空间向量及其运算（1月）（期末复习热点题型）（人教A版2019）（解析版）

考点01空间向量及其运算

一、单选题

1.已知向量1=(—i,i,o),5=(04,一1),则无5=

A.0B.1

C.-1D.2

【试题来源】福建省泉州市2020-2021学年高二上学期期中考试(B)

【答案】B

【解析】因为向量方=(—1,1,0),5=(0,1,-1),

所以无5=(-I)x0+lxl+0x(-1)=1,故选B.

2.己知汗=(1,5,—2),5=(加,2,机+1),若，则机的值为

A.-6B.-8

C.6D.8

【试题来源】福建省泉州市2020-2021学年高二上学期期中考试(B)

【答案】D

【分析】由万_L方，可得无B=0,则有机+10-2(加+1)=0,从而可求出机的值,

【解析】因为M_L5,所以无5=0,因为商=(1,5,-2),5=(加,2,加+1),

所以加+10-2(m+1)=0,解得机=8,故选D.

3.己知向量1=(2,-1,3),5=(-4,〃?,〃)，且万〃5，则〃?+"=

A.-4B.-6

C.4D.6

【试题来源】河北省2020-2021学年高二上学期11月期中

【答案】A

【分析】由向量平行关系可求得加，〃的值，进而求得结果.

m=(-1)x(-2)=2

【解析】Vy=-2,m-^-n=-4.故选A.

-.b=-2d'n=3x(-2)=-6

4.点尸(3,4,—5)关于xOz平面对称的点的坐标是

A.(3,4,5)B.(3,-4,-5)

C.(-3,4,-5)D.(-3,-4,5)

【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考

【答案】B

［解析】因为点(x,y,z)关于xOz平面对称的点的坐标是(x,-y,z),

所以点尸(3,4,—5)关于xOz平面对称的点的坐标是(3,T,—5)，故选B.

5.空间直角坐标系中，点8(2,1,6)关于XOZ平面的对称点为C，则点。的坐标为

A.(2,-1,6)B.(—2,—1,-6)

C.(—2,1,-6)D.(—2,—1,6)

【试题来源】四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二上学期期中考试(文)

【答案】A

【解析】由在空间直角坐标系中，点(x,y,z)关于XOZ平面的对称点的坐标为(x,-y,z),

则点3(2,1,6)关于XOZ平面的对称点为C(2,-l,6),故选A.

6.在空间直角坐标系中，已知点A(l,0,l),点仇—则|AB|=

A.V6B.V2

C.6D.2

【试题来源】天津市静海区瀛海学校2020-2021学年高二上学期11月月考

【答案】A

【解析】因为点A(l,0,1),点以0,1,-1),

所以|A用=J(l—0)2+(0—1)2+(1+1尸=屈,故选A.

7.在空间直角坐标系中，点(-2,1,9)关于次轴的对称点的坐标是

A.(—2,1,9)B.(—2,—1,-9)

C.(2,-1,9)D.(2,1,-9)

【试题来源】山西省运城市景胜中学2020-2021学年高二上学期期中(理)

【答案】B

【分析】利用一个点关于X轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反

数，写出点的坐标.

【解析】一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数，

点（-2,1,9）关于x轴对称的点的坐标为（-2,-1,-9）.故选B.

8.在空间直角坐标系中，已知点P（x,y,z）,那么下列说法正确的是

①点P关于无轴对称的点的坐标是R（x,—y,z）；②点p关于yOz平面对称的点的坐标是

£（x,—y,-z）；③点P关于xOy平面对称点的坐标是P（x,y,—z）；④点P关于原点对称

点的坐标是4（-X,-y,-z）.

A.@@B.①④

C.②④D.③④

【试题来源】安徽省蚌埠市怀远县第一中学2020-2021学年高二上学期第三次月考（文）

【答案】D

［分析］根据点关于坐标轴对称点的特点可判断①的正误，利用点关于坐标平面对称点的特

点可判断②③的正误，利用点关于原点的对称点的特点可判断④的正误.

