十七页，共八十七页，2022年，8月28日三、复合闭路定理1.闭路变形原理︵︵48第四十八页，共八十七页，2022年，8月28日︵︵︵︵︵︵︵︵49第四十九页，共八十七页，2022年，8月28日得︵︵︵︵50第五十页，共八十七页，2022年，8月28日解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.51第五十一页，共八十七页，2022年，8月28日2.复合闭路定理3-6那末52第五十二页，共八十七页，2022年，8月28日53第五十三页，共八十七页，2022年，8月28日典型例题例解依题意知,54第五十四页，共八十七页，2022年，8月28日根据复合闭路定理,55第五十五页，共八十七页，2022年，8月28日例解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,56第五十六页，共八十七页，2022年，8月28日四、柯西积分公式根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C的变化而改变,求这个值.57第五十七页，共八十七页，2022年，8月28日58第五十八页，共八十七页，2022年，8月28日定理3-8证59第五十九页，共八十七页，2022年，8月28日60第六十页，共八十七页，2022年，8月28日上不等式表明,只要R足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能.[证毕]柯西积分公式61第六十一页，共八十七页，2022年，8月28日关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.62第六十二页，共八十七页，2022年，8月28日三、典型例题例解63第六十三页，共八十七页，2022年，8月28日由柯西积分公式64第六十四页，共八十七页，2022年，8月28日例解由柯西积分公式65第六十五页，共八十七页，2022年，8月28日例解由柯西积分公式66第六十六页，共八十七页，2022年，8月28日课堂练习答案67第六十七页，共八十七页，2022年，8月28日五、高阶导数公式问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?68第六十八页，共八十七页，2022年，8月28日定理3-9证69第六十九页，共八十七页，2022年，8月28日根据导数的定义,从柯西积分公式得70第七十页，共八十七页，2022年，8月28日71第七十一页，共八十七页，2022年，8月28日72第七十二页，共八十七页，2022年，8月28日再利用以上方法求极限73第七十三页，共八十七页，2022年，8月28日至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推,利用数学归纳法可证[证毕]高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.74第七十四页，共八十七页，2022年，8月28日典型例题例解75第七十五页，共八十七页，2022年，8月28日76第七十六页，共八十七页，2022年，8月28日根据复合闭路定理77第七十七页，共八十七页，2022年，8月28日78第七十八页，共八十七页，2022年，8月28日例解79第七十九页，共八十七页，2022年，8月28日80第八十页，共八十七页，2022年，8月28日例解由柯西－古萨基本定理得由柯西积分公式得81第八十一页，共八十七页，2022年，8月28日82第八十二页，共八十七页，2022年，8月28日课堂练习答案83