【解析】空间直角坐标系中，点尸（x,y,z）.

对于①，点尸关于％轴对称的点的坐标是耳（苍一又—z）,①错误：

对于②，点尸关于yOz平面对称的点的坐标是Q（-x,y,z）,②错误；

对于③，点P关于xOy平面对称点的坐标是6（x,»—z）,③正确；

对于④，点尸关于原点对称点的坐标是A（一乂一%—z）,④正确；

综上知，正确的命题序号是③④.故选D.

9.在空间直角坐标系中，点尸（-3,2,-1）关于原点对称的点的坐标是

A.（3,-2,-1）B.（-3,2,1）

C.（3,2,-1）D.（3,-2,1）

【试题来源】内蒙古宁城蒙古族中学2020-2021学年第一学期高二联考（理）

【答案】D

【解析】在空间直角坐标系中，点尸(—3,2,-1)关于原点对称的点的坐标是(3,—2,1),故

选D.

10.在空间直角坐标系O一型中，点M(无，y,2020)(xWR,yWR)构成的集合是

A.一条直线B.平行于平面X。)，的平面

C.两条直线D.平行于平面xOz的平面

【试题来源】湖北省武汉外国语学校2020-2021学年高二上学期期中

【答案】B

【解析】由题意知，点M在平面X0V的上方，且距平面X0V始终为2020,故选B.

11.已知空间直角坐标系中，点A(l,2,3)关于yOz平面对称点为8(—1,2,3),点8关于工

轴对称点为c,则点为忸q=

A.2VsB.6

C.4D.2V13

【试题来源】吉林省白城市济南市第一中学2020-2021学年第一学期高二期中考试(理)

【答案】D

【分析】求出点3、。的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得忸C|.

【解析】点4(1,2,3)关于yOz平面对称点为B(-1,2,3),点3关于x轴对称点为

C(-l,-2,-3),所以忸C|=1+1『+(2+2『+(3+3『=底=2713,故选D.

12.已知点A(l,2,3)关于原点的对称点为A，则4坐标为

A.(1,2,-3)B.(-1,-2,-3)

C.(-1,-2,3)D.(1,-2⑶

【试题来源】四川省江油市第一中学2020-2021学年高二第一学期期中考试(文)

【答案】B

【解析】点4(1,2,3)关于原点的对称点A(-1,—2,-3).故选B.

13.空间直角坐标系中，点8（2,1,6）关于xOz平面的对称点为C，则A（-3,4,0）与。的距

离为

A.2A/43B.2>/21

C.D.9

【试题来源】四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理）

【答案】C

【解析】由题意点3（2,1,6）关于xOz平面的对称点为C（2,—l,6）,

所以|=J（_3-+（4+1-+（0—6）2=麻.故选C.

14.空间两点A（2,5,4）,B（—2,3,5）之间的距离等于

A.720B.721

C.719D.V22

【试题来源】福建省永安市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试

【答案】B

【解析】因为A（2,5,4）,B（—2,3,5）,

所以I=卜2-2）2+（3_51+（5-4）2=®,故选B.

15.在空间直角坐标系中，点尸（1,3,-1）和点Q（2,1,2）之间的距离为

A.76B.714

C.722D.回

【试题来源】安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考（文）

【答案】B

【解析】|尸。|=7（1-2）2+（3-1）2+（-1-2）2=E.故选B.

16.在空间直角坐标系中，点A（l,3,-1）和点3（2,1,一2）之间的距离为

A.2B.yfs

c.V6D.714

【试题来源】安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考(理)

【答案】C

【解析】|AB|=7(1-2)2+(3-1)2+(-1+2)2=V1+4+1=76.故选C.

17.在空间直角坐标系中，点P(l,3,—5)关于yOz面对称的点的坐标是

A.(1,3,5)B.(1,-3,5)

C.(—1,3,—5)D.(-1,-3,5)

【试题来源】湖北省武汉市十五中学联考体2020-2021学年高二上学期期中联考

【答案】C

【解析】两点关于yOz面对称，则纵坐标相同，竖坐标相同，横坐标互为相反数，

所以点尸(1,3,—5)关于yOz面对称的点的坐标是(一1,3,-5).故选C.

18.已知向量则下列向量与G垂直的是

A.(0,0,1)B,(-2,1,0)

C.(1,1,2)D.(4,-1,1)

【试题来源】北京市第四中2020-2021学年高二上学期数学期中试题

【答案】B

【解析】(1,2,-1>(0,0,1)=-1#0,(1,2,-1)-(-2,1,0)=-2+2+0=0,

(1,2,—1>(1,1,2)=1+2—2=1工0,(1,2,-1)-(4,-1,1)=4-2-1=1^0,

只有B满足垂直.故选B.

19.已知四面体ABCZ),万彳=£,DB^b>反=2,点"在棱D4上，两=3瓯

N为BC中点,则丽=

jir-i

B.—an—h-\—o

422

311

C.——a+—rb+—c

422

【试题来源】2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教版选修2-1）

【答案】C

【解析】连接力M如图所示，四面体48C。中，丽=[,DB=b'友=2,

____3—.

点加在棱D4上，且方而'=3通？，所以DM=-D4,

-.1—.—.

又N为8c中点，所以。N=—（O3+DC）；

2

.一_31311

所以丽=丽+丽=一二区+-（而+成）=一一a+-b+-c.故选C.

42422

20.已知四面体ABC。的每条棱长都等于2,点、E,F,G分别是棱A8,AD,。。的

中点，则G后•讦等于

B.-1

D.-4

【试题来源】辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期中联考

【答案】A

【分析】根据题意画出图形，结合图形即可求出3后.不的值.

【解析】取8。的中点何，连接AM、CM,如图所示：

四面体A8CO的每条棱长都等于2,点E,F,G分别是楼A3,AD,OC的中点，

所以GF=LAC=1,AMJ.8。，且加皿M，所以6M_L平面4MC；

2

又ACu平面ACM.所以8。LAC,又EFHBD,所以ERJ.AC；

乂AC//FG,所以/G，£尸，

所以瓦•丽=（存+在）•百=丽2+而•存=『+（）=1，故选A.

21.若向量2=（1,/M）,办=（2,-1,一1）,且£与B夹角的余弦值为交，则九等于

6

A.—5/2B.V2

C.一6或垃D.2

【试题来源】安徽省阜阳市颍上县第二中学2020-2021学年高二上学期期中（理）

【答案】A

【解析】•.•向量方=（1,41）,石=（2,-1,一2）,[与B夹角的余弦值为立，

6

a-b—Z噜，解得；1=一加（4=夜舍去）.故选A.

加WV2+22V9

22.己知A（l,3,-1）,3（4,0,-1）,C（2,3,-2）,则衣与血的夹角为

A.30°B.45°

C.60°D.90°

【试题来源】河北省尚义县第一中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】C

UlU____

【分析】由题意，求得A8=（3,—3,0）,AC=（l,0,-l）,结合向量的夹角公式，即可求解.

umi____

【解析】由题意，可得A8=（3,—3,0）,AC=（l,0,-l）.

UUUUUIU

uiinuuwABAC331

设则cos6=uuB||tium

AB\-\AC79+9x71+1-35/2x72-21

因为8e[0°,180°],所以6=60°.故选C.

23.已知M=37+2，一乙b=l-j+2k（其中7,1,及是两两垂直的单位向量），则5万与拓

的数量积等于

A.-15B.—5

C.-3D.-1

【试题来源】河北省尚义县第一中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】A

【分析】由向量7,工工是两两垂直的单位向量，得到2=（3,2,—1）,力=（1,一1,2）,结合向

量的数量积的运算公式，即可求解.

【解析】由题意，向量7,工耳是两两垂直的单位向量，

设2=（3,2,—1）,b=（1,-1,2）,则5：=（15,10,-5）,3^=（3,-3,6）,

所以（5。）•（3〃）=15x3-10x3-5x6=-15.故选A.

24.设平面a的法向量为（1,—2,2）,平面夕的法向量为（2,以,4）,若a〃6，则2+〃=

A.2B.4

C.-2D.-4

【试题来源】福建省泉州市2020-2021学年高二上学期期中考试（B）

【答案】C

【分析】由两平面平行，得法向量平行，由此求得可得结论.

【解析】因为a//万,所以（1,—2,2）//（2,44）,

]—2A

所以二万=“解得八2,>4所以九+〃=-2.故选C.

25.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PAL平面ABCD,M,N分别为PC，

上的点，且两=2旗，丽=而，NM=xAB+yAD+zAP,则x+y+z=

2

A.B.—

33

5

C.1D.-

6

【试题来源】福建省泉州市2020-2021学年高二上学期期中考试（B）

【答案】B

---2―•—1—

【分析】由两=2碇，丽=而，得PM=-PC,PN=-PD,然后利用向量的加减

32

法法则把向量雨用向量而，通,而表示出来，可求出x,y,z的值，从而可得答案

---2----------1—

【解析】因为而=2就，而=而，所以PM=^PC,PN=^PD,

32

_________2___i___2______1______

所以两=两_丽=§1一,丽=-（AC-AP）--（AD-AP）

=-（AB+AD-AP）--AD+-AP=-AB+-AD--AP,

322366

__._._.__2112

因为NM=xAB+>AD+zAP，所以％=一,y=—,z=—,所以x+y+z=—,故选B.

3663

26.在平行六面体ABC。—A4GA中，M为AC与8。的交点，若丽=£,A^=b,

A^A=c,则下列向量中与丽■相等的向量是

1-1w-1-1丁一

A.---aH—b+cB.—a+—b+c

2222

1-I-17-

C.—ci---Z?+cD.——a——b+c

2222

【试题来源】宁夏长庆高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理）

【答案】A

【解析】如图，由空间向量的线性运算可得

丽=丽+丽=6+^丽=不+;丽人+g（丽/一隔〉

1\11一

=c+—1/7-5）=——a+—b+c,故选A.

2V722

27.平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）438-A4GA过顶点A的三条棱的夹角

JTJT式

分别是----所有的棱长都为2,则A&的长等于

A.3&B.2垂）

U275-72D.2,5+0

【试题来源】重庆市杨家坪中学2020-2021学年高二上学期半期

【答案】D

【分析】首先根据空间向量表示码=血+而+羽'，再利用数量积公式计算模.

【解析】•.•宿=砺+而+丽，

AD+=,AB+AD+A4,+2（ABAD+AB-AA,+AD-AA^

p?______________

4x3+22x2xg+2x2x—+2x2x-=也（）+4夜=245+—•故选D-

28.在四面体A8CD中，E是棱BC的中点，且荏=xXZ5+y丽+z反，则

,1

A.x+y+z-\B.xyz--

C.x=y+zD.x*2=j；2+z2

【试题来源】河北省2020-2021学年高二上学期11月期中

【答案】C

【解析】因为理=而+诙=而+!（而+阮），

2

所以x=l,y=z=—,则》=丫+2.故选c.

-2

二、多选题

1.若a=（一1,/1,一2）,5=（2,3与万的夹角为120。，则X的值为

A.17B.-17

C.-1D.1

【试题来源】山东省枣庄市第八中学（东校区）2020-2021学年高二9月月考

【答案】AC

【分析】求出7人以及同,用代入夹角公式cos<£,B>=磊i即可求出讥

【解析】由已知3啰=_2—；l_2=_X_4,

|t/|=J1+/V+4=,5+矛，M=,4+1+1=A/6,

-2-4_1

cos120。=解得2=17或/l=-l,故选AC.

,5+/l',y/62

2.已知向量;=(1,1,0),则与々共线的单位向量"=

A.----,-----,0B.(0,1,0)

I22,

(垃垃、,、

C.—>—,0D.(-1,-1,0)

(>

【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】AC

【解析】对A,存在实数九=—夜>使(1」,0)=一夜——,——-,0,且

(22,

yp[~=，正确；对B，不存在实数4,使(1/,0)=飒,。)，错

误;对c,存在实数丸=逝，使(1,1。=&，且]=y』+-1=

(22J122J32

正确；对D,|(-1,-1,0)|=，由=正，不是单位向量，错误.故选AC.

3.给出下列命题，其中正确的有

A.空间任意三个向量都可以作为一组基底

B.已知向量力区，则万、5与任何向量都不能构成空间的一组基底

c.A,B,M,N是空间四点，若丽，BM，丽不能构成空间的一组基底，则A,

B,M,N共面

D.已知伍，瓦巴是空间向量的一组基底，若沅=7+机则口及无｝也是空间一组基底

【试题来源】福建省南平市高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试

【答案】BCD

【解析】选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空

间基底，所以A不正确；选项B中，根据空间基底的概念，可得B正确；

选项C中，由阮丽，的不能构成空间的一个基底，可得丽，丽，的共面，又由

丽，丽，丽过相同点8,可得A8,四点共面，所以C正确；

选项D中：由｛1,瓦3是空间的一个基底，则基向量乙方与向量身=汗+1一定不共面，所

以可以构成空间另一个基底，所以D正确.故选BCD.

4.在平行六面体ABC。—AB'C。'中，与向量而相等的向量有

A-CDB.褥7

C.DVD.BC

【试题来源】福建省泉州市2020-2021学年高二上学期期中考试（B）

【答案】BC

【解析】如图,在平行六面体ABC。-AB'C'。'中，与向量而相等的向量有RF，玩7,

DC，故选BC.

5.已知向量&=（1」,0）,则与Z共线的单位向量@=

B.(0,1,0)

D.(1,1,1)

【试题来源】山东省枣庄市第八中学（东校区）2020-2021学年高二9月月考

【答案】AC

一.a

【分析】根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法，e=±曰，即可求出.

【解析】设与£共线的单位向量为&所以Z=因而忖=,4=囚，得到;1=±问.

故工=±卷，而同=J1工/，所以"=（立，立,0）或工=（_交,_1,（））.故选AC.

|«|112222

6.设动点尸在正方体A6CD—A4G。的对角线8。上，记印=2用当NAPC为钝

角时，则实数可能的取值是

1

C.-D.1

3

【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】AB

【分析】首先以。为原点，DA，DC,分别为无，，，z轴建立空间直角坐标系,

根据题意得到西.定＜0，再解不等式即可得到答案.

【解析】以。为原点，DA.DC,分别为X,5，z轴建立空间直角坐标系，如图

所示：设正方体的边长为1,则A（l,0,0）,3（1,1,0）,C（0,l,0）,D,（0,0,1）,

取=(1,0,—1),麻=(0,1,—1),印=(1,1,一1),所以*=4印=(4,4,_几).

因为西=西+丽=+=

因为NAPC为钝角，所以再.定＜0,

(―X)(1—X)+(―4)(1—4)+(X—1)=(X—1)(3丸―1)＜(),解得故选AB.

7.给出下列命题，其中错误的有

A.若空间向量加、〃、p＞满足/“〃〃,，2〃p,WOmlIn

B.若空间向量〃？、〃、p＞满足m=〃，n-p＞则/〃=p

C.在空间中，一个基底就是一个基向量

D.任意三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底

【试题来源】福建省南平市第八中学2020—2021学年高二上学期期中检测

【答案】ACD

【分析】取方=0可判断A选项的正误；利用相等向量的概念可判断B选项的正误；利用空

间向量基底的概念可判断C、D选项的正误.

【解析】对丁A选项，若3=。,对于非零向量而、p,则加〃〃，山/p，但肩与［不一

定共线，A选项错误；

对于B选项，对于空间向量而、n'p'满足五=万，〃=〃，则加=〃，B选项正确；

对于C选项，在空间中，任意不共面的三个非零向量为空间向量的一个基底，C选项错误；

对于D选项，在空间中，任意不共线的三个向量可以共面，不一定可构成空间向量的一个

基底，D选项错误.故选ACD.

8.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是

A.两条不重合直线4，4的方向向量分别是讶=(2,3,—1),5=(-2,-3,1),则“4

B.直线/的方向向量汗=(1,一1,2),平面。的法向量是日=(6,4,—1),贝”La

C.两个不同的平面a,6的法向量分别是汗=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则

D.直线/的方向向量M=(O,3,O),平面a的法向量是日=(0,—5,0),则〃/a

【试题来源】山东省肥城市2020-2021学年高二上学期期中考试

【答案】AC

【解析】对于A,两条不重合直线36的方向向量分别是4=(2,3,-1),5=(—2,—3,1),

且％=所以"/人,选项正确；

对于B,直线/的方向向量互=(1,一1,2),平面a的法向量是方=(6,4,—1)且

a.»=lx6-lx4+2x(-1)=01所以〃/a或/ua，选项错误；

对于C,两个不同的平面a,夕的法向量分别是五=(2,2,—1),。=(一3,4,2),且

i7-v=2x(-3)+2x4-lx2=0,所以aJ_4，选项C正确：

对于D,直线/的方向向量M=(0,3,0),平面a的法向量是万=(0,—5,0)且反=-1a,

所以/_La,选项D错误.故选AC.

9.在三棱锥P-ABC中，A(0,l,0),6(3,1,0),C(0,3,0),P(0,l,2),则

A.而=(3,0,-2)B.AB=(-3,0,0)

C.PBLACD.|PB|=V13

【试题来源】河北省2020-2021学年高二上学期11月期中

【答案】ACD

【解析】对于选项A：PB=(3,1,0)-(0,1,2)=(3,0,-2),故选项A正确;

对于选项B：=(3,1,0)-(0,1,0)=(3,0,0),故选项B不正确；

对于选项C：AC=(0,3,0)-(0,1,0)=(0,2,0),则万.配'=3x0+0x2—2x0=0，所

以而J.ze，故选项c正确；

对于选项D：因为廊|=42+(-2)2=屈，故选项D正确，故选ACD.

10.在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z),则下列说法不正确的是

A.点P关于X轴对称点的坐标是(x,-y,z)

B.点p关于y°z平面对称点的坐标是(％,一＞,-z)

C.点p关于y轴的对称点坐标是(x,-y,z)

D.点p关于原点的对称点坐标是

【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】ABC

【解析】A.点尸(x,y,z)关于x轴的对称点是(x,-y,-z),所以A不正确；

B.点P(x,y,z)关于*z平面对称点的坐标是(—x,y,z),所以B不正确；

C.点尸关于丫轴的对称点坐标是(一x,y,—z),所以C不正确；

D.点P关于原点的对称点坐标是(―x,—y,—z),所以D正确.故选ABC

11.设是空间的一组基底，则下列结论正确的是

A.a,b»c可以为任意向量

B.对空间任一向量,，存在唯一有序实数组(x,y,z),使万=xa+yh+zc

C若b1.C9则。_Lc

D.{Z+2分石+24"+2"可以作为构成空间的一组基底

【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考

【答案】BD

【解析】4选项：B，2为不共线的非零向量；

B选项：由向量的基本定理知，空间任一向量方，存在唯一有序实数组(％,y,z),使

p=xa+yb+zaC选项：〃_Lb，则a,c不一定垂直；

。选项：,+2B,B+2U+2£}中三个向量间无法找到实数X使得它们之间有肩=4方的等

式形式成立，即可以构成基底.故选BD

【名师点睛】本题考查了向量的基本定理，理解作为基底向量的非零、不共线性质，应用向

量垂直、共线判定正误.

12.在四棱锥S-A8c。中，底面ABC。是边长为1的正方形，SA=SB=SC=SD=2,

则以下结论正确的有

A.SA+SB+SC+SD=0B.SA+SB-SC-SD=6

c.SA-SB+SC-SD=6D.SASB=SC-SD

【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】CD

【解析】如图，连接AC和8。交于0,连接S。，由题可知0A,OB,0S两两垂直，则以

OA,OB,OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

•••底面ABCD是边长为1的正方形，SA=SB=SC=SD=2,

OA=OB=OC=OD=—，

2

—,O,O1D[O,-—,0|,5

则4--,0,0,B0,——,0,C0,0,

22

.・京「绰鬲。，也，一闫

(22)[22]

：.SA+SB+SC+SD=(Q,Q,-2^y故A错误;

SA+SB-SC-SD=(V2,V2,0),故B错误；

即丽・豆=克•丽，故D正确.故选CD.

13.已知空间三点A(—1,0,1),8(—1,2,2),C(—3,0,4),则下列说法正确的是

UL1UUUIU

A.ABAC=3B.AB//AC

C.Ieel=273D.cos<AB,AC>=—

।165

【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】AC

【解析】VA(-l,0,1),B(-l,2,2),C(-3,0,4),

AB=(0,2,1),AC=(-2,0,3),5C=(-2,-2,2),

vABAC=()x(-2)+2x()+lx3=3,故A正确;

•.•不存在实数几，使得通=4祝，故而,xe不共线，故B错误;

|^C|=^(-2)2+(-2)2+22=2G，故C正确；

cos<ABAC>~ABAC_33A/65

CO、<力，ZU>—IjIJ—I-/故D错误.故选AC.

|AB|-|AC|V5XV13

14.设几何体ABC。—A4GA是棱长为a的正方体，AC与4。相交于点。，则下列结

论正确的是

A.-AC-cTB.AB-A^C-V2<7"

C.a)AB^=-a2D.ABAp=^a2

【试题来源】辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高二上学期期中考试

【答案】ACD

【解析】如图，建立空间直角坐标系,

则A(a,0,0),B(a9a9O),C(0,a,0),£>(0,0,0),A(a，°M)，4(a,。,a),O

—►_____UUU—»

所以A尸二(0,a,AC=(-aM,0)，AB=(0,a,0)，A^C=(-a,a,-a)，

CD=(0,-a,0),而=(0,a,a),而=(一*§,一，所以艰.配=/,A对;

而•而=/,B错；CD.ABI=-a2<C对；ABA^O^^a2,对.故选ACD.

【名师点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体

的结构特征建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的坐标运算求解是解答的关

键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

三、填空题

1.在空间直角坐标系O-孙z中，给出以下结论：

①点A（-2,1,3）关于z轴的对称点的坐标是（2,—1,3）；

②点8（4,-2,5）关于），0z平面对称的点的坐标是（4,2,-5）；

③若丽=（0,-1,a），①=（1,6,0），则〈丽，丽〉=彳

其中所有正确结论的序号是.

【试题来源】河北省2020-2021学年高二上学期11月期中

【答案】①③

【解析】点A（—2,1,3）关于z轴的对称点的坐标为（2,-1,3）,故①正确;

点3（4,—2,5）关于），Oz平面对称的点的坐标是（—4,一2,5）,故②错误;

翁T则〈碗子24

若丽=(0,-1,行)，①=(1,6,0)，则cos<AB,6

T

故③正确.故答案为①③.

2.空间直角坐标系中,已知点A（4,l,2）,3（2,3,4）,则陷=

【试题来源】山西省太原市2020-2021学年高二上学期期中质量监测

【答案】2G

【解析】•••A（4,l,2）,3（2,3,4）,陷=J（4-2『+（1一3『+（2-4）2=2收

故答案为2G.

3.若£=（2,—3,1）,石=（2,0,3）,"=（0,2,2）,则70+。=.

【试题来源】湖南省衡阳市第二十六中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】3

【解析】由五=(2,0,3),"=(0,2,2),所以分+"=(2,2,5),

又1=(2,-3,1),所以7,+,=2x2+2x(_3)+5xl=3.故答案为3.

4.已知直二面角。一/一力的棱/上有A,3两个点，ACua,ACLl,BDu0,BD上I,

若A3=4,AC=3,BD=5,则CO的长是.

【试题来源】辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期中联考

【答案】50

【分析】首先函=E+通+而，然后利用向量数量积表示向量的模，计算CO的长度.

【解析】CD=CA+AB+BD^

\2/»2»2■2/:,•...»\

.•.|CO|=^(CA+AB+BD)7cA+AB+BD+2(CAAB+CABD+ABBDj

由条件可知回_L而，CA±BD，AB1BD'

,-.|CD|=^(CA+AB+BD)2=卮+AB2+BD2=J9+16+25=572.

故答案为5夜.

【名师点睛】本题考查空间几何中长度的计算，本题的关键点是分析出瓦，而，C4±BD.

ABA_BD＜从而利用数量积表示|丽I，比较容易计算结果.

5.如图，长方体ABC。-A4GA中，45=43=2,A4,=1,以A为球心，A4,为半

径作球面，点尸为球面上一动点，则|PCj的最小值为

【试题来源】福建省永安市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试

【答案】2

【解析】连接AG，设AG与球面交于点P,此时|PCj取得最小值,

|AC,|2=|AC|2+|CC,|2=\ABf+\ADf+|CC,|2=22+22+1=9,

所以|PC|的最小值为14Glf=3-1=2,故答案为2.

【名师点睛】本题的关键点是判断出AC；与球面的交点为点尸时，|尸G|最小，最小值为

|ACj减半径.

6.已知点8是点43,4.5）在坐标平面内的射影，则|丽卜.

【试题来源】北京市丰台区2020-2021学年度高二上学期期中考试

【答案】5

【解析】因为点B是点43,4,5）在坐标平面出内的正射影，

所以B在坐标平面。孙匕横标和纵标与A相同，而竖标为0,

所以B的坐标是（3,4,0）,所以|0邳=后不=5,故答案为5.

7.在空间直角坐标系中，点P（l,2,3）关系yOz平面对称的坐标为M,关于x轴对称的点

坐标为N,则\MN\=.

【试题来源】四川省凉山彝族自治州冕宁中学校2020-2021学年高二上学期期中（理）

【答案】2日

【分析】首先求出对称点的坐标，再根据空间直角坐标系上任意两点间的距离公式计算可得;

【解析】点P。，2,3）关系yOz平面对称的坐标为M,

关于左轴对称的点坐标为N,则M（-l,2,3）,N（l,-2,—3）,

所以|MN|=^（-1-1）2+[2-（-2）]2+[3-（-3）]2=2屈，故答案为2旧-

8.己知空间向量4=（1,-2,3）,则向量&在坐标平面。町上的投影向量是.

【试题来源】天津市第五十五中学2020-2021学年高二（上）第一次月考

【答案】（1.-2.0）

【分析】根据空间中点的坐标确定方法，结合空间向量的坐标表示，写出结论即可.

【解析】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点41,-2,3）在坐标平面3上的投

影坐标，竖坐标为0,横坐标与纵坐标不变.所以空间向量1=（1，-2